高考数学二轮复习 专项精练 中档大题规范练（二）立体几何与空间向量 理.doc

(二)立体几何与空间向量1(2017全国)如图，在四棱锥pabcd中，abcd，且bapcdp90.(1)证明：平面pab平面pad；(2)若papdabdc，apd90，求二面角apbc的余弦值(1)证明由已知bapcdp90，得abap，cdpd，因为abcd，所以abpd.又apdpp，ap，dp平面pad，所以ab平面pad.因为ab平面pab，所以平面pab平面pad.(2)解在平面pad内作pfad，垂足为点f.由(1)可知，ab平面pad，故abpf，可得pf平面abcd.以点f为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系fxyz.由(1)及已知可得a，p，b，c，所以，(，0,0)，(0,1,0)设n(x1，y1，z1)是平面pcb的一个法向量，则即所以可取n(0，1，)设m(x2，y2，z2)是平面pab的一个法向量，则即所以可取m(1,0,1)，则cosn，m.易知apbc为钝二面角，所以二面角apbc的余弦值为.2.(2017泉州质检)如图，在三棱锥abcd中，平面abd平面bcd，abad，cbd60，bd2bc4，点e在cd上，de2ec.(1)求证：acbe；(2)若二面角ebad的余弦值为，求三棱锥abcd的体积(1)证明取bd的中点o，连接ao，co，eo.因为abad，bood，所以aobd，又平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，ao平面abd，所以ao平面bcd.又be平面bcd，所以aobe.在bcd中，bd2bc，de2ec，所以2，由角平分线定理，得cbedbe.又bcbo2，所以beco，又因为aocoo，ao平面aco，co平面aco，所以be平面aco，又ac平面aco，所以acbe.(2)解在bcd中，bd2bc4，cbd60，由余弦定理，得cd2，所以bc2cd2bd2，即bcd90，所以ebdedb30，bede，所以eobd，结合(1)知，oe，od，oa两两垂直，以o为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系oxyz(如图)，设aot(t0)，则a(0,0，t)，b(0，2,0)，e，所以(0,2，t)，设n(x，y，z)是平面abe的一个法向量，则即整理，得令y1，得n.因为oe平面abd，所以m(1,0,0)是平面abd的一个法向量又因为二面角ebad的余弦值为，所以|cosm，n|，解得t2或t2(舍去)又ao平面bcd，所以ao是三棱锥abcd的高，故vabcdaosbcd222.3.如图，在四棱锥pabcd中，已知pa平面abcd，且四边形abcd为直角梯形，abcbad，paad2，abbc1.(1)求平面pab与平面pcd所成锐二面角的余弦值；(2)点q是线段bp上的动点，当直线cq与dp所成的角最小时，求线段bq的长解以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则各点的坐标为b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)(1)因为ad平面pab，所以是平面pab的一个法向量，(0,2,0)因为(1,1，2)，(0,2，2)设平面pcd的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，即令y1，解得z1，x1.所以m(1,1,1)是平面pcd的一个法向量从而cos，m，所以平面pab与平面pcd所成锐二面角的余弦值为.(2)因为(1,0,2)，设(，0,2)(01)，又(0，1,0)，则(，1,2)，又(0，2,2)，从而cos，.设12t，t1,3，则cos2，.当且仅当t，即时，|cos，|的最大值为.因为ycosx在上是减函数，此时直线cq与dp所成角取得最小值又因为bp，所以bqbp.4.(2017届锦州质检)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc90，平面pad底面abcd，q为ad的中点，m是棱pc上的点，papd2，bcad1，cd.(1)求证：平面pqb平面pad；(2)若二面角mbqc的大小为30，设pmtmc，试确定t的值(1)证明adbc，bcad，q为ad的中点，qdbc且qdbc，四边形bcdq为平行四边形，cdbq.adc90，aqb90，即qbad.又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcdad，bq平面abcd，bq平面pad.bq平面pqb，平面pqb平面pad.(2)解papd，q为ad的中点，pqad，平面pad平面abcd，且平面pad平面abcdad，pq平面pad，pq平面abcd，pq，qa，qb两两垂直，如图，以q为原点建立空间直角坐标系，则平面bqc的法向量为n(0,0,1)，q(0,0,0)，p(0,0，)，b(0，0)，c(1，0)，设m(x，y，z)，则(x，y，z)，(1x，y，z)，t，在平面mbq中，(0，0)，.平面mbq的法向量为m(，0，t)二面角mbqc为30，cos 30，t3.5(2017届北京市朝阳区模拟)如图1，在rtabc中，c90，ac4，bc2，d，e分别为边ac，ab的中点，点f，g分别为线段cd，be的中点将ade沿de折起到a1de的位置，使a1dc60.点q为线段a1b上的一点，如图2.(1)求证：a1fbe；(2)线段a1b上是否存在点q，使得fq平面a1de？若存在，求出a1q的长，若不存在，请说明理由；(3)当时，求直线gq与平面a1de所成角的大小(1)证明因为a1ddc，a1dc60，所以a1dc为等边三角形又因为点f为线段cd的中点，所以a1fdc.由题可知eda1d，eddc，a1ddcd，a1d，dc平面a1dc，所以ed平面a1dc.因为a1f平面a1dc，所以eda1f.又eddcd，ed，dc平面bcde，所以a1f平面bcde.所以a1fbe.(2)解由(1)知，a1f平面bcde，fgdc，如图，建立空间直角坐标系，则f(0,0,0)，d(0，1,0)，c(0,1,0)，e(1，1，0)，a1(0,0，)，b(2,1,0)设平面a1de的一个法向量为n(x，y，z)，(0，1，)，(1,0,0)，所以即令z1，则y，所以n(0，1)假设在线段a1b上存在点q，使得fq平面a1de.设，(0,1)又(2,1，)，所以(2