高考数学二轮复习 专题对点练18 5.15.3组合练 理.doc

专题对点练185.15.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.(2017浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()a.2+1b.2+3c.32+1d.32+3答案 a解析 v=1331212+1221=2+1,故选a.2.已知m,n为异面直线,m平面,n平面,直线l满足lm,ln,l,l,则()a.,且lb.,且lc.与相交,且交线垂直于ld.与相交,且交线平行于l答案 d解析 因为m,lm,l,所以l.同理可得l.又因为m,n为异面直线,所以与相交,且l平行于它们的交线.故选d.3.(2017河北邯郸一模,理10)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()a.9+36b.6+36c.3+36d.12+36答案 a解析 由三视图可得,该几何体的直观图为圆锥的12与圆柱的34的组合体,由图中数据可得,该几何体的体积为1213123+34122=9+36,故选a.4.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()a.1727b.59c.1027d.13答案 c解析 由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示.切削掉部分的体积v1=326-224-322=20(cm3),原来毛坯体积v2=326=54(cm3).故所求比值为v1v2=2054=1027.5.(2017四川成都三诊,理11)如图,某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形.若该三棱锥的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()a.27b.48c.64d.81答案 c解析 由三视图可知,该几何体为三棱锥,三棱锥的高va=4,直观图如图所示.abc是边长为6的等边三角形,外接球的球心d在底面abc的投影为abc的中心o,过d作deva于e,则e为va的中点,连接oa,da,则de=oa=2333=23,ae=12va=2,da为外接球的半径r,r=de2+ae2=4,该球的表面积s=4r2=64.故选c.6.在直三棱柱abc-a1b1c1中,bca=90,m,n分别是a1b1,a1c1的中点,bc=ca=cc1,则bm与an所成角的余弦值为()a.110b.25c.3010d.22答案 c解析 如图,以点c1为坐标原点,c1b1,c1a1,c1c所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,不妨设bc=ca=cc1=1,可知点a(0,1,1),n0,12,0,b(1,0,1),m12,12,0.an=0,-12,-1,bm=-12,12,-1.cos=anbm|an|bm|=3010.根据an与bm的夹角及an与bm所成角的关系可知,bm与an所成角的余弦值为3010.7.(2017辽宁沈阳三模,理10)已知某三棱锥的三视图如图所示,图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出,则在该三棱锥中,最短的棱和最长的棱所在直线成的角的余弦值为()a.13b.55c.12d.23答案 a解析 由三视图还原原几何体如图.几何体是三棱锥a-bcd,满足平面acd平面bcd,且adcd,bccd,则最短棱为cd,最长棱为ab.在平面bcd内,过b作becd,且be=cd,连接de,四边形bedc为长方形,可得ae=22.在rtaeb中,求得ab=12+(22)2=3,cosabe=beab=13.即最短的棱和最长的棱所在直线成的角的余弦值为13.故选a.8.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()a.1b.2c.4d.8答案 b解析 由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为s表=2r2r+212r2+r2r+124r2=5r2+4r2=16+20,解得r=2.9.(2017河南新乡二模,理10)已知正三角形abc的三个顶点都在球心为o,半径为3的球面上,且三棱锥o-abc的高为2,点d是线段bc的中点,过点d作球o的截面,则截面积的最小值为()导学号16804204a.154b.4c.72d.3答案 a解析 设正三角形abc的中心为o1,连接o1o,o1c,o1d,od,o1是正三角形abc的中心,a,b,c三点都在球面上,o1o平面abc.又o1c平面abc,o1oo1c.球的半径r=3,o1o=2,在rto1oc中,o1c=5.又d为bc的中点,在rto1dc中,o1d=12o1c=52.在rtoo1d中,od=4+54=214.过d作球o的截面,当截面与od垂直时,截面圆的半径最小,此时截面圆的半径r=9-214=152,可得截面积为s=r2=154.故选a.二、填空题(共3小题,满分15分)10.已知h是球o的直径ab上一点,ahhb=12,ab平面,h为垂足,截球o所得截面的面积为,则球o的表面积为.答案 92解析 如图,设球o的半径为r,则ah=2r3,oh=r3.eh2=,eh=1.在rtoeh中,r2=r32+12,r2=98.s球=4r2=92.11.(2017山西太原二模,理15)已知三棱锥a-bcd,ab=ac=bc=2,bd=cd=2,点e是bc的中点,点a在平面bcd上的射影恰好为de的中点f,则该三棱锥外接球的表面积为.答案 6011解析 由题意,得bcd为等腰直角三角形,e是外接圆的圆心.点a在平面bcd上的射影恰好为de的中点f,bf=1+14=52,af=4-54=112.设球心o到平面bcd的距离为h,则1+h2=14+112-h2,解得h=211,r=1+411=1511,故该三棱锥外接球的表面积为41511=6011.12.(2017全国,理16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形abc的直角边ac所在直线与a,b都垂直,斜边ab以直线ac为旋转轴旋转,有下列结论:当直线ab与a成60角时,ab与b成30角;当直线ab与a成60角时,ab与b成60角;直线ab与a所成角的最小值为45;直线ab与a所成角的最大值为60.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)导学号16804205答案 解析 由题意,ab是以ac为轴,bc为底面半径的圆锥的母线,由aca,acb,得ac圆锥底面,在底面内可以过点b,作bda,交底面圆c于点d,如图所示,连接de,则debd,deb.连接ad,在等腰三角形abd中,设ab=ad=2,当直线ab与a成60角时,abd=60,故bd=2.又在rtbde中,be=2,de=2,过点b作bfde,交圆c于点f,连接af,由圆的对称性可知bf=de=2,abf为等边三角形,abf=60,即ab与b成60角,正确,错误.由最小角定理可知正确;很明显,可以满足直线a平面abc,直线ab与a所成的最大角为90,错误.故正确的说法为.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.(2017河南郑州一中质检,理18)如图,在四棱锥s-abcd中,底面abcd是梯形,bcad,平面sab平面abcd,sab是等边三角形,已知ac=2ab=4,bc=2ad=2dc=25.(1)求证:平面sab平面sac;(2)求二面角b-sc-a的余弦值.(1)证明 在bca中,ab=2,ca=4,bc=25,ab2+ac2=bc2,abac.又平面sab平面abcd,平面sab平面abcd=ab,ac平面sab.又ac平面sac,故平面sab平面sac.(2)解 如图建立空间直角坐标系axyz,则a(0,0,0),b(2,0,0),s(1,0,3),c(0,4,0).cs=(1,-4,3),bc=(-2,4,0),ac=(0,4,0).设平面sbc的法向量n=(x,y,z),由nbc=0,ncs=0,得-2x+4y=0,x-4y+3z=0,则取n=2,1,233.设平面sca的法向量m=(a,b,c),由mac=0,mcs=0,得4b=0,a-4b+3c=0,则取m=(-3,0,1),cos=-21919,二面角b-sc-a的余弦值为21919.14.(2017辽宁沈阳三模,理19)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧面aa1b1b底面abc,abc和abb1都是边长为2的正三角形.(1)过b1作出三棱柱的截面,使截面垂直于ab,并证明;(2)求ac1与平面bcc1b1所成角的正弦值.解 (1)设ab的中点为o,连接oc,ob1,b1c,则截面ob1c为所求.证明:因为oc,ob1分别为abc,abb1的中线,所以aboc,abob1.又oc,ob1平面ob1c,ocob1=o,所以ab平面ob1c.(2)以o为原点,ob方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,易求得b(1,0,0),a(-1,0,0),c(0,3,0),b1(0,0,3),c1(-1,3,3),cb=(1,-3,0),b1b=(1,0,-3),ac1=(0,3,3).设平面bcc1b1的一个法向量为n=(x,y,z),由ncb,nb1b,得x-3y=0,x-3z=0,解得平面bcc1b1的一个法向量为n=(3,1,1),则|cos|=|ac1n|ac1|n|=3+365=105,所以ac1与平面bcc1b1所成角的正弦值为105.导学号1680420615.(2017天津,理17)如图,在三棱锥p-abc中,pa底面abc,bac=90,点d,e,n分别为棱pa,pc,bc的中点,m是线段ad的中点,pa=ac=4,ab=2.(1)求证:mn平面bde;(2)求二面角c-em-n的正弦值;(3)已知点h在棱pa上,且直线nh与直线be所成角的余弦值为721,求线段ah的长.解 如图,以a为原点,分别以ab,ac,ap方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得a(0,0,0),b(2,0,0),c(0,4,0),p(0,0,4),d(0,0,2),e(0,2,2),m(0,0,1),n(1,2,0).(1)证明:de=(0,2,0),db=(2,0,-2),设n=(x,y,z)为平面bde的法向量,则nde=0,ndb=0,即2y=0,2x-2z=0.不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又mn=(1,2,-1),可得mnn=0.因为mn平面bde,所以mn平面bde.(2)易知n1=(1,0,0)为平面cem的一个法向量.设n2=(x,y,z)为平面emn的法向量,则n2em=0,n2mn=0.因为em=(0,-2,-1),mn=(1,2,-1),所以-2y