高考数学二轮复习 组合增分练7 解答题组合练C 理.doc

组合增分练7解答题组合练c1.(2017河南郑州三模,理17)在abc中,角a,b,c所对的边分别是a,b,c,已知sin b+sin c=msin a(mr),且a2-4bc=0.(1)当a=2,m=54时,求b,c的值;(2)若角a为锐角,求m的取值范围.解 (1)sin b+sin c=msin a,由正弦定理得b+c=ma,又已知a2-4bc=0,当a=2,m=54时,b+c=52,bc=1.解得b=2,c=12,或b=12,c=2.(2)cos a=b2+c2-a22bc=(b+c)2-2bc-a22bc=m2a2-a22-a2a22=2m2-3(0,1).32m20,62m2.2.已知数列an的首项a1=1,前n项和为sn,且数列snn是公差为2的等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=(-1)nan,求数列bn的前n项和tn.解 (1)由已知得snn=1+(n-1)2=2n-1,sn=2n2-n.当n2时,an=sn-sn-1=2n2-n-2(n-1)2-(n-1)=4n-3.a1=s1=212-1=1=41-3,an=4n-3.(2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3).当n为偶数时,tn=(-1+5)+(-9+13)+-(4n-7)+(4n-3)=4n2=2n;当n为奇数时,n+1为偶数,tn=tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上,tn=2n,n=2k,kn*,-2n+1,n=2k-1,kn*.3.(2017山东烟台一模,理17)在如图所示的三棱柱中,侧面abb1a1为边长等于2的菱形,且aa1b1=60,abc为等边三角形,平面abc平面abb1a1.(1)求证:a1b1ac1;(2)求侧面a1acc1和侧面bcc1b1所成的二面角的余弦值.(1)证明 取a1b1的中点o,连接oa,oc1,abc为等边三角形,c1oa1b1.侧面abb1a1为边长等于2的菱形,aa1b1是等边三角形,可得oaoa1,a1b1c1o,a1b1oa,oaoc1=o,a1b1平面aoc1.而ac1平面aoc1,a1b1ac1.(2)解 平面a1b1c1平面abb1a1,且c1oa1b1,c1o平面abb1a1,oa平面abb1a1,aooc1.由(1)知oaoa1,oa1oc1,故建立坐标系o-xyz如下图.则a1(1,0,0),a(0,3,0),c1(0,0,3),b1(-1,0,0),c(-1,3,3),a1c1=(-1,0,3),ac1=(0,-3,3).设m=(x,y,z)为平面a1acc1的法向量,则-x+3z=0,-3y+3z=0,令y=1可得m=(3,1,1).b1c1=(1,0,3),c1c=(-1,3,0).设n=(a,b,c)为平面bcc1b1的法向量,则a+3c=0,-a+3b=0,令b=1,可得n=(3,1,-1).cos=35,故侧面a1acc1和侧面bcc1b1所成的二面角的余弦值为35.4.(2017黑龙江大庆三模,理19)如图,在四棱锥p-abcd中,pc底面abcd,abcd是直角梯形,abad,abcd,ab=2ad=2cd=2,e是pb的中点.(1)求证:平面eac平面pbc;(2)若二面角p-ac-e的余弦值为33,求直线pa与平面eac所成角的正弦值.(1)证明 pc平面abcd,ac平面abcd,acpc,ab=2,ad=cd=1,ac=bc=2,ac2+bc2=ab2,acbc,又bcpc=c,ac平面pbc,ac平面eac,平面eac平面pbc.(2)解 如图,以c为原点,da,cd,cp分别为x轴、y轴、z轴正向,建立空间直角坐标系,则c(0,0,0),a(1,1,0),b(1,-1,0).设p(0,0,a)(a0),则e12,-12,a2,ca=(1,1,0),cp=(0,0,a),ce=12,-12,a2,取m=(1,-1,0),则mca=mcp=0,m为面pac的法向量.设n=(x,y,z)为面eac的法向量,则nca=nce=0,即x+y=0,x-y+az=0,取x=a,y=-a,z=-2,则n=(a,-a,-2),依题意,|cos|=|mn|m|n|=aa2+2=33,则a=1.于是n=(1,-1,-2),pa=(1,1,-1).设直线pa与平面eac所成角为,则sin =|cos|=pan|pa|n|=236=23,即直线pa与平面eac所成角的正弦值为23.导学号168042505.(2017山西晋中二模,理20)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点d1,32在椭圆c上,直线l:y=kx+m与椭圆c相交于a,p两点,与x轴、y轴分别相交于点n和m,且|pm|=|mn|,点q是点p关于x轴的对称点,qm的延长线交椭圆于点b,过点a,b分别作x轴的垂线,垂足分别为a1,b1.(1)求椭圆c的方程.(2)是否存在直线l,使得点n平分线段a1b1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.解 (1)由题意得b=3c,1a2+94b2=1,a2=b2+c2,解得a2=4,b2=3,故椭圆c的方程为x24+y23=1.(2)假设存在这样的直线l:y=kx+m,m(0,m),n-mk,0,|pm|=|mn|,pmk,2m,qmk,-2m,直线qm的方程为y=-3kx+m.设a(x1,y1),由y=kx+m,x24+y23=1,得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0,x1+mk=-8km3+4k2,x1=-3m(1+4k2)k(3+4k2).设b(x2,y2),由y=-3kx+m,x24+y23=1,得(3+36k2)x2-24kmx+4(m2-3)=0,x2+mk=8km1+12k2,x2=-m(1+4k2)k(1+12k2).点n平分线段a1b1,x1+x2=-2mk,-3m(1+4k2)k(3+4k2)-m(1+4k2)k(1+12k2)=-2mk,k=12,p(2m,2m),4m24+4m23=1,解得m=217,|m|=2170,符合题意,直线l的方程为y=12x217.导学号168042516.(2017四川成都二诊,理20)在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆e:x2a2+y2b2=1(ab0),圆o:x2+y2=r2(0rb),若圆o的一条切线l:y=kx+m与椭圆e相交于a,b两点.(1)当k=-12,r=1时,若点a,b都在坐标轴的正半轴上,求椭圆e的方程;(2)若以ab为直径的圆经过坐标原点o,探究a,b,r之间的等量关系,并说明理由.解 (1)依题意原点o到切线l:y=-12x+m的距离为半径1,m1+14=1,解得m=52,即切线l:y=-12x+52,a0,52,b(5,0).a=5,b=52,故椭圆e的方程为x25+y254=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),联立y=kx+m,x2a2+y2b2=1,得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2).x1+x2=-2a2kmb2+a2k2,x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2.以ab为直径的圆经过坐标原点o,oaob=x1x2+y1y2=0.则(k