高考数学二轮复习 考前专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲 集合与常用逻辑用语讲学案 理.doc

第1讲集合与常用逻辑用语1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题2高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断热点一集合的关系及运算1集合的运算性质及重要结论(1)aaa，aa，abba.(2)aaa，a，abba.(3)a(ua)，a(ua)u.(4)abaab，ababa.2集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解(3)若已知的集合是抽象集合，用venn图求解例1(1)(2017届湖南师大附中月考)已知集合ax|log2x1，by|y2x，x0，则ab等于()abx|1x2cx|1x2 dx|1x2答案c解析由已知可得ax|0x2，by|y1abx|1x2，故选c.(2)(2017届潍坊临朐县月考)已知集合m(x，y)|yf(x)，若对于任意(x1，y1)m，存在(x2，y2)m，使得x1x2y1y20成立，则称集合m是“理想集合”给出下列4个集合：m；m(x，y)|ysin x；m(x，y)|yex2；m(x，y)|ylg x其中所有“理想集合”的序号是()abcd答案b解析由题意设a(x1，y1)，b(x2，y2)，又由x1x2y1y20可知，.项，y是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90，所以当点a，b在同一支上时，aob90，不存在，故不正确；项，通过对其图象的分析发现，对于任意的点a都能找到对应的点b，使得成立，故正确；项，由图象可得直角始终存在，故正确；项，由图象可知，点(1,0)在曲线上，不存在另外一个点使得成立，故错误综合正确，故选b.思维升华(1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助venn图或数轴求解(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证跟踪演练1(1)(2017届云南曲靖一中月考)已知集合axn|x25x40，bx|x240，下列结论成立的是()abababacabadab2(2)用c(a)表示非空集合a中的元素个数，定义a*b若a1,2，bx|(x2ax)(x2ax2)0，且a*b1，设实数a的所有可能取值构成的集合是s，则c(s)等于()a. 4 b. 3c. 2 d. 1答案(1)d(2)b解析(1)axn|1x4，bx|x2ab2，故选d.(2)由a1,2，得c(a)2，由a*b1，得c(b)1或c(b)3.由(x2ax)(x2ax2)0，得x2ax0或x2ax20.当c(b)1时，方程(x2ax)(x2ax2)0只有实根x0，这时a0；当c(b)3时，必有a0，这时x2ax0有两个不相等的实根x10，x2a，方程x2ax20必有两个相等的实根，且异于x10，x2a.由a280，得a2，可验证均满足题意，故s2，0,2，故c(s)3.热点二四种命题与充要条件1四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假2若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，则p，q互为充要条件例2(1)(2017届抚州七校联考)a，b，c三个学生参加了一次考试，a，b的得分均为70分，c的得分为65分已知命题p：若及格分低于70分，则a，b，c都没有及格在下列四个命题中，为p的逆否命题的是()a若及格分不低于70分，则a，b，c都及格b若a，b，c都及格，则及格分不低于70分c若a，b，c至少有一人及格，则及格分不低于70分d若a，b，c至少有一人及格，则及格分高于70分答案c解析根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p：若及格分低于70分，则a，b，c都没有及格，p的逆否命题是：若a，b，c至少有1人及格，则及格分不低于70分故选c.(2)(2017届四川雅安中学月考)“m(43x2)dx”是“函数f(x)2x的值不小于4”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案a解析m(43x2)dx(4xx3)|3，f(x)22，若f(x)的值不小于4，则24，解得m2，故选a.思维升华充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若pq，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若pq且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)(2)集合法：利用集合间的包含关系例如，若ab，则a是b的充分条件(b是a的必要条件)；若ab，则a是b的充要条件(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题跟踪演练2(1)有关命题的说法正确的是()a命题“若xy0，则x0”的否命题为：“若xy0，则x0”b命题“x0r，使得2x10”的否定是：“xr,2x210”c“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题d命题“若cos xcos y，则xy”的逆否命题为真命题(2)(2017届湖南长沙一中月考)在abc中，“abcos 2bcos 2c”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案(1)c(2)c解析(1) 对于a选项，命题“若xy0，则x0”的否命题为“若xy0，则x0”，否命题是条件和结论的双重否定，故a错误；对于b选项，命题“x0r，使2x10”的否定是“xr,2x210”，故b错误；选项c的逆命题为真命题，故c正确；选项d的原命题是假命题，则逆否命题与之对应，也是假命题，故d错误，故选c. (2)由正弦定理，可得在abc中，若abc，则sin asin bsin c，则sin2asin2bsin2c，由倍角公式可得cos 2bcos 2c，反之也成立所以在abc中，“abcos 2bcos 2c”的充要条件，故选c.热点三逻辑联结词、量词1命题pq，只要p，q有一真，即为真；命题pq，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题2命题pq的否定是(綈p)(綈q)；命题pq的否定是(綈p)(綈q)3“xm，p(x)”的否定为“x0m，綈p(x0)”；“x0m，p(x0)”的否定为“xm，綈p(x)”例3(1)已知函数f(x)给出下列两个命题：命题p：若m，则f(f(1)0；命题q：m(，0)，方程f(x)0有解那么，下列命题为真命题的是()apqb(綈p)qcp(綈q) d(綈p)(綈q)(2)(2017届安徽百校论坛联考)已知命题p：x(1，)，log3(x2)0，则下列叙述正确的是()a綈p：x(1，)，log3(x2)0b綈p：x0(1，)，log3(x2)0c綈p：x0(，1，log3(x2)0d綈p是假命题答案(1)c(2)d解析(1) 若m，则f(f(1)f0，故命题p为真命题当x0；当x0时，若m0，f(x)mx2f(1)0，故p是真命题，即綈p是假命题故选d.思维升华(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立(2)判断命题的真假要先明确命题的构成由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算跟踪演练3(1)(2017届黑吉两省八校期中)已知：命题p：若函数f(x)x2|xa|是偶函数，则a0；命题q：m(0，)，关于x的方程mx22x10有解在pq；pq；(綈p)q；(綈p)(綈q)中，为真命题的是()abcd(2)(2017届徐州丰县民族中学调研)若命题“x0r，使得x(1a)x010”是假命题，则实数a的取值范围为_答案(1)d(2)1,3解析(1) 因为f(x)f(x)，所以1|a1|1|a1|，解得a0，故命题p为真命题；又因为当44m0，即m1时，方程有解，所以q为假命题所以pq与(綈p)(綈q)为真命题，故选d.(2)由题设可得(1a)240，解得1a3.真题体验1(2017北京改编)若集合ax|2x1，bx|x3，则ab_.答案x|2x1解析ax|2x1，bx|x3，abx|2x12(2017天津改编)设r，则“”是“sin ”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析，即0.显然当0时，sin 成立但当sin 时，由周期函数的性质知，0不一定成立故0是sin 的充分不必要条件，即“”是“sin ”的充分不必要条件3(2017山东改编)已知命题p：xr，x2x10；命题q：若a2b2，则a1，则ab等于()a(2,3 b2,3c(，0)(0,2 d(，1)0,3押题依据集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇答案a解析a0,3又log2(x2x)log22，即x2x2，解得x2，所以b(，1)(2，)所以ab(2,32已知“xk”是“1”的充分不必要条件，则k的取值范围是()a2，) b1，)c(2，) d(，1押题依据充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念答案a解析由1，可得10，所以x2.因为“xk”是“0，bx|a2xb20，则“”是“ab”的必要不充分条件；若pq为真命题，则pq也为真命题；命题“x0r，xx010”的否定为“xr，x2x10(1，)，bx|x10(，1)，ab；必要性成立：aba1a20；当pq为真命题时，p，q不一定全真，因此pq不一定为真命题；命题“x0r，xx010”的否定应为“xr，x2x10”所以为真，故选c.4若x是一个集合，是一个以x的某些子集为元素的集合，且满足：x属于，空集属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于，则称是集合x上的一个拓扑已知集合xa，b，c，对于下面给出的四个集合：，a，c，a，b，c；，b，c，b，c，a，b，c；，a，a，b，a，c；，a，c，b，c，c，a，b，c其中是集合x上的一个拓扑的集合是_(填序号)押题依据以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口答案解析，a，c，a，b，c，但是aca，c，所以错；都满足集合x上的一个拓扑集合的三个条件所以正确；a，ba，ca，b，c，所以错a组专题通关1(2017全国)设集合a1,2,4，bx|x24xm0若ab1，则b等于()a1，3 b1,0 c1,3 d1,5答案c解析ab1，1b，14m0，即m3.bx|x24x301,3故选c.2设集合ay|ysin x，xr，bx|ylg(x)，则ab等于()a(0,1 b1,0)c1,0d(，1答案b解析因为a1,1，b(，0)，所以ab1,0)故选b.3(2017届河南息县第一高级中学检测)已知集合ax|x240，bx|1x5，则a(rb)等于()a(2,0) b(2，1)c(2，1 d(2,2)答案c解析ax|x240x|2x2，因为bx|15，所以a(rb)(2，1，故选c.4(2017全国)已知集合a(x，y)|x2y21，b(x，y)|yx，则ab中元素的个数为()a3 b2 c1 d0答案b解析集合a表示以原点o为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合，集合b表示直线yx上的所有点的集合结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以ab中元素的个数为2.故选b.5(2017山东)已知命题p：x0，ln(x1)0；命题q：若ab，则a2b2.下列命题为真命题的是()apqbp(綈q)c(綈p)qd(綈p)(綈q)答案b解析x0，x11，ln(x1)ln 10.命题p为真命题，綈p为假命题ab，取a1，b2，而121，(2)24，此时a2b2，命题q为假命题，綈q为真命题pq为假命题，p(綈q)为真命题，(綈p)q为假命题，(綈p)(綈q)为假命题故选b.6(2017全国)设有下面四个命题：p1：若复数z满足r，则zr；p2：若复数z满足z2r，则zr；p3：若复数z1，z2满足z1z2r，则z12；p4：若复数zr，则r.其中的真命题为()ap1，p3 bp1，p4 cp2，p3 dp2，p4答案b解析设zabi(a，br)，z1a1b1i(a1，b1r)，z2a2b2i(a2，b2r)对于p1，若r，即r，则b0zabiar，所以p1为真命题；对于p2，若z2r，即(abi)2a22abib2r，则ab0.当a0，b0时，zabibir，所以p2为假命题；对于p3，若z1z2r，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)ir，则a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为a1b2a2b10a1a2，b1b2，所以p3为假命题；对于p4，若zr，即abir，则b0abiar，所以p4为真命题故选b.7(2017届安徽淮北一中模拟)“a21”是“函数f(x)ln(1ax)ln(1x)为奇函数”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d即不充分也不必要条件答案b解析当a1时，f(x)0(x1)为非奇非偶函数，当a1时，f(x)ln(1x)ln(1x)为奇函数，故为必要不充分条件8下列四种说法中：命题“x0r，xx00”的否定是“xr，x2x0”的否定是“xr，x2x0”，故项错误；项，充分性：“p且q为真”，则p真，q真，故p或q为真，充分性成立；必要性：“p或q为真”，则p与q其中一个命题可以为假命题，故命题“p且q为真”不一定成立，故必要性不成立，故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故项错误；项，幂函数f(x)xa的图象经过点，则f(2)2aa，则f(4)，故项正确；项，向量a(3，4)，b(2,1)，则a在b方向上的投影为|a|cos ，故项错误故选c.9(2017届汕头期末)下列判断错误的是()a命题“x01，x10”的否定是“x1，x210”b“x2”是“x2x20”的充分不必要条件c若“pq”为假命题，则p，q均为假命题d命题“若ab0，则a0或b0”的否命题为“若ab0，则a0且b0”答案c解析a中，由特称命题(存在性命题)的否定为全称命题知a正确；b中，由x2x20，解得x2或x1，所以“x2”是“x2x20”的充分不必要条件，故b正确；c中，“pq”为假命题，则p，q中可能一真一假，也可能p，q均为假命题，故c错；d中，由否命题的概念知，d正确，故选c.10设全集ur，函数f(x)lg(|x1|a1)(a1)的定义域为a，集合bx|cos x1，若(ua)b恰好有两个元素，则a的取值的集合为_答案a|20，可得xa或xa2，故uaa2，a而bx|x2k，kz，注意到a2，a关于x1对称，所以由题设可得即2a0.11已知mr，命题p：对任意实数x，不等式x22x1m23m恒成立，若綈p为真命题，则m的取值范围是_答案m|m2解析对任意xr，不等式x22x1m23m恒成立，所以(x1)22minm23m，即m23m2，解得1m2.因为綈p为真命题，所以m2.12设命题p：|4x3|1；命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_答案解析p：|4x3|1，x1；q：x2(2a1)xa(a1)0，axa1.綈