高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第3讲 定点、定值、存在性问题课后强化训练.doc

专题六第三讲 定点、定值、存在性问题a组1(2017天津津南一模)平面直角坐标系中，已知两点a(3,1)，b(1,3)，若点c满足12(o为原点)，其中1，2r，且121，则点c的轨迹是 (a)a直线b椭圆c圆d双曲线解析设c(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又1x21，所以1，即x2y5，所以点c的轨迹为直线故选a2(2017长春质检)过双曲线x21的右支上一点p，分别向圆c1：(x4)2y24和圆c2：(x4)2y21作切线，切点分别为m，n，则|pm|2|pn|2的最小值为 (b)a10 b13 c16 d19解析由题意可知，|pm|2|pn|2(|pc1|24)(|pc2|21)，因此|pm|2|pn|2|pc1|2|pc2|23(|pc1|pc2|)(|pc1|pc2|)32(|pc1|pc2|)32|c1c2|313故选b3(2017山西质检)已知f1，f2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，且|f1f2|2，若p是该双曲线右支上的一点，且满足|pf1|2|pf2|，则pf1f2面积的最大值是 (b)a1 b c d2解析|pf1|4a，|pf2|2a，设f1pf2，cos ，s2pf1f2(4a2asin )216a4(1)9(a2)2，当且仅当a2时，等号成立，故spf1f2的最大值是故选b4(2017云南统检)已知双曲线m的焦点f1，f2在x轴上，直线x3y0是双曲线m的一条渐近线，点p在双曲线m上，且0，如果抛物线y216x的准线经过双曲线m的一个焦点，那么| (b)a21 b14 c7 d0解析设双曲线方程为1(a0，b0)，直线x3y0是双曲线m的一条渐近线，又抛物线的准线为x4，c4又a2b2c2.由得a3设点p为双曲线右支上一点，由双曲线定义得6又0，在rtpf1f2中|2|282联立，解得|145已知直线yk(x2)(k0)与抛物线c：y28x相交于a、b两点，f为c的焦点，若|fa|2|fb|，则k的值为 (d)a b c d解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x10，x20，|fa|x12，|fb|x22，x122x24，x12x22由，得k2x2(4k28)x4k20，x1x24，x1x24由，得xx220，x21，x14，45，k2，k6(文)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为f1、f2，且它们在第一象限的交点为p，pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形若|pf1|10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)则该椭圆的离心率的取值范围是 (c)a(，) b(，)c(，) d(，1)解析设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，由椭圆的定义及题意知，|pf1|2a|pf2|2a2c10，得到ac50，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以12，c，椭圆的离心率e1，且10)上任意一点，m是线段pf上的点，且|pm|2|mf|，则直线om斜率的最大值为 (c)a b c d1解析设p(，t)，则f(，0)，则由|pm|2|mf|，得m(，)，当t0时，直线om的斜率k0，当t0时，直线om的斜率k，所以|k|，当且仅当时取等号，于是直线om的斜率的最大值为，故选c7(2017河南洛阳统考)已知f1，f2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，p是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若|pf1|pf2|12，则抛物线的准线方程为_x2_.解析将双曲线方程化为标准方程得1，抛物线的准线为x2a，联立x3a，即点p的横坐标为3a.而由|pf2|6a，又易知f2为抛物线的焦点，|pf2|3a2a6a，得a1，抛物线的准线方程为x28(2017南昌一模)已知抛物线c：x24y的焦点为f，过点f且斜率为1的直线与抛物线相交于m，n两点设直线l是抛物线c的切线，且lmn，p为l上一点，则的最小值为_14_.解析由题意知f(0,1)，所以过点f且斜率为1的直线方程为yx1，代入x24y，整理得x24x40，解得x22，所以可取m(22，32)，n(22，32)，因为lmn，所以可设l的方程为yxm，代入x24y，整理得x24x4m0，又直线l与抛物线相切，所以(4)24(4m)0，所以m1，l的方程为yx1.设点p(x，x1)，则(2x2，4x2)，(2x2，4x2)，(2x)28(4x)282x212x42(x3)214149(2017石家庄质检)设抛物线c：y24x的焦点为f，过f的直线l与抛物线交于a，b两点，m为抛物线c的准线与x轴的交点，若tanamb2，则|ab|_8_.解析依题意作出图象如图所示，设l：xmy1，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得，y24my40，y1y24m，y1y24，x1x21，x1x2m(y1y2)24m22tanambtan(amfbmf)，2，2，y1y24m2，44m2，m21，|ab|af|bf|x11x214m24810(文)已知圆m：x2(y2)21，直线l：y1，动圆p与圆m相外切，且与直线l相切设动圆圆心p的轨迹为e.(1)求e的方程；(2)若点a，b是e上的两个动点，o为坐标原点，且16，求证：直线ab恒过定点解析(1)o的圆心m(0,2)，半径r1，设动圆圆心p(x，y)，由条件知|pm|1等于p到l的距离，|pm|等于p到直线y2的距离，p点轨迹是以m(0,2)为焦点，y2为准线的抛物线方程为x28y(2)设直线ab：ykxb，a(x1，y1)，b(x2，y2)将直线ab的方程代入到x28y中得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b，又因为x1x2y1y2x1x28bb216b4所以直线bc恒过定点(0,4)(理)(2017青岛检测)已知点f(1,0)，直线l：x1，动点p到点f的距离等于它到直线l的距离.(1)试判断点p的轨迹c的形状，并写出其方程；(2)是否存在过n(4,2)的直线m，使得直线m被截得的弦ab恰好被点n所平分？解析(1)因为p到点f的距离等于它到直线l的距离，所以点p的轨迹c是以f为焦点，直线x1为准线的抛物线，其方程为y24x(2)解法一：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹c交于a(x1，y1)、b(x2，y2)，依题意，得当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x4，由得y4与y1y24矛盾，不合题意当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y2k(x4)，联立方程组消去y，得k2x2(8k24k4)x(24k)20，(*)x1x28，解得k1此时，方程(*)为x28x40，其判别式大于零，存在满足题设的直线m且直线m的方程为：y2x4，即xy20解法二：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹c交于a(x1，y1)、b(x2，y2)，依题意，得易判断直线m不可能垂直于y轴，设直线m的方程为x4a(y2)，联立方程组消去x，得y24ay8a160，16(a1)2480，直线与轨迹c必相交又y1y24a4，a1存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y2x4，即xy20解法三：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹c交于a(x1，y1)，b(x2，y2)，依题意，得a(x1，y1)，b(x2，y2)在轨迹c上，有由得，yy4(x1x2)当x1x2时，弦ab的中点不是n，不合题意，1，即直线ab的斜率k1，注意到点n在曲线c的张口内(或：经检验，直线m与轨迹c相交)，存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y2x4，即xy20b组1如图，椭圆e：1(ab0)经过点a(0，1)，且离心率为.()求椭圆e的方程；()经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆e交于不同的两点p，q(均异于点a)，证明：直线ap与aq的斜率之和为2解析()由题意知，b1，结合a2b2c2，解得a，所以，椭圆的方程为y21()证明：由题设知，直线pq的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0由已知0，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2从而直线ap与aq的斜率之和kapkaq2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)22设椭圆e：1的焦点在x轴上.(1)若椭圆e的焦距为1，求椭圆e的方程；(2)设f1、f2分别是椭圆e的左、右焦点，p为椭圆e上第一象限内的点，直线f2p交y轴于点q，并且f1pf1q，证明：当a变化时，点p在某条定直线上解析(1)因为椭圆e的焦点在x轴上，焦距为1，所以2a21，解得a2故椭圆e的方程为1(2)设p(x0，y0)，f1(c,0)，f2(c,0)，其中c.由题设知x0c，则直线f1p的斜率kf1p直线f2p的斜率kf2p故直线f2p的方程为y(xc)当x0时，y，即点q坐标为(0，)因此，直线f1q的斜率为kf1q由于f1pf1q，所以kf1pkf1q1化简得yx(2a21)将代入椭圆e的方程，由于点p(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点p在定直线xy1上3(文)设点p是曲线c：x22py(p0)上的动点，点p到点(0,1)的距离和它到焦点f的距离之和的最小值为.(1)求曲线c的方程；(2)若点p的横坐标为1，过p作斜率为k(k0)的直线交c于点q，交x轴于点m，过点q且与pq垂直的直线与c交于另一点n，问是否存在实数k，使得直线mn与曲线c相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解析(1)依题意知1，解得p所以曲线c的方程为x2y(2)由题意直线pq的方程为：yk(x1)1，则点m(1，0)联立方程组，消去y得x2kxk10，得q(k1，(k1)2)所以得直线qn的方程为y(k1)2(xk1)代入曲线方程yx2中，得x2x1(1k)20解得n(1k，(1k)2)所以直线mn的斜率kmn过点n的切线的斜率k2(1k)由题意有2(1k)解得k故存在实数k使命题成立(理)已知椭圆1(ab0)的右焦点为f(1,0)，离心率e，a、b是椭圆上的动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线oa与ob的斜率乘积koakob，动点p满足， (其中实数为常数)问是否存在两个定点f1、f2，使得|pf1|pf2|为定值？若存在，求f1、f2的坐标，若不存在，说明理由解析(1)由题设可知：a又b2a2c2，b21，椭圆标准方程为y21(2)设p(x，y)、a(x1，y1)、b(x2，y2)，则由得，(x，y)(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)，即xx1x2，yy1y2因为点a、b在椭圆x22y22上，所以x2y2，x2y2，故x22y2(x2x2x1x2)2(yy2y1y2)(x2y)2(x2y)2(x1x22y1y2)2222(x1x22y1y2)设koa，kob分别为直线oa，ob的斜率，由题设条件知koakob，因此x1x22y1y20，所以x22y2222. 即1，所以p点是椭圆1上的点，设该椭圆的左、右焦点为f1、f2，则由椭圆的定义|pf1|pf2|为定值又因c因此两焦点的坐标为f1(，0)，f2(，0)所以存在两个定点f1(，0)，f2(，0)使得|pf1|pf2| 24(2016全国卷，20)已知椭圆e：1的焦点在x轴上，a是e的左顶点，斜率为k(k0)的直线交e于a，m两点，点n在e上，mana.()当t4，|am|an|时，求amn的面积；()当2|am|an|时，求k的取值范围解析()设m(x1，y1)，则由题意知y10当t4时，e的方