高考数学复习解决方案 真题与模拟单元重组卷 重组十四 大题冲关——圆锥曲线的综合问题试题 理.DOC

重组十四大题冲关圆锥曲线的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12017成都月考(本小题满分15分)已知点p是圆f1：(x1)2y216上任意一点(f1是圆心)，点f2与点f1关于原点对称线段pf2的中垂线m分别与pf1，pf2交于m，n两点(1)求点m的轨迹c的方程；(2)直线l经过f2，与抛物线y24x交于a1，a2两点，与c交于b1，b2两点，当以b1b2为直径的圆经过f1时，求|a1a2|.解(1)由题意得f1(1,0)，f2(1,0)，圆f1的半径为4，且|mf2|mp|，从而|mf1|mf2|mf1|mp|pf1|4|f1f2|，所以点m的轨迹是以f1，f2为焦点的椭圆，其中长轴长2a4，得到a2，焦距2c2，则短半轴长b，则轨迹c的方程为1.(6分)(2)当直线l与x轴垂直时，可取b1，b2，又f1(1,0)，此时0，所以以b1b2为直径的圆不经过f1，不满足条件(8分)当直线l不与x轴垂直时，设l：yk(x1)，由得(34k2)x28k2x4k2120，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点设b1(x1，y1)，b2(x2，y2)，则x1x2，x1x2，因为以b1b2为直径的圆经过f1，所以0，又f1(1,0)，所以(1x1)(1x2)y1y20，即(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)1k20，解得k2，由得k2x2(2k24)xk20，因为直线l与抛物线有两个交点，所以k0.设a1(x3，y3)，a2(x4，y4)，则x3x42，x3x41，所以|a1a2|x3x4p22.(15分)22017东北三省四市统考(本小题满分15分)椭圆c1：1(ab0)的长轴长等于圆c2：x2y24的直径，且c1的离心率等于.直线l1和l2是过点m(1,0)，且互相垂直的两条直线，l1交c1于a，b两点，l2交c2于c，d两点(1)求c1的标准方程；(2)当四边形acbd的面积为时，求直线l1的斜率k(k0)解(1)由题意得2a4，a2.(1分)，c1，(3分)b，(4分)椭圆c1的标准方程为1.(5分)(2)直线ab：yk(x1)，则直线cd：y(x1)，由得(34k2)x28k2x4k2120.(7分)设a，b两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则(8分)|ab|x1x2|.(10分)圆心(0,0)到直线cd：xky10的距离d，又d24，|cd|2，(12分)abcd，s四边形acbd|ab|cd|，(13分)由，解得k1或k1，(14分)由k0，得k1.(15分)32016全国卷(本小题满分20分)设圆x2y22x150的圆心为a，直线l过点b(1,0)且与x轴不重合，l交圆a于c，d两点，过b作ac的平行线交ad于点e.(1)证明|ea|eb|为定值，并写出点e的轨迹方程；(2)设点e的轨迹为曲线c1，直线l交c1于m，n两点，过b且与l垂直的直线与圆a交于p，q两点，求四边形mpnq面积的取值范围解(1)证明：因为|ad|ac|，ebac，故ebdacdadc.(2分)所以|eb|ed|，故|ea|eb|ea|ed|ad|.(4分)又圆a的标准方程为(x1)2y216，从而|ad|4，所以|ea|eb|4.(6分)由题设得a(1,0)，b(1,0)，|ab|2，由椭圆定义可得点e的轨迹方程为1(y0)(8分)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，(10分)则x1x2，x1x2，所以|mn|x1x2|.(12分)过点b(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，a到m的距离为，所以|pq|24.(14分)故四边形mpnq的面积s|mn|pq|12.(15分)可得当l与x轴不垂直时，四边形mpnq面积的取值范围为(12,8)(17分)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|mn|3，|pq|8，四边形mpnq的面积为12.(19分)综上，四边形mpnq面积的取值范围为12,8)(20分)42017广州统测(本小题满分20分)已知动圆p的圆心为点p，圆p过点f(1,0)且与直线l：x1相切(1)求点p的轨迹c的方程；(2)若圆p与圆f：(x1)2y21相交于m，n两点，求|mn|的取值范围解(1)依题意，点p到点f(1,0)的距离等于点p到直线l的距离，(2分)点p的轨迹是以点f为焦点，直线l：x1为准线的抛物线，(4分)曲线c的方程为y24x.(6分)(2)设点p(x0，y0)，则圆p的半径r|x01|.(7分)圆p的方程为(xx0)2(yy0)2(x01)2.(8分)圆f：(x1)2y21，得直线mn的方程为2(1x0)x2y0yy2x010.(10分)点p(x0，y0)在曲线c：y24x上，y4x0，且x00.点f到直线mn的距离d.(12分)圆f：(x1)2y21的半径为1，|mn|22(13分)22.(14分)x00，(x01)21，0，(16分)11，(18分)|mn|0)，点r(1,2)在抛物线c上(1)求抛物线c的方程；(2)过点q(1,1)作直线交抛物线c于不同于r的两点a，b.若直线ar，br分别交直线l：y2x2于m，n两点，求|mn|最小时直线ab的方程解(1)将r(1,2)代入抛物线中，可得p2，所以抛物线方程为y24x.(6分)(2)设ab所在直线方程为xm(y1)1(m0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)与抛物线联立得y24my4(m1)0，所以y1y24m，y1y24(m1)(10分)设ar：yk1(x1)2，由得xm，而k1，可得xm，同理xn，(14分)所以|mn|xmxn|2 .令m1t(t0)，则mt1，所以|mn|xmxn|2 ，此时m1，ab所在直线方程为：xy20.(20分)62016贵阳适应性月考(本小题满分20分)已知椭圆c：1(ab0)的右焦点是抛物线y24x的焦点，以原点o为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线xy20相切(1)求椭圆c的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆c相交于p，q两点，且poq的面积为定值，试判断直线op与oq的斜率之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由解(1)由题意知c1，a2，b2a2c23，a24，b23，椭圆c的标准方程为1.(6分)(2)设p(x1，y1)，q(x2，y2)，由得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m20，x1x2，x1x2，(11分)y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.|pq|x1x2|，o到直线l的距离d，spoq|pq|d，可得2m24k23.(16分)kopkoq，kopkoq为定值.(20分)72016北京丰台区测试(本小题满分20分)已知椭圆g：1(ab0)的离心率为，短半轴长为1.(1)求椭圆g的方程；(2)设椭圆g的短轴端点分别为a，b，点p是椭圆g上异于点a，b的一动点，直线pa，pb分别与直线x4交于m，n两点，以线段mn为直径作圆c.当点p在y轴左侧时，求圆c半径的最小值；问：是否存在一个圆心在x轴上的定圆与圆c相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由解(1)因为1(ab0)的离心率为，短半轴长为1.所以得到所以椭圆的方程为y21.(6分)(2)设p(x0，y0)，a(0,1)，b(0，1)，所以直线pa的方程为y1x，令x4，得到ym1，同理yn1，得到|mn|，所以，圆c半径r(2x00)，当x02时，圆c半径的最小值为3.(12分)当p在左端点时，圆c的方程为(x4)2y29；(14分)当p在右端点时，设p(2,0)，a(0,1)，b(0，1)，所以直线pa的方程为y1x.令x4，得到ym1，同理得到yn1，圆c的方程为(x4)2y21，易知与定圆(x2)2y21相切，半径r1.(16分)由第(2)问知圆c的半径r因为ym1，yn1，圆c的圆心坐标为，圆心距d当2x00时，drr1，此时定圆与圆c内切；当0b0)，定义椭圆c的“相关圆”e方程为x2y2，若抛物线y24x的焦点与椭圆c的一个焦点重合，且椭圆c短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形(1)求椭圆c的方程和“相关圆”e的方程；(2)过“相关圆”e上任意一点p作“相关圆”e的切线l与椭圆c交于a，b两点，o为坐标原点证明：aob为定值；连接po并延长交“相关圆”e于点q，求abq面积的取值范围解(1)因为抛物线y24x的焦点为(1,0)与椭圆c的一个焦点重合，所以c1，(1分)又因为椭圆c短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以bc1，a2b2c22，故椭圆c的方程为y21，(4分)“相关圆”e的方程为x2y2.(6分)(2)证明：当直线l的斜率不存在时，不妨设直线ab方程为x，则a，b，所以aob.(7分)当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立方程组得x22(kxm)22，即(12k2)x24kmx2m220，(8分)所以16k2m24(12k2)(2m22)8(2k2m21)0，即2k2m210.由韦达定理得(9分)因为直线与相关圆相切，所以d，3m222k2，(10分)x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2m20，aob为定值