高考数学总复习 高考达标检测（三十三）空间向量2综合折叠、探索 理.doc

高考达标检测（三十三） 空间向量2综合折叠、探索1如图所示，四边形abcd是边长为1的正方形，md平面abcd，nb平面abcd，且mdnb1，e为bc的中点(1)求异面直线ne与am所成角的余弦值；(2)在线段an上是否存在点s，使es平面amn？若存在，求线段as的长；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知，da，dc，dm两两垂直，故以d为坐标原点，建立空间直角坐标系d xyz.由题意易得d(0,0,0)，a(1,0,0)，m(0,0,1)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，n(1,1,1)，e，(1,0,1)|cos，|，异面直线ne与am所成角的余弦值为.(2)假设在线段an上存在点s，使es平面amn，连接ae.(0,1,1)，可设(0，)，又，.由es平面amn，得即故，此时，|，经检验，当as时，es平面amn.故线段an上存在点s，使得es平面amn，此时as.2如图1，在abc中，c90，acbc3a，点p在ab 上，pebc交ac于点e，pfac交bc于点f.沿pe将ape翻折成ape，使得平面ape平面abc；沿pf将bpf翻折成bpf，使得平面bpf平面abc，如图2.(1)求证：bc平面ape；(2)若ap2pb，求二面角apcb的正切值解：(1)证明：因为fcpe，fc平面ape，pe平面ape，所以fc平面ape.因为平面ape平面abc，且平面ape平面abcpe，aepe，所以ae平面abc.同理bf平面abc，所以bfae，从而bf平面ape.又fcbff，所以平面bcf平面ape，从而bc平面ape.(2)法一：因为acbc3a，ap2pb，所以cea，ea2a，pe2a，pca.如图，过e作empc，垂足为m，连接am.由(1)知ae平面abc，可得aepc，所以pc平面aem，所以ampc.所以ame即二面角apce的平面角在rtpec中，由等面积法易得ema，所以在rtaem中，可得taname.过f作fnpc，垂足为n，连接bn.同理可得bnf即二面角bpcf的平面角，且tanbnf.设二面角apcb的大小为，则amebnf，所以tan tan(amebnf)，即二面角apcb的正切值为.法二：易知ec，ep，ea两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系exyz.则c(a,0,0)，p(0,2a,0)，a(0,0,2a)，b(a,2a，a)所以(a,0，2a)，(0,2a，2a)，(0，2a，a)，(a,0，a)设平面acp的一个法向量为m(x，y,1)，则即解得所以平面acp的一个法向量为m(2,1,1)设平面bcp的一个法向量为n(x，y，1)，则即解得所以平面bcp的一个法向量为n.设二面角apcb的大小为，易知为锐角，则cos ，从而可得tan ，即二面角apcb的正切值为.3.在如图所示的几何体中，四边形abcd是菱形，adnm是矩形，平面adnm平面abcd，dab60，ad2，am1，e为ab的中点(1)求证：an平面mec；(2)在线段am上是否存在点p，使二面角pecd的大小为？若存在，求出ap的长h；若不存在，请说明理由解：(1)证明：如图，连接nb交mc于点f，连接ef.由已知可得四边形bcnm是平行四边形，f是bn的中点，又e是ab的中点，anef.又ef平面mec，an平面mec，an平面mec.(2)假设线段am上存在点p，使二面角pecd的大小为.在am上取一点p，连接ep，cp.由于四边形abcd是菱形，且dab60，e是ab的中点，可得deab，所以decd.因为四边形adnm是矩形，所以dnad.又平面adnm平面abcd，平面adnm平面abcdad，dn平面abcd，以de，dc，dn所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则d(0,0,0)，e(，0,0)，c(0,2,0)，p(，1，h)，则(，2,0)， (0，1，h)，设平面pec的法向量为n1(x，y，z)，则令yh，则n1(2h，h，)，又平面dec的法向量n2(0,0,1)，cos n1，n2，解得h，在线段am上存在点p，使二面角pecd的大小为，此时h.4如图，已知在长方形abcd中，ab2，a1，b1分别是边ad，bc上的点，且aa1bb11，a1e垂直b1d于e，f为ab的中点把长方形abcd沿直线a1b1折起，使得平面aa1b1b平面a1b1cd，且直线b1d与平面aa1b1b所成的角为30.(1)求异面直线a1e，b1f所成角的余弦值；(2)求二面角fb1da1的余弦值解：由已知条件可得a1a，a1b1，a1d两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系，由已知ab2，aa1bb11，可得a1(0,0,0)，b1(2,0,0)，f(1,0,1)又a1d平面aa1b1b，所以b1d与平面aa1b1b所成的角为db1a130，又a1b1ab2，a1eb1d，所以a1e1，a1d，从而易得e，d.(1)因为，(1,0,1)，所以cos ，.所以异面直线a1e，b1f所成角的余弦值