毕业设计（论文）-泰勒公式的展开及其应用.docx

本科毕业论文（设计）Taylor公式的展开及其应用学 院：数学与统计学院专 业：数学与应用数学班 级：应数121班 学 号： 学生姓名： 指导教师： 2016年06月10日本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所完成。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。特此声明。论文（设计）作者签名： 日 期： 目 录摘 要IABSTRACTII前 言III第一章、预备知识11.1TAYLOR公式11.2不常见的TAYLOR余项41.3TAYLOR公式展开的唯一性51.4常见函数的展开式61.5常见展开式的拓展6第二章、TAYLOR公式在数学分析上的应用82.1利用TAYLOR公式求极限82.2利用TAYLOR公式作导数的中值估计92.3利用TAYLOR公式求极值102.4利用TAYLOR公式求曲线的渐近方程112.5利用TAYLOR公式证明不等式14第三章、在数学计算方面的应用173.1利用TAYLOR公式求近似值173.2TAYLOR公式导出牛顿迭代法和欧拉法.183.3判定迭代法的收敛速度.19第四章、在复变函数中的应用224.1复变函数的LAURENT展开224.2积分的计算224.3 TAYLOR公式判断正项级数的敛散性22结束语25参考文献26致谢27 贵州大学本科毕业论文（设计） 第 32 页Taylor公式的展开及其应用摘 要James Gray在1671年已经发现了Taylor公式的特例，不过当时并未明确提出,在41年后著名的英国数学家BrookTaylor在他的一封信里首次公诉了这个公式,并计算出了这个多项式和真实的函数值之间的误差,Taylor公式也由此而得名.在1797年之前Lagrange最先提出了带有余项的现在形式的Taylor定理.伴随着科技的发展，越来越多的计算需要进行近似化或模拟化，合理的运用Taylor公式可以大大的减小这其中所产生的误差。本文主要通过引入数学分析中的知识点Taylor展开的思想，采取举例分析的方法，对Taylor公式展开的特性及高等数学各个方面的应用进行了分析讨论(利用Taylor公式求极限、计算近似值、证明不等式、求曲线的渐近线方程、计算留数、判断级数的收敛和发散性、作导数的中值估计、计算极值)关键词：Taylor公式；极限；近似值；不等式；渐近线AbstractJames Gray had found the special case of Taylor Formula in 1671, but he didnt clearly put it forward. Forty-one years later, famous British Mathematician BrookTaylor made it known to the public in a letter and figure out the random error between the polynomial and its real functional value, from which Taylor Formula got its name. Before 1979, Lagrange is the earliest person to put forward the present form of Taylor Theorem with remainder. With the scientific and technological development, more and more calculations need to be approximated and simulated, which causes larger errors, but the reasonable use of Taylor Formula can greatly improve it.With illustrations, this paper analyzes and discusses the features of expanded Taylor Formula and applications in different areas in advanced mathematics by introducing expanded thought knowledge in mathematical analysis. (Using Taylor Formula to seek the limit, compute approximate value, prove in-equation, find curve asymptotic equations, compute residue, estimate convergence and divergence of series, evaluate derivative median and compute extreme value.) Key words: Taylor Formula; the limit; approximate value; in-equation; curve asymptotic line前 言早期自然科学家们进行科学研究计算时，为了简化问题，总是将问题近似地的看作线性问题进行讨论研究。直至Taylor展开思想的提出：利用n次多项式来逼近函数f,而多项式具有形式简单，易于计算等优点。我们已经知道，在函数的运算中，多项式函数只用到加、减、乘三种简单的运算，把一个复杂的函数近似地用多项式表示出来，并能使误差达到预期的要求。这大大降低了理论研究的误差，另外在高等数学方面，Taylor公式可以将给定函数用多项式和表示出来，这种化繁琐为简单的作用使得Taylor公式成为高等数学的核心内容之一。本文将在前人的理论基础上进行应用探讨，所涉及的内容不仅有经常用到的还有一部分是我们不常见的Taylor公式的应用，本文最大的特点是让Taylor公式零散的应用系统化，进而加深大家对Taylor公式的认识和理解。第一章、预备知识1.1Taylor公式用多项式近似地表达一个给定函数的问题, 不仅从计算的观点看是很必要的, 而且从理论分析的角度看也是很有意义的, 一般的函数不好处理, 就常常用容易处理的简单函数近似地代替它, 因此这种简单函数再过渡到原来的函数, 这就是Taylor公式的基本思想.Taylor的定义: 已知f(x)在x0处可微, 那么在x0附近存在fx=fx0+fx0 x-x0+ox-x0,从上述公式可得知, 在x=x0附近用一次多项式fx0+fx0 x-x0作近似值取代fx时, 其误差为x-x0的高阶无穷小量, 这时fx0+fx0 x-x0的精确度对于x-x0来说只达到了一阶, 为了提高精确度, 必须考虑使用更高次数的多项式作逼近. 若函数fx在x0处n阶可导时, 有如下更精确的计算公式.定理1.1.11(Peano余项的Taylor公式): 若函数fx在x0存在n阶导数, 则存在x0的一个邻域, 对于该邻域中的任一点x, 成立fx=fx0+fx0 x-x0+fx02!x-x02+fnx0n!(x-x0)n+ox-x0n, (1)上诉公式称为fx在x=x0处的带Peano余项的Taylor公式, 它的前n+1项组成,的多项式pnx=fx0+fx0 x-x0+fx02!x-x02+fnx0n!(x-x0)n,称为fx的n次Taylor多项式, 余项rnx=o(x-x0n)称为Peano的余项.证 因为 rnx=fx-k=0nfkx0k!x-x0k,所以只需证明rnx=ox-x0n, 又因为 rnx0=rnx0=rnx0=rnn-1ou 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333x0=0,反复应用LHospital法则, 则有: limxx0rnxx-x0n=limxx0rnxnx-x0n-1=limxx0rnxnn-1x-x0n-2=limxx0rnn-1xnn-12x-x0 =1n!limxx0fn-1x-fn-1x0-fnx0 x-x0 x-x0=limxx0fn-1x-fn-1x0 x-x0-fnx0 =1n!fnx0-fnx0=0, 因此 rnx=ox-x0n. 当x0=0时, (1)式转化为fx=f0+f01!x+f02!x2+fn0n!xn+o(xn), 我们将此式子称为(带有Peano余项的) Maclaurin公式. 接下来将要介绍的关于Lagrange型的余项表达式, 与之前所提到的带Peano余项的Taylor展开式相比较在作近似估计、求不等式的极限的时候同样的便利, 不仅如此拉格朗日的型余项还克服了Peano余项只给出了余项的阶的估计式, 而没有给出余项与函数fx的关系这一缺点. 当然拉格朗日型的余项表达式的成立条件, 也伴之需要增加：“函数有n+1阶导数, 则可展开成为余项为Lagrange型的n次多项式”.定理1.1.22(带Lagrange余项的Taylor公式):若函数fx在a,b内为存在n阶的连续导数, 且在其上有n+1导数, 则在其上一定点x0, 对于任意xa,b, 成立.fx=fx0+fx0 x-x0+fx02!(x-x0)2+ +fnx0n!x-x0n+fn+1n+1!(x-x0)n+1, (2)其中在x与x0之间,称上式为fx在x=x0处带Lagrange余项的Taylor公式, 其中rnx=fn+1n+1!(x-x0)n+1,为Lagrange余项.证 使用辅助函数, 令Gt=fx-k=0nfktx-tkk!, Ht=(x-t)n+1. 则只需要证明 Gx0=fn+1n+1H(x0).设x0 x, 则有Gt和Ht在x0,x上连续, 在(x0,x)上可导, 且Gt=-fn+1tn!x-tn, Ht=-n+1x-tn,上式可看出Ht在x0,x上不等于零, 因为Gx=Hx=0, 由Cauchy中值定理可得G(x0)H(x0)=Gx-G(x0)Hx-H(x0)=G()H()=fn+1()n+1!,其中x0,x.因此 Gx0=fn+1n+1!H(x0) （当xx0时证明类同） 当x0=0时, 2式转化为fx=f0+f01!x+f02!x2+fn0n!xn+rn(x), 我们将此式为(带有Lagrange余项的) Maclaurin公式.当 n=0 时2式转化为fx=fx0+fx0 x-x0Lagrange中值定理, 因此Lagrange余项的Taylor公式可以看成是Lagrange中值定理的推广.1.2部分Taylor余项整理本小节部分公式引自参考文献31.2.1积分余项rnx=(-1)nn!ax(t-x)nfn+1tdt.1.2.2柯西（Cauchy）余项对Lagrange余rnx=fn+1(n+1)!(x-x0)n+1进行变换, 若把fn+1(x-x0)n看作一个函数, 使用积分第一中值定理进行计算, 则有:rnx=fn+1x-x0nn!(x-x0) =fn+1(1-)nx-x0n+1n!其中 0,1.1.2.3施勒米尔希罗什（Schlomilch-Roche）余项rnx=fn+1a+x-a(1-)n+1-px-an+1n!p,其中(0,1), p任意实数, 且当p=n+1时对应Lagrange余项p=1时对应柯西余项.1.3Taylor公式展开的唯一性定理2.3.14(唯一性):若fx=a0+a1x-x0+a2x-x02+anx-x0n+Rnx =b0+b1x-x0+b2x-x02+bnx-x0n+Rnx,则ai=bi,i=0,1,2,n.证明 设fx有连续的n阶导数, fx在x=x0处有展开式：fx=a0+a1x-x0+a2x-x02+anx-x0n+Rnx, (1)余项满足limxx0Rnx(x-x0)n=0;其中f0 x=fx.根据Taylor公式, fx在x=x0处可展开成 fx=i=0nfix0i!x-x0i+ox-x0n. (2)联立(1)式与(2)式, 推出i=0naix-x0i+Rnx=i=0nfix0i!x-x0i+ox-x0n.令xx0取极限, 得a0=fx0. 两边消去首项, 再同时除以x-x0, 然后令xx0取极限, 得a1=fx0. 反复推导可以得出公式 ak=fkx0k!k=0,1,2,n, 该公式的存在表明: 不论通过什么途径、使用何种方式得到的形如(1)式的展开式, 只要余项满足limxx0Rnx(x-x0)n=0, 则此展开式的系数一定是相同的, 可以直接使用ak=fkx0k!进行计算. 1.4常见函数的展开式ex=1+x+x22!+xnn!+exn+1!xn+1+oxn+1;sinx=x-x33!+x55!-+(-1)nx2n+12n+1!+ox2n+1;cosx=1-x22!+x44!-x66!+(-1)nx2n2n!+ox2n;ln1+x=x-x22+x33-+-1xn+1n+1+oxn+1;11-x=1+x+x2+xn+oxn;(1+x)m=1+mx+mm-1m-n+1n!+oxn.1.5常见展开式的拓展1.5.1 正切函数的Taylor展开 tanx=sinxcosx=x-x33!+x55!-+(-1)nx2n+12n+1!+ox2n+11-x22!+x44!-x66!+(-1)nx2n2n!+ox2n =c1x+c3x3+c5x5+cnxn+ox,令sinx=n=0an=n=0(-1)nx2n+12n+1!, cosx=n=0bn=n=0(-1)nx2n2n!.则有cn=k=1nakbn-k,n=1,3,5,7;1.5.2 正割函数的Taylor展开使用“代入法”求解,在11-u=n=0un=1+u+u2+un+oun,中以u=x22!-x44!+x66!-代入, 可得secx=1cosx=1+x22!-x44!+x66!-+x22!-x44!+x66!-2+=1+12x2+524x4+. 第二章、Taylor公式在数学分析上的应用2.1利用Taylor公式求极限解决待定型的极限问题, 我们通常可以采用LHospital法则来进行求解, 但是, 对待少数求导比较复杂, 特别是需要多次使用LHospital法则的情况, Taylor公式于LHospital法则而言, 通常是更为有效的求极限公式.本小节部分内容引自文献5例2.1.1使用包括Taylor公式在内的不同计算方式计算下列式子的极限并进行比较limx0exsinx-x(1-x)x3.解 这是个00待定型的极限问题. 若用LHospital法则, 则分子分母必须求导3次 limx0exsinx-x1-xx3=limx0exsinx+excosx-1-2x)3x2 =limx0excosx-13x=limx0excosx-exsinx3=13.这样的计算过程繁杂计算过程容易出错. 若使用Taylor公式进行计算limx0exsinx-x1-xx3 =limx01+x+x22x-x36+ox3-x+x2x3=x33+o(x3)x3=13, 计算过程就简单多了.例2.1.2 limxx-x2ln(1+1x).解：令u=1x, 由于ln(1+u)=u-u22+o(u2)可使用Taylor公式展开得limxx-x2ln(1+1x)=limu0u-ln(1+u)u2=limu0u-ln(1+u)u2 =limu012u2+(u2)u2=12.例2.1.3 limxx32(x+1+x-1-2x).解: 令u=1x, 则有limxx32(x+1+x-1-2x) =limu0+1u32(1+u+1-u-2u) =limu0+1+u+1-u-2u2, 又因为 1+u+1-u-2=1+u2-u28+ou2+1-u2-u28+ou2-2=-u24+ou2, 所以limxx32(x+1+x-1-2x)=limu0+(1+u+1-u-2u2)=14.Taylor公式计算极限的本质是利用等价无穷小的替换来进行极限的计算, 合理的运用带Peano余项的Taylor公式可以将复杂的函数极限计算题变得非常简单.2.2利用Taylor公式作导数的中值估计例2.2.16若fx在a,b上有二阶导数, fa= fb=0, 试证：(a,b), 使得f()4b-a2fb-fa.证 应用Taylor公式, 将fa+b2分别在a, b点展开, 注意fa= fb=0, ,:aa+b2b使得fa+b2=fa+12fb-a22; (1)fa+b2=fb+12fb-a22, (2)2-(1)得fb-fa+18f-fb-a2=0.故 4fb-fab-a212f+ff.其中=,当ff时,当ff时.2.3利用Taylor公式求极值定理2.3.17（极值判定定理）：设函数fx在x0点的某一领域中有定义, 且fx在x0点连续.若fx0=0, 且fx在x0点二阶可导:(1) 若fx00, 则x0是fx的极小值点;(3) 若fx0=0, 则x0可能是fx的极值点也可能不是fx的极值点.证 因为fx0=0, 由Taylor公式 fx=fx0+fx0 x-x0+fx02!x-x02+ox-x02 =fx0+fx02!x-x02+ox-x02,推出 fx-fx0 x-x02=12!fx0+ox-x02x-x02,当xx0时, ox-x02x-x020, 因此当fx00时, 由极限的性质可得, 在x0点附近成立fx-fx0 x-x020.所以fx0时, fxfx0. 例题1求函数fx=3(4x-x4)4的极值.解 函数fx的定义域为(-,+), 由fx=1634x-x4131-x3,可知fx的驻点为x=1,使得fx不存在的点为x=0和x=34. 由于(1) 当-x0时, fx0;(2) 当0 x0;(3) 当1x34时, fx0;(4) 当34x0,由定理2.3.1推出f0=0是极小值, f1=381是极大值, f34=0是极小值.2.4利用Taylor公式求曲线的渐近方程2.4.1曲线渐近线的概念在学习Taylor公式求曲线渐近线前, 首先了解一下曲线渐近线的概念, 设曲线y=fx, 直线 y1=ax1+b, 曲线上任意一点(x,fx)到直线的距离为d. 当x在趋向于无穷大或负无穷大时, 如果点(x,fx)到直线的距离为d趋向于0, 则称直线y1=ax1+b是曲线y=f(x)的一条渐近线. 显然直线y1=ax1+b是曲线y=fx的渐近线的充要条件为limx+fx-(ax1+b)=0,或limx-fx-(ax1+b)=0,如果直线y1=ax1+b是曲线y=fx的渐近线, 当x趋向于无穷大时,xx1则limx+fx-(ax+b)x=0或limx-fx-(ax+b)x=0,limx+fxx=a或limx-fxx=a,其次,又因为limx+fx-(ax+b)=0,或limx-fx-(ax+b)=0,可推出limx+fx-ax=b或limx-fx-ax=b.反之, 如果由上两式确定了a和b, 那么y=ax+b即是曲线的一条渐近线.若limx+fx-(ax1+b)=0,和limx-fx-(ax1+b)=0.同时成立,则称y1=ax1+b是关于曲线y=fx在+,-两个方向上的渐近线此外,如果当xa+或xa-时, fx趋向于+或-即limxa+fx=或limxa-fx=,则称直线x=a是y=fx的一条垂直渐近线.综上可以看出求曲线渐近线方程的本质就是求函数的极限. 关于求函数的极限, 可由多种方式, 对于一些特殊情况则需要应用Taylor公式.例1判断函数y=x2xe12x-x2+x是否存在渐近线, 若存在的话求出此函数渐近线的方程.解, 由于lim x0+x2(xe12x-x2+x)=+,所以x=0是一条垂直渐近线,令u=1x , limx+x2xe12x-x2+x-ax-b =lim u0+eu2-1+u-au2-bu3u3=lim u0+1+u2+u224+u368-1+u2-u224+u368-au2-bu3+o(u3)u3 =lim u0+14-au2-124+bu3+o(u3)u3=0.解出a=14, b=-124, 所以当x趋向于正无穷大时, 渐近线为y=14x-124.由于limx-yx=limx-x2(e12x-x2+xx2)=+,所以当x趋向于负无穷大时, 没有渐近线.例2求曲线y=x2xe13x-3x3+x2的渐近线方程.解 由于limx0+x2xe13x-3x3+x2=+,所以x=0是一条垂直渐近线,设y=x2xe13x-3x3+x2的渐近线方程为y=ax+b, 则由定义可得a=limxyx=limxx21+13x+118x2+o19x2-1+13x-218x2+o19x2 =limxyxx216x2=16;b=limxx2xe13x-3x3+x2-16x=limxx3e13x-31+1x-16x =limxx3(1+13x+118x2+181x3+o1x3)-(1+13x-218x2+581x3+o1x3)-16x =-118;综上推出渐近线为y=16x-118.2.5利用Taylor公式证明不等式在过去的章节中我们学习过利用Lagrange中值定理、讨论导数的符号来得到函数的单调性、以及函数的凸性、等等方法来实现对不等式的证明, 而接下来的例题则会告诉大家Taylor公式也是证明不等式的一种重要公式.例2.5.1 证明不等式x-x22ln1+x0.分析：本例中若将ln1+x使用Taylor公式展开会发现不等式左边的多项式即是ln1+x展开后的前两项, 不等式右边的多项式即时ln1+x展开后的前三项, 这样即可简单的比较不等式的大小.则有证：ln1+x=x-x22+x33-x44+x55-因为ln1+x=x-x22+x33(1+)3 ,其中 00,ln1+x=x-x22+x33(1+)3x-x22,又有ln1+x=x-x22+x33-x43(1+)4 ,其中 00,ln1+x=x-x22+x33-x43(1+)4x-x22+x33,综上推出不等式x-x22ln1+x0 成立.例2.5.2 设f(x)在0,1上二阶可导, 且f0=f1=0, min0 x1fx=-1证明max0 x1f(x)8证 设x0(0,1)为函数的最小值点, 则fx0=-1, fx0=0. 以x=0, x=1代入在点x0的带Lagrange余项的Taylor公式,则有f0=fx0+ fx00-x0+12 f(0-x0)2 =-1+12 f(x0)2=0,f1=fx0+ fx01-x0+12 f(1-x0)2 =-1+12 f(1-x0)2=0,上面两式中0 x0,x012时 f=2(1-x0)28. 所以max0 x1f(x)8.例2.5.3 设f(x)在a,b上二阶可导, 且fa=fb=0, 证明maxaxbf(x)18(b-a)2maxaxbfx.证 设f(x0)=maxaxbf(x), 若x0=a或b, 原式右边多项式最小只能取到0, 则结论自然成立. 设ax0b以x=a和x=b代入f(x)在点x0的带Lagrange余项的Taylor公式fa=fx0+fx0a-x0+12fa-x02 a,x0,fb=fx0+fx0b-x0+12fb-x02 x0,b.将fa= fb=0, fx0=0代入上面两式, 得到fx012a-x02maxaxbfx,fx012b-x02maxaxbfx.当x0(a,a+b2)时, a-x0214(b-a)2,当x0(a+b2,b)时, b-x0214(b-a)2.综合上诉两种情况, 则有maxaxbf(x)18(b-a)2maxaxbfx.第三章、在数学计算方面的应用Taylor公式的逼近思想不仅在数学分析方面意义重大，他对在数值计算中的计算也有着很大的影响，接下来将介绍Taylor公式在数值计算中的使用。3.1利用Taylor公式求近似值例3.1.1 利用Taylor公式求3e的近似值精确到(10-4)并估计误差ex=1+x+x22!+x33!+xnn!+exn+1!xn+1,其中位于0与1之间. 令x=13,n=4,r4(13)e135!350.2710-5满足精度要求, 所以3e1+13+12.9+16.27+124.811.39561,3e的精确值3e=1.3956124250861 可以看出这样的计算结果是比较准确的, 误差估计如下d=(e136!36)x=13e136!360.1510-6,必须注意, Taylor公式只是一种局部性质,因此在用它进行近似计算时, x不能远离x0,否则效果会比较差, 甚至产生完全错误的结果.如在计算4的近似值时,令4=arc tan1,并直接使用Taylor公式展开可得4=arc tan1x-x33+x55-+(-1)nx2n+12n+1x=1 (1) 4=arc tan15 -arc tan1239, (2) 4x-x33+x55-+(-1)nx2n+12n+1x=15-x-x33+x55-+(-1)nx2n+12n+1x=1239计算上面两个式子其中1式取到第二项时得到40.66666667, 2式取到第二项时4=0.78514925, 与精确值4=0.78539815相比较(1)得到的结果与精确值完全不符,可视作错误, 即使(1)式取到第三项得到的结果4=0.86666667也与精确值相差甚远, 这是为什么呢.分析：上面两个计算4的公式都是利用了arc tanx的Taylor公式, 但第一个公式是用x=1代入, 而第二个公式是用x=15和x=1239代入, 由于x=15和x=1239比1小得多, 因此第二个公式的通项（或余项）比第一个公式的通项（或余项）趋近于0的速度快得多, 所以第二个公式计算的近视值效果更好更精确.例3.1.2 利用Taylor公式求sin31的近似值精确到(10-4).sin6+x=sin6+cos6x-12sin6x2+r2x,其中r2x=x23!cos(6+), 其中位于0到x之间.由于r218033!18030.8810-6, 满足精度要求, 所以sin31=sin6+180=sin6+cos6180-12sin(6)(180)20.51504.3.2Taylor公式导出牛顿迭代法和欧拉法用迭代法求解方程fx=0, 关键在于选择迭代函数(x), 使相应的迭代过程xn+1=(xn)收敛于fx=0的根. 本小节参照文献8进行分析讨论.3.2.1Newton迭代法Newton迭代公式xn+1=xn-fx0fx0证 设fx于的近旁二次连续可微,在的领域内取初始值x0, 将f(x)在x0处展开fx=fx0+fx0 x-x0+f2!(x-x0)2,其中属于x0与x之间, 于是0=f=fx0+fx0-x0+f2!(-x0)2,若将上式含有(-x0)2的项忽略不计, 并设fx00便得到的进一步近似值x1,x1=x0-fx0fx0.综上可得到迭代序列xn+1=xn-fx0fx0, n=0,1,2,3,. 3.2.2 Euler法Euler法是计算常微分方程dydx=f(x,y)(x0 xb)yx0=y0初值问题的重要方式之一,接下来由Taylor公式导出欧拉公式yn+1=yn+hfxn,yn.用Taylor公式将y(xn+1)在x0处展开，则有xxn+1yxn+hyxn+h22yn,建立yxn用的近似值y(xn+1)的近似值yn+1的公式即得到yn+1=yn+hfxn,yn.3.3判定迭代法的收敛速度我们将收敛的迭代方法在收敛时, 迭代误差的下降速度叫做收敛速度.一种好的迭代方法我们不仅要求他是收敛的, 而且他必须具有较快的收敛速度.记记迭代过程xk+1=xk收敛, 且ek=xk-x*为第k次迭代误差, 即ek0, p+1,使limkek+1ek(p)=C(C0),则称此迭代公式为p阶收敛的. 通常将当p=1时称为线性收敛, p=2时称为平方收敛.在计算中, 借助Taylor公式判定迭代公式的收敛的速度,相较于直接利用收敛速度的定义进行判断要便利很多. 下面以求解一元非线性方程的迭代方法为例说明Taylor公式的应该.对于迭代公式xk+1=xk,k=(1,2,3)的收敛速度有如下定理：定理3.3.19对于迭代过程xk+1=xk, 如果pxk在所求根x*的附近连续, 并且(x*)=(x*)=p-1(x*)=0p(x*)0 , (1)则该迭代过程在点x*附近时p阶收敛的.证 由于(x*)=0,所以该迭代公式具有局部收敛性. 将xk用Taylor公式在x*处展开, 得到xk=x*+(x*)xk-x*+(x*)xk-x*22!+p(*)xk-x*pp!,其中介于xk与x*之间,由条件(1)可得 xk=x*+(p)(*)xk-x*pp!,因为xk=xk+1, x*=x*,则有ek+1=xk+1-x*=(p)(*)xk-x*pp!,综上,对于ek=xk-x*,有limkek+1ek=(-1)p+1(p)(x*)p!0.推出该迭代公式在x*邻近是p阶收敛的. 上诉定理就是利用Taylor公式. 利用上诉定理判定迭代公式的收敛阶梯, 只需要求迭代函数的各阶导数在x*点的值, 而避免了求函数的极限, 更简便.接下来利用定理3.3.1给出的牛顿法的收敛性.牛顿迭代公式xk+1=xk-fxkfxk fxk0的迭代函数为:x=x-fxfx, x=fxfxfx2.设x*是方程fx=0的一个单根, 即fx*=0, fx*0, 且x在x*的邻域内连续.则由上式可知x*=01, 因此牛顿迭代公式具有局部收敛性. 若fx在x*的邻域内存在x=fx2fx+fxfxfx-2fx2f(x)fx3,x*=fx*fx*,只需要fx*0, 则x*0由定理3.3.1可知牛顿迭代是平方收敛的.第四章、在复变函数中的应用复变函数f(z)的Laurent展开，是幂级数的一种，它不但拥有了正幂次数的项，也含有负幂次数的项，他是Taylor展开的扩展。在复变函数中很多函数因为有奇点的存在使他在该点的领域附近无意义，所以大多无法用Taylor展开，这是可以用Laurent展开进行近似求解。本章部分论点习题引用自参考文献8。4.1复变函数的Laurent展开Taylor展开具有唯一性，而Laurent展开作为Taylor的推广，他并不具有唯一性，他的展开形式受积分区域的影响可能呈现不同的形式。例4.1.1设fz=1(z-1)(z-2), 分别写出这个函数在D1=z:1z2和D2=z:2z上的Laurent展开式.解 当zD1时, 由于1z2, 所以1(z-1)(z-2)=1z-2-1z-1 =-1211-z2-1z11-1z =-n=012n+1zn-n=112n,当zD2时, 由于2z0, 则n=1yn与 n=1xn的收敛性和发散性相同； (2)若常数m=0, 则n=1yn收敛, n=1xn一定收敛； (3)若m=+, 则级数n=1yn发散, n=1xn一定发散.4.2.2 计算过程：利用Taylor公式展开xn, 则然后与适当的yn相比, 求出极限值m, 即可根据比较判别法得出n=1xn的收敛性和发散性.例题1判断级数的收敛性和发散性.n=1an=n=11n-ln1+1n.因为 ln1+x=x-x22+x33-+-1xn+1n+1+oxn+1; (1+x)m=1+mx+mm-1m-n+1n!+oxn;所以an=1n-(1n-12n2+on2)12 =1n-1n1-12n+o(1n)12 =1n-1n1-14n+o12n =14n-32+on-32.推出 limnann-32=14,即an0时是32阶的与n=1n-32收敛性和发散性相同, 所以n=1an收敛, 运用这类方法可以快速的找到恰当的yn, 从而正确的判断所求级数n=1xn的收敛性和发散性.例题2讨论正项级数n=11np(e1n2-cosn)的敛散性.解 因为ex=1+x+x22!+xnn!+exn+1!xn+1+oxn+1;cosx=1-x22!+x44!-x66!+(-1)nx2n2n!+ox2n, 令an=1