高考数学 专题10.3 抛物线试题 理.doc

抛物线【三年高考】1. 【2017课标1，理10】已知f为抛物线c：y2=4x的焦点，过f作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与c交于a、b两点，直线l2与c交于d、e两点，则|ab|+|de|的最小值为a16b14c12d10【答案】a2. 【2017课标ii，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。【答案】6【解析】如图所示，不妨设点m位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，线段fn的长度：。3. 【2017北京，理18】已知抛物线c：y2=2px过点p（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线c交于不同的两点m，n，过点m作x轴的垂线分别与直线op，on交于点a，b，其中o为原点.（）求抛物线c的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：a为线段bm的中点.【解析】（）由抛物线c：过点p（1，1），得.所以抛物线c的方程为.抛物线c的焦点坐标为（，0），准线方程为.（）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线c的交点为，.由，得.则，.因为点p的坐标为（1，1），所以直线op的方程为，点a的坐标为.直线on的方程为，点b的坐标为.因为，所以.故a为线段bm的中点.4. 【2017浙江，21】如图，已知抛物线，点a，抛物线上的点过点b作直线ap的垂线，垂足为q（）求直线ap斜率的取值范围；（）求的最大值【解析】（）设直线ap的斜率为k，则，直线ap斜率的取值范围是（）联立直线ap与bq的方程解得点q的横坐标是，因为|pa|=，|pq|= ，所以|pa|pq|=令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值5.【2016高考新课标1卷】以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a、b两点,交c的准线于d、e两点.已知|ab|=,|de|=,则c的焦点到准线的距离为(a)2 (b)4 (c)6 (d)8【答案】b【解析】如图,设抛物线方程为,交轴于点,则,即点纵坐标为,则点横坐标为,即,由勾股定理知,即,解得,即的焦点到准线的距离为4,故选b.6. 【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点m到焦点的距离为10，则m到y轴的距离是_【答案】【解析】7. 【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p0）的焦点为f，准线为l.过抛物线上一点a作l的垂线，垂足为b.设c（p,0），af与bc相交于点e.若|cf|=2|af|，且ace的面积为，则p的值为_.【答案】8. 【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（i）若在线段上，是的中点，证明；（ii）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【解析】由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为. （）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则，所以. （）设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. 9. 【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）a. b. c. d. 【答案】a.【解析】，故选a.10.【2015高考上海，理5】抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则 【答案】【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即11.【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线c：y=与直线(0)交与m,n两点，（）当k=0时，分别求c在点m和n处的切线方程；（）y轴上是否存在点p，使得当k变动时，总有opm=opn？说明理由.【解析】（）由题设可得，或，.，故在=处的到数值为，c在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，c在处的切线方程为，即. 故所求切线方程为或. （）存在符合题意的点，证明如下： 设p（0，b）为复合题意得点，直线pm，pn的斜率分别为. 将代入c得方程整理得. . =. 当时，有=0，则直线pm的倾斜角与直线pn的倾斜角互补， 故opm=opn，所以符合题意. 【2017考试大纲】抛物线(1)了解抛物线的实际背景,了解性质求在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解抛物线的简单应用.(4)理解数形结合的思想.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 一方面以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识，另一方面以解答题的形式考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系的综合问题，着力于数学思想方法及数学语言的考查，题目的运算量一般不是很大，属于中档题，分值为5-12分【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，抛物线的的定义、标准方程及简单几何性质是高考考试的重点，每年必考，考查方面其它利用性质求抛物线方程，求弦长，求抛物线的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等预测2018年高考，对本节内容的考查仍将以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查抛物线的定义、标准方程及抛物线的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与抛物线的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2018年高考中，要熟记抛物线的定义，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求抛物线的标准方程，会根据条件研究抛物线的几何性质，会用设而不求思想处理直线与抛物线的位置关系，重点掌握与抛物线有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用. 【2018年高考考点定位】高考对抛物线的考查有三种主要形式：一是考查抛物线的定义；二是考查抛物线的标准方程与几何性质；三是考查直线与抛物线的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面向量、函数、方程、不等式等知识相联系，试题多为容易题和中档题.【考点1】抛物线的定义【备考知识梳理】1.抛物线定义：平面内与一个定点f和一条定直线l(定点f不在定直线l上)的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线，点f叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.【规律方法技巧】1. 抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点m；一个定点f(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值1(点m与定点f的距离和它到定直线l的距离之比等于1)2. 常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化.【考点针对训练】1. 【2017届河南省郑州一中高三百校联盟】已知点， 关于原点对称， 恰为抛物线： 的焦点，点在抛物线上，且线段的中点恰在轴上， 的面积为8.若抛物线上存在点使得，则实数的最大值为（ ）a. b. c. d. 【答案】c2. 【2017届江西省南昌市高三第一次模拟】抛物线的焦点为，设， 是抛物线上的两个动点， ，则的最大值为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由抛物线定义得所以由得,因此 ，所以，选d.【考点2】抛物线的标准方程与几何性质【备考知识梳理】1. 抛物线的标准方程与几何性质焦点在正半轴上焦点在负半轴上焦点在正半轴上焦点在正半轴上标准方程（）（）（）（）图形性质顶点（0,0）对称轴轴轴焦点（，0）（-，0）（0，）（0，-）准线=-=-=范围0，r0，r0，r0，r离心率=1【规律方法技巧】1.的几何意义：是焦点到准线的距离，故恒为正.2.焦点在轴上的抛物线的标准方程可以统一写成；焦点在轴上的抛物线的标准方程可以统一写成.3.焦点的非零坐标是一次项系数的，准线方程中的常数为一次项系数的-.4.求抛物线的标准方程（1）定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等，符合抛物线的定义，该曲线是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，从而求出定点到定直线的距离即为，写出抛物线的标准方程，（2）待定系数法，用待定系数法求抛物线标准方程分三步：判定是否在原点；确定焦点在哪个半轴上，确定标准方程类型；根据条件列出关于的方程，解出值，即可写出标准方程.5.抛物线（）上点的坐标可设为（），在计算时，可以降低计算量.【考点针对训练】1. 【2017届上海市普陀区高三二模】动点在抛物线上移动，若与点连线的中点为，则动点的轨迹方程为a. b. c. d. 【答案】b【解析】设，因为与点连线的中点为，所以，又因为点在抛物线上移动，所以，即；故选b.2. 【河北省定州中学2017届高三5月质检】已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于, 两点,且,抛物线的准线与轴交于点, 于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】由题意，知，直线的方程为设，则， 由，得，即 设直线的方程为，代入抛物线方程消去，得，所以 联立，得或（舍去），所以因为，将的值代入解得，所以直线的方程为，故选a【考点3】直线与抛物线的位置关系【备考知识梳理】设双曲线的方程为（），直线，将直线方程与抛物线方程联立，消去y得到关于x的方程.(1) 若0，当0时，直线与抛物线有两个交点.当=0时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切. 当0时，直线与抛物线无公共点.（2）当=0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.【规律方法技巧】1.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于a、b两点(如右图所示)，设a(x1，y1)，b(x2，y2)则有以下结论：(1)|ab|x1x2p，或|ab|(为ab所在直线的倾斜角)；(2)x1x2；(3)y1y2p2.（4）以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.2.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p. 3. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础4直线ykxb(k0)与圆锥曲线相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则弦长|ab| |x1x2| |y1y2|.5对中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1. 【湖南省长沙市2017届高三5月模拟】已知抛物线，焦点记为，过点作直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】因为，直线，代入可得，设，则，由抛物线的定义可得，所以，故令，令，则，所以，应选答案a 。2. 【湖南省长沙市2018届高三实验班选拔考试】已知是抛物线上一点， 到直线的距离为， 到的准线的距离为，且的最小值为（）求抛物线的方程；（）直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，若，直线的斜率为，求证：直线恒过定点【解析】（）抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，则，其最小值为点到直线的距离，解得（舍去负值），抛物线的方程为 （）设，由可得， 则，所以 的中点的坐标为，同理可得点的坐标为，则直线的斜率，则，则直线的方程可化为，即，令可得，直线恒过定点 【应试技巧点拨】1.如何利用抛物线的定义解题（1）求轨迹问题：主要抓住到定点的距离和到定直线距离的几何特征，并验证其满足抛物线的定义，然后直接利用定义便可确定抛物线的方程；（2）求最值问题：主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离；二是把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离.在解题时要准确把握题设的条件，进行有效的转化，探求最值问题.2.线和抛物线若有一个公共点，并不能说明直线和抛物线相切，还有可能直线与抛物线的对称轴平行3有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视抛物线定义的运用，以简化运算斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：，.当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算4解抛物线中的最值问题要注意定义的灵活运用，即抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等，解该题的关键就是利用此定义将问题转化为求解圆上的点到定点距离的最值问题 1. 【2017届湖南省邵阳市高三第二次联考】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为 .若，则等于( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】由题意：m（x0，22）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，由抛物线的性质可知, ， ，则，被直线截得的弦长为3|ma|，则，由，在rtmde中，丨de丨2+丨dm丨2=丨me丨2，即，代入整理得： ，由，解得：x0=2，p=2， ，故选：b 2. 【西藏拉萨中学2017届高三月考】已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，若mr ，垂足为，且，则直线的斜率为a. b. c. d. 【答案】c【解析】过作，交于， ，交于，抛物线的定义可知： ， ，由，则为等腰三角形，则，即，则，则，则直线的倾斜角，则直线的斜率，故选c.3.【江西省南昌市2017届高三三模】已知直线与抛物线： 及其准线分别交于两点， 为抛物线的焦点，若，则实数等于（ ）a. b. c. d. 【答案】c4. 【四川省雅安市2017届高三三诊】已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点， 在抛物线上且当与抛物线相切时，点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】设点， ，所以切线方程为： ，因为过点a，所以代入得不妨取，则点p，又点b且，点恰好在以、为焦点的双曲线上，所以，所以，故5.【山西省太原市2017届高三二模】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率为a. b. c. 或 d. 【答案】c【解析】由题意，知，则设直线的的方程为，代入抛物线消去，得设，则 ， 因为，所以 联立解得，所以直线的斜率为，故选c6.【福建省莆田2017届高三一模】已知点是抛物线上的一个动点， 是圆： 上的一个动点，则的最小值为（ ）a. b. c. 3 d. 4【答案】c【解析】由题意可知圆的圆心坐标，半径为1；抛物线的焦点，虚线为抛物线的准线； 为点到虚线的距离且，由抛物线的性质可知， .故可知 。故本题正确答案为c.7. 【辽宁省庄河市2017届高三四模】设抛物线 的焦点为，点在 上， ，若轴上存在点 ，使得 ，则的值为 （ ）a. 或 b. c. d. 或【答案】a 8. 【2017届江西省新余市高三二模】已知点是抛物线上的两点， ，点是它的焦点，若，则的值为_【答案】10【解析】由抛物线的定义可得，依据题设可得，则（舍去负值），故，应填答案。9. 【安徽省巢湖市2017届高三最后一次模拟】已知抛物线： 的焦点是，直线： 交抛物线于， 两点，分别从， 两点向直线： 作垂线，垂足是， ，则四边形的周长为_【答案】【解析】由题知， ，准线 的方程是 . 设 ，由 ，消去， 得 . 因为直线 经过焦点，所以 . 由抛物线上的点的几何特征知 ，因为直线的倾斜角是 ，所以 ，所以四边形 的周长是 ，故答案为 .10.【河北省衡水中学2017届高三二模】已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.（1）若当点的横坐标为，且为等腰三角形，求的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.【解析】(1) 由题知，则的中点坐标为，则，解得，故的方程为.(2) 依题可设直线的方程为，则，由消去，得， ，设的坐标为，则，由题知，所以，即，显然，所以，即证，由题知为等腰直角三角形，所以，即，也即，所以，即，又因为，所以，令，易知在上是减函数，所以.11.【2016届河北省石家庄市高三二模】已知实数，直线与抛物线和圆从上到下的交点依次为，则的值为（ ）a b c d【答案】c12. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于在第一象限) 两点,为坐标原点, 若的面积为,则的值为（ ）a b c d【答案】b【解析】设，直线的方程为，则，由，得，解得，当时，由解得.此时.同理当时，13. 【2016年安庆市高三二模】 已知抛物线的焦点为,动点在上,圆的半径为,过点的直线与圆切于点,则的最小值为 【答案】 3【解析】. 由抛物线的定义知：为点到准线的距离,易知,抛物线的顶点到准线的距离最短,. 14. 【2016届陕西省黄陵中学高三下第六次模拟】已知是抛物线的焦点，过作一直线交抛物线于两点，若，则直线与坐标轴围成的三角形的面积为_【答案】【解析】，设，则，依题意有由得：， 由可得：，或当时，方程为，与坐标轴交点为，当时，方程为，与坐标轴交点为， 直线与坐标轴围成的三角形的面积为15【2016年江西师大附中高三模考】已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点，其准线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，点关于轴的对称点为（）证明：点在直线上；（）设，求内切圆的方程.【解析】（）由题可知，抛物线的方程为 ， 则可设直线的方程为，故整理得，故 ，则直线的方程为即，令，得，所以在直线上. （）由（）可知，所以， 又，故，则，故直线的方程为或， 故直线的方程或，又为的平分线，故可设圆心，到直线及的距离分别为，由得或（舍去）.故圆的半径为，所以圆的方程为. 【一年原创真预测】1. 过抛物线：上一点作两条直线分别与抛物线相交于点两点，连接，若直线的斜率为1，且直线与坐标轴都不垂直，则直线的斜率倒数之和为（）ab1c2d3【答案】d【入选理由】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、直线的斜率，意在考查学生运算求解能力以及数形结合思想此题是一个常规题,具有一定的解题技巧，故选此题.2. 已知一抛物线的焦点为，其对称轴与准线的交点为，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的渐近线为（a）（b）