高考数学 专题10.1 椭圆试题 理.doc

椭圆【三年高考】1. 【2017浙江，2】椭圆的离心率是abcd【答案】b【解析】，选b2. 【2017课标3，理10】已知椭圆c：，（ab0）的左、右顶点分别为a1，a2，且以线段a1a2为直径的圆与直线相切，则c的离心率为abcd【答案】a【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：，整理可得，即，从而 ，椭圆的离心率，故选a.3. 【2017课标1，理20】已知椭圆c：（ab0），四点p1（1,1），p2（0,1），p3（1，），p4（1，）中恰有三点在椭圆c上.（1）求c的方程；（2）设直线l不经过p2点且与c相交于a，b两点.若直线p2a与直线p2b的斜率的和为1，证明：l过定点.【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知c经过，两点.又由知，c不经过点p1，所以点p2在c上.因此，解得.故c的方程为.（2）设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得a，b的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）4. 【2017课标ii，理】设o为坐标原点，动点m在椭圆c：上，过m作x轴的垂线，垂足为n，点p满足。(1) 求点p的轨迹方程；(2)设点q在直线上，且。证明：过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f。 【解析】（1）设,设, 。由得。因为在c上，所以。因此点p的轨迹方程为。5. 【2016高考新课标3理数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）（a）（b）（c）（d）【答案】a【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得点，由，得，即，整理，得，所以椭圆离心率为，故选a6【2016高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆c：的离心率是，抛物线e：的焦点f是c的一个顶点.（i）求椭圆c的方程；（ii）设p是e上的动点，且位于第一象限，e在点p处的切线与c交与不同的两点a，b，线段ab的中点为d，直线od与过p且垂直于x轴的直线交于点m.（i）求证：点m在定直线上;（ii）直线与y轴交于点g，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点p的坐标.【解析】（）由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆c的方程为. （）（i）设，由可得，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即.设，联立方程，得，由，得且，因此,将其代入得，因为，所以直线方程为.联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上.（ii）由（i）知直线方程为，令得，所以，又，所以，所以，令，则，当，即时，取得最大值，此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.7【2016年高考北京理数】已知椭圆c： （）的离心率为 ，的面积为1.（1）求椭圆c的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点m，直线pb与轴交于点n.求证：为定值.【解析】（1）由题意得解得.所以椭圆的方程为.8【2016高考新课标2理数】已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，（）当时，求的面积；（）当时，求的取值范围【解析】（i）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.（ii）由题意，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.9. 【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【答案】【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.10.【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且（1）若，求椭圆的标准方程（2）若求椭圆的离心率 (2)解法一：如图(21)图，设点p在椭圆上，且，则，求得由,得,从而由椭圆的定义，,从而由，有，又由，知，因此，于是解得.解法二：如图(21)图由椭圆的定义，,从而由，有，又由，知，因此,从而由,知，因此【2017考试大纲】椭圆(1)了解椭圆的实际背景,了解性质求在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解椭圆的简单应用.(4)理解数形结合的思想.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小问考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，解答题的第二问考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题. 【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系是高考考试的热点，考查方面离心率是重点，其它利用性质求椭圆方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求椭圆的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等预测2018年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，解答题的第二问考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在12-17分.在备战2018年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用设而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用. 【2018年高考考点定位】高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.【考点1】椭圆的定义与标准方程【备考知识梳理】1.椭圆的定义：把平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：(). 注意：（1）当时，轨迹是线段.(2)当时，轨迹不存在.2.椭圆的标准方程：（1） 焦点在轴上的椭圆的标准方程为；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.给定椭圆，要根据的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中关系为：.【规律方法技巧】1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理. 2.求椭圆的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，定性-确定它是椭圆；定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；定量-建立关于基本量的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设椭圆方程为，可避免分类讨论和繁琐的计算.【考点针对训练】1. 【2017年马鞍山市高三第三次模拟】已知椭圆 的右焦点为，过点的直线交于两点若 的中点坐标为，则的方程为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】设 ，直线的斜率 ， ，两式相减得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故选d.2. 【江苏省如皋市2017届高三联考（二）】已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，右焦点为f2，点m在圆x2+y2=b2上，且m在第一象限，过m作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于p，q两点若pf2q的周长为4，则椭圆c的方程为_【答案】x24+y23=1【考点2】椭圆的几何性质【备考知识梳理】1.椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点(c,0)(0，c)焦距|f1f2|2c(c2a2b2)范围|x|a；|y|b|x|b；|y|a顶点长轴顶点(a,0)，短轴顶点(0，b)长轴顶点(0，a)，短轴顶点(b,0)对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称离心率e(0，1)，其中c2.点与椭圆关系（1）点在椭圆内；（2）点在椭圆上；（3）点在椭圆外.【规律方法技巧】1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.离心率与的关系为：=.4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为. 4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.【考点针对训练】1. 【贵州省遵义市2017届高三模拟】已知椭圆， 是椭圆的右焦点， 为左顶点，点在椭圆上， 轴，若，则椭圆的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】a 2. 【福建泉州2017届质量检查】已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】连接pf1，oq，由oq为中位线,可得oqpf1,|oq|=|pf1|，圆x2+y2=b2,可得|oq|=b,即有|pf1|=2b，由椭圆的定义可得|pf1|+|pf2|=2a，可得|pf2|=2a2b，又oqpf2,可得pf1pf2，即有(2b)2+(2a2b)2=(2c)2，即为b2+a22ab+b2=c2=a2b2，化为2a=3b,即，,即有，则，当且仅当,即时, 取得最小值.则的最小值为 .本题选择c选项.【考点3】直线与椭圆的位置关系【备考知识梳理】 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式0，则直线与椭圆交；若=0，则直线与椭圆相切；若0，则直线与椭圆相离.【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础2直线ykxb(k0)与圆锥曲线相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则弦长|ab| |x1x2| |y1y2|.3对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1. 【四川省大教育联盟2017届三诊】已知椭圆： （）的一个焦点为，离心率为，过点的动直线交于， 两点，若轴上的点使得总成立（为坐标原点），则（ ）a. b. 2 c. d. 【答案】b【解析】在椭圆中， 得，故，故椭圆的方程为，设， ，由题意可知，当直线斜率不存在时， 可以为任意实数，当直线斜率存在时，可设直线方程为，联立方程组，得， ，使得总成立，即使得为的平分线，即有直线和的斜率之和为0，即有，由， ，即有，代入韦达定理，可得，化简可得，故选b. 2. 【2017届河南省郑州一中高三百校联考】已知椭圆： 的离心率为，且过点.（）求椭圆的方程；（）过点任作一条直线与椭圆相交于， 两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（）由题意得，故椭圆的方程为.（）假设存在点满足题设条件.当直线与轴不垂直时，设的方程为，代入椭圆方程化简得： ，设， ，则， ，所以 ，因为 ，所以当时， ，直线与直线关于轴对称，当轴时，由椭圆的对称性可知恒有直线与直线关于轴对称，综上可得，在轴上存在定点，使得直线与直线关于轴对称.【应试技巧点拨】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：椭圆的定义；勾股定理或余弦定理；基本不等式与三角形的面积公式离心率的求法椭圆的离心率就是的值，有些试题中可以直接求出的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于或的方程，通过这个方程解出或，利用公式求出，对双曲线来说，对椭圆来说，.3 有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视椭圆定义的运用，以简化运算斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：，.当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算4.直线与椭圆的位置关系在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件.5.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.6注意椭圆的范围，在设椭圆上点的坐标时，则，这往往在求与点有关的最值问题中特别有用，也是容易忽略导致求最值错误的原因7注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解，求函数的单调区间，最值有重要意义 1. 【安徽省亳州市2017届高三质量检测】已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为a. b. c. d. 【答案】c【解析】设，则， ，于是，又，所以，所以， ，因此， ，直线斜率为，由对称性，还有一条直线斜率为，故选c 2. 【河南省新乡市2017届高三三模】已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的右顶点和上顶点分别为a、b，左焦点为f.以原点o为圆心的圆与直线bf相切，且该圆与y轴的正半轴交于点c，过点c的直线交椭圆于m、n两点.若四边形famn是平行四边形，则该椭圆的离心率为（ ）a. 35 b. 12 c. 23 d. 34【答案】a3.【河北省武邑2017届高三四模】已知是椭圆上的一点， 是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】解：由题意可知： ，则： ，点 在椭圆上，则： ，故： ，解得： ，即的取值范围是 .本题选择a选项.4. 【陕西省西安市长安区学2017届高三4月模拟】设椭圆的方程为右焦点为，方程的两实根分别为，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】，因为方程的两根分别为， ，则， 的取值范围是，故选d.5. 【河北省衡水中学2017届高三二摸】椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】设，且的外接圆的方程为，将分别代入可得，由可得，即，所以，即，所以，应选答案a。6. 【湖南省长沙市2017届高考模拟试卷（二）】已知是椭圆的左焦点，设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，则直线（为原点）的斜率的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由椭圆方程 ，可求得 ，由 ，得 ，过 作 轴垂线与椭圆交于 ，则 在弧 上时，符合题意， ， 斜率的取值范围是 ，故选c.7. 【重庆市2017届高三适应性卷（八）】已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是该椭圆上的动点，当的周长最大时， 的面积为_【答案】 8. 【福建省泉州市2017届高三适应性模拟（二）】椭圆的左,右焦点分别为,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于, 两点,则的内切圆面积最大值是_.【答案】【解析】令直线： ，与椭圆方程联立消去得，可设，则， 可知，又，故三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，则内切圆半径，其面积最大值为故本题应填9. 【安徽省巢湖市2017届高三最后一次模拟】已知椭圆： 的长轴长为，且椭圆与圆： 的公共弦长为.（1）求椭圆的方程.（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于， 两点， 轴于点，点在椭圆上，且，求证： ， ， 三点共线.【解析】（1）由题意得，则.由椭圆与圆： 的公共弦长为，其长度等于圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）设， ，则， .因为点， 都在椭圆上，所以所以 ，即.又 ，所以，即，所以，所以，又 ，所以，所以， ， 三点共线.10.【河北省武邑2017届高三四模】已知圆： ，定点， 是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点.（）求点的轨迹的方程；（）四边形的四个顶点都在曲线上，且对角线， 过原点，若，求证：四边形的面积为定值，并求出此定值.【解析】（1）因为在线段的中垂线上，所以.所以 ，所以轨迹是以， 为焦点的椭圆，且， ，所以，故轨迹的方程.（2）证明：不妨设点、位于轴的上方，则直线的斜率存在，设的方程为， ， .联立，得 ，则， .由，得 .由、，得.设原点到直线的距离为， ， 由、，得，故四边形的面积为定值，且定值为.11. 【2016届海南省农垦中学高三第九次月考】设斜率为的直线与椭圆交于不同的两点p,q，若点p、q在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）a、 b、 c、 d、【答案】b【解析】设点在轴上的射影分别为焦点，从而，得.12. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】已知某椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设是椭圆上的任意一点，且面积的最大值为，若已知，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为（ ）a2 b c3 d【答案】b【解析】设，因此面积为，从而，当且仅当时取等号，选b.13.【2016届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测理】 已知椭圆的左、右焦点分别为、,点是椭圆与圆在第一象限的交点, 且点到的距离等于.若椭圆上一动点到点与到点的距离之差的最大值为,则椭圆的离心率为（ ）a b c d【答案】b【解析】设点为椭圆上的动点，则当三点共线时，取得最大值，此时又，所以点是线段上靠近的一个三等分点，所以，代入椭圆方程，得，即，解得，即，故选b14. 【2016届广西来宾高中高三5月模拟理】如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为_【答案】【解析】由已知，所以故答案为.15. 【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模】已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，当轴时，的周长最大值为8.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点，求当面积最大时直线的方程.【解析】（1）设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义，得，而的周长为，当且仅当过点时，等号成立，所以，即，又离心率为，所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得.设，则，且，所以，令，则式可化为.当且仅当，即时，等号成立.所以直线的方程为或. 【一年原创真预测】1. 已知椭圆：的左右焦点分别为，圆以为圆心，短轴长为直径，过点作圆的切线，切点分别为，若四边形的面积，则椭圆的离心率为a.b.c.d.【答案】d【解析】设，则、，.圆的半径.所以.所以四边形的面积.即，也就是，整理得，即，整理得，即，解得或.又，所以，故，所以.所以.故选d.【入选理由】本题考查椭圆的方程、圆的性质、直线和椭圆的位置关系、椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，直线与椭圆的位置关系，是高考考查的热点，故选此题.2已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 【答案】【入选理由】本题考查椭圆的方程，向量的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，椭圆的简单几何性质，是高考考查的热点，故选此题.3. 已知是椭圆：的左，右焦点（1）当时，若是椭圆上在第一象限内的一点，且，求点的坐标；（2）当椭圆的焦点在轴上且焦距为2时，若直线：与椭圆相交于两点，且，求证