高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程学案 苏教版选修21.doc

22.1椭圆的标准方程 学习目标1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题知识点一椭圆的定义平面内到两个定点f1，f2的距离的和等于常数(大于f1f2)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点f1，f2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1 (ab0)1 (ab0)焦点(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a、b、c的关系c2a2b2c2a2b2思考(1)椭圆定义中，将“大于f1f2”改为“等于f1f2”或“小于f1f2”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于f1f2时，动点的轨迹就是线段f1f2；当距离之和小于f1f2时，动点的轨迹不存在(2)a，b的值及焦点所在的位置题型一用待定系数法求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)，(4,0)，椭圆上一点p到两焦点的距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a10，所以a5.又因为c4，所以b2a2c252429.故所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以故所求椭圆的标准方程为x21.反思与感悟求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成ax2by21(a0，b0，ab)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程跟踪训练1求焦点在坐标轴上，且经过a(，2)和b(2，1)两点的椭圆的标准方程解方法一(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意有解得此时不符合ab0，所以方程组无解故所求椭圆的标准方程为1.方法二设所求椭圆的方程为ax2by21(a0，b0且ab)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.题型二椭圆定义的应用例2已知两定点f1(1,0)，f2(1,0)，动点p满足pf1pf22f1f2.(1)求点p的轨迹方程；(2)若f1pf2120，求pf1f2的面积解(1)依题意知f1f22，pf1pf22f1f242f1f2，点p的轨迹是以f1、f2为焦点的椭圆，且2a4,2c2，a2，c1，b，故所求点p的轨迹方程为1.(2)设mpf1，npf2，则mn2a4.在pf1f2中，由余弦定理，得f1fm2n22mncosf1pf2，4(mn)22mn(1cos 120)，解得mn12.mnsinf1pf212sin 1203.反思与感悟在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系在解题中，经常把pf1pf2看作一个整体来处理跟踪训练2如图所示，已知过椭圆1的右焦点f2的直线ab垂直于x轴，交椭圆于a，b两点，f1是椭圆的左焦点求af1b的周长解由题意知，点a，b在椭圆1上，所以a5，故有af1af22a10，bf1bf22a10，af2bf2ab，所以af1b的周长为af1bf1abaf1bf1af2bf2(af1af2)(bf1bf2)2a2a20.题型三与椭圆有关的轨迹问题例3 已知b、c是两个定点，bc8，且abc的周长等于18.求这个三角形的顶点a的轨迹方程解以过b、c两点的直线为x轴，线段bc的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xoy，如图所示 由bc8可知点b(4,0)，c(4,0)由abacbc18得abac108bc，因此，点a的轨迹是以b、c为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，但点a不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169.所以点a的轨迹方程为1(y0)反思与感悟利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程跟踪训练3 已知圆a：(x3)2y2100，圆a内一定点b(3,0)，圆p过点b且与圆a内切，求圆心p的轨迹方程解如图，设圆p的半径为r，又圆p过点b，pbr. 又圆p与圆a内切，圆a的半径为10，两圆的圆心距pa10r，即papb10(大于ab6)圆心p的轨迹是以a、b为焦点的椭圆2a10,2cab6.a5，c3，b2a2c225916.圆心p的轨迹方程为1.1设f1，f2为定点，f1f26，动点m满足mf1mf26，则动点m的轨迹是_答案线段解析mf1mf26f1f2，动点m的轨迹是线段2已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是_答案2解析由题意得，椭圆标准方程为x21，又其一个焦点坐标为(0,1)，故11，解得k2.3设p是椭圆1上一点，p到两焦点f1，f2的距离之差为2，则pf1f2是_三角形答案直角解析根据椭圆的定义知pf1pf28.又pf1pf22，所以pf15，pf23.而f1f24，所以f1fpfpf，所以pf1f2是直角三角形4“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的_条件答案充要解析方程可化为1.若mn0，则00，可得mn0.5已知椭圆1上一点p与椭圆两焦点f1、f2的连线夹角为直角，则pf1pf2_.答案48解析依题意知，a7，b2，c5，f1f22c10.由于pf1pf2，所以由勾股定理得pfpff1f，即pfpf100.又由椭圆定义知pf1pf22a14，(pf1pf2)22pf