高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修4.doc

1.1.2弧 度 制1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.(重点、难点)3.“角度制”与“弧度制”的区别与联系.(易错点)基础初探教材整理1角度制与弧度制的定义阅读教材p6p7第三行以上内容，完成下列问题.1. 角度制与弧度制的定义角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制2.角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)1弧度是1度的圆心角所对的弧.()(2)1弧度是长度为半径的弧.()(3)1弧度是1度的弧与1度的角之和.()(4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.()【解析】根据弧度制的定义知(4)正确.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2角度制与弧度制的换算阅读教材p7第四行至p8例3以上内容，完成下列问题.1.角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.302.一些特殊角与弧度数的对应关系度0130456090120135150180270360弧度02将下列角度与弧度进行互化.(1)20_；(2)15_；(3)_；(4)_.【解析】(1)2020；(2)1515；(3)105；(4)396.【答案】(1)(2)(3)105(4)396教材整理3扇形的弧长与面积公式阅读教材p8例3内容，完成下列问题.设扇形的半径为r，弧长为l，为其圆心角，则为度数为弧度数扇形的弧长llr扇形的面积sslrr2圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为_.【解析】扇形的面积为626.【答案】6小组合作型角度与弧度的互化与应用(1)把15730化成弧度为_，化成度为_.(2)在0,4中，与72角终边相同的角有_.(用弧度表示)【精彩点拨】在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住 rad180，1 rad这一关系.【自主解答】(1)15730157.5 rad rad.75.(2)因为终边与72角相同的角为72k360(kz).当k0时，72；当k1时，432，所以在0,4中与72终边相同的角有，.【答案】(1)，75(2)，再练一题1.把5615化为弧度是() 【导学号：00680003】a.b.c. d.【解析】561556.25 rad rad.【答案】d用弧度数表示角(1)与角终边相同的角是()a. b.2k(kz)c.2k(kz) d.(2k1)(kz)(2)若是第三象限的角，则是()a.第一或第二象限的角b.第一或第三象限的角c.第二或第三象限的角d.第二或第四象限的角【精彩点拨】(1)可把选择题中角写成2k(kz，0,2)形式来判断；(2)可由范围写出范围后，根据k为奇数或偶数来确定终边位置.【自主解答】(1)a中，2，与角终边相同，故a错；b中，2k，kz，当k1时，得0,2)之间的角为，故与有相同的终边，b错；c中，2k，kz，当k2时，得0,2)之间的角为，与有相同的终边，故c对；d中，(2k1)，kz，当k0时，得0,2)之间的角为，故d错.(2)因为为第三象限的角，所以有2k2k，kz，kk，kz，kk，kz，故kk，kz.当k为偶数时，在第一象限；当k为奇数时，在第三象限，故选b.【答案】(1)c(2)b1.弧度制下与角终边相同的角的表示：在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为|2k，kz，即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍.2.确定角范围时，k的值的取法：在表示角或角的范围时，通常会用到k，如2k(kz)，kk，kz，在确定角或的范围时，要根据k的系数来取值，如中k的系数为2，则取k的任一个值如0，得在第一象限.中k的系数为，则要分k为奇数、偶数两种情况取值.k为奇数时，取k1，得，在第二象限；k为偶数时，取k0，得，在第四象限，则为第二或第四象限的角.再练一题2.用弧度表示终边落在如图116所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.图116【解】因为30 rad,210 rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线ab上的角为k，kz，而终边在y轴上的角为k，kz，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.探究共研型弧长公式与扇形面积公式的应用探究1用公式|求圆心角时，应注意什么问题？【提示】应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负.探究2在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？【提示】若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错.(1)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是() 【导学号：70512003】a.1 radb.2 radc.3 rad d.4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【精彩点拨】(1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解.【自主解答】(1)设扇形半径为r，弧长为l，由题意得解得则圆心角2 rad.【答案】b(2)设扇形的半径为r，弧长为l，面积为s，则l202r，slr(202r)rr210r(r5)225(0r10)，当半径r5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2，此时2 rad.当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，sr2和slr.(这里必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式.(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.再练一题3.已知一扇形的圆心角为，所在圆半径为r，周长为4r，则扇形中所含弓形的面积是_.【解析】由周长为4r可知扇形的弧长为2r，面积为slr2rrr2，圆心角弧度数为|2，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为rcos 1，底为2rsin 1，所以此三角形面积为s1rcos 12rsin 1r2sin 1cos 1，从而弓形面积为s2ss1r2(1sin 1cos 1).【答案】r2(1sin 1cos 1)1.下列转化结果错误的是()a.2230化成弧度是b.化成度是600c.150化成弧度是 d.化成度是15【解析】对于a,223022.5，正确；对于b，600，正确；对于c，150150，错误；对于d，15，正确.【答案】c2.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是()a.(kz)b.(kz)c.(kz)d.(kz)【解析】b中，k1时为，显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角，故c，d均错，只有a正确.【答案】a3.与30角终边相同的角的集合是()a.b.|2k30，kzc.|2k36030，kzd.【解析】3030 rad rad，与30终边相同的所有角可表示为2k，kz，故选d.【答案】d4.在半径为10的圆中，240的圆心角所对弧长为() 【