高中数学 小问题集中营 专题5.6 突破点 含参的直线与圆的位置关系.doc

问题6突破点 含参的直线与圆的位置关系一、问题的提出 解析几何中的含参的直线与圆的位置关系问题，涉及到基本的直线与圆的位置关系问题，主要是相交中的弦长问题，和相切中的切线问题。然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出参数的范围。二、问题的探源 对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径3、 问题的佐证例一、已知直线l：yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点求m的取值范围【训练】1.在平面直角坐标系xoy中，设直线l：kxy10与圆c：x2y24相交于a，b两点，以oa，ob为邻边作平行四边形oamb，若点m在圆c上，则实数k等于()a1b2c0 d1【解析】四边形oamb为平行四边形，四边形oamb为菱形，oam为等边三角形，且边长为2，解得弦ab的长为2，又直线过定点n(0,1)，且过n的弦的弦长最小值为2，此时此弦平行x轴，即k0.2若圆上至少有三个不同的点到直线 的距离为,则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由已知圆的半径 ，圆上至少有3个不同的点到直线l的距离为，直线与圆相交，且圆心到直线l的距离 又圆的圆心为 整理得： 解得： 又直线的斜率 又 直线 的倾斜角的范围是 故选d例二、已知直线l：yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，求m的取值范围【解析】l：yxm，圆x2y21，l可变形为：x3y3m0，圆的圆心为(0,0)，半径长r1.当直线和该圆相切时，应满足d1，解得m.在平面直角坐标系中作出图象，如图所示，其中l2：yx，l3：yx.过原点作直线l0：yx，m0：yx.直线l的斜率k，直线ab的斜率k1，只有当直线l在移动到过a(0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点，此时对应的直线l1：yx1，要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1和直线l2之间运动才可，此时相应的m.m的取值范围是.要注意结合图象，得出正确的答案，不能想当然要注意直线之间倾斜程度的比较，像在此例题中，我们要注意比较直线l的斜率k与直线ab的斜率k1，如果注意到它们的关系了，就不易出错例三、已知直线l：yxm与圆x2y21在第一象限内有交点，求m的取值范围直线l与圆在第一象限内有交点，直线l应该在过点b(1,0)的直线与切线l2之间才可以，而当b(1,0)在直线l上时，m，m的范围是.练习：已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于p，q两点，o为原点，且opoq，求实数m的值【解析】由消去y，得5x210x4m270，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则又opoq，kopkoq1即x1x2y1y20.x1x2(3x1)(3x2)0，整理得5x1x23(x1x2)90，53(2)90.解得m3满足实数m的值为3.此题设出p，q两点的坐标，但在求解过程中又不能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁，这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注意认真体会并掌握四、问题的解决一、选择题1.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是a. b. c. d. 【答案】c【解析】曲线是以为圆心， 为半径的半圆，如图所示直线是过定点的直线。设切线的斜率为，切线的方程为，圆心到直线的距离等于半径，即，解得直线的斜率为， ，实数的取值范围是故答案选2.从动点向圆作切线，则切线长的最小值为a. b. c. d. 【答案】b3.已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是a. b. c. d. 【答案】c【解析】试题分析：设的中点为，则，因为，所以，所以，因为，所以，因为直线与圆交于不同的两点，所以，所以，即，解得，故选c4.若在圆上，总存在相异两点到原点的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】圆心 与原点之间的距离为 ，当原点在圆外时，则 ；当原点在圆外时，则；当点在圆上， 显然符合，综上3种情况有，解得 或 ，选c.5.设点是函数图象上的任意一点，点，则的最小值为（ ） a. b. c. d.【答案】c【解析】在等式两边平方得，即，由于，故函数的图象表示圆的下半圆，如下图所示，设点的坐标为，则，将代入得，即，因此点是直线上的动点，如下图所示，由于圆的的圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，因此的最小值是，故选c.6.已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ）a. b. 2 c. 3 d. 【答案】b7.【广东省惠州市2017届高三第一次调研】已知圆截直线所得弦长为6，则实数的值为（ ）a8 b11 c14 d17【答案】b8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比为（， ），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆下面，我们来研究与此相关的一个问题已知圆： 和点，点， 为圆上动点，则的最小值为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】令，则.由题意可得圆是关于点a,c的阿波罗尼斯圆，且。设点c坐标为，则。整理得。由题意得该圆的方程为，解得。点c的坐标为（-2,0）。, 因此当点m位于图中的的位置时， 的值最小，且为,故选c.二、填空题9.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知圆：（）及圆上的点，过点的直线交圆于另一点，交轴于点，若，则直线的斜率为 【答案】【解析】设直线的斜率为,则直线，与联立解得，而，由得10.已知， ，若圆（）上恰有两点， ，使得和的面积均为，则的范围是_【答案】【解析】，使得和的面积均为，只需到直线 的距离为2，直线的方程为，圆心到直线的距离为1，当时，圆（）上恰有一点到ab的距离为2，不合题意；若时，圆（）上恰有三个点到ab的距离为2，不合题意；当时，圆（）上恰有两个点到ab的距离为2，符合题意，则.11.【四川省成都市2017届高中毕业班摸底】已知圆上存在两点关于直线对称，经过点作圆的切线，切点为，则_.【答案】12.已知的方程为，直线与交于两点，当取最大值时 _， 面积最大时， _【答案】 2 1或7【解析】圆的方程化为，圆心 ，半径为1，直线方程化为过定点，当直线过圆心时，弦为直径最大，此时；设 ，则 ，当时， 的面积最大，此时圆心到直线的距离为， ，解得： 或.为三、解答题13.已知圆，直线，且直线与圆交于不同的两点，定点的坐标为.（1）求实数的取值范围；（2）若两点的中点为，直线与直线的交点为，求证： 为定值.【答案】（1）（2）10【解析】试题分析：（1）由圆心到直线的距离小于半径列不等式，解不等式可得的取值范围；（2）由直线与直线的方程可求点的坐标，再联立直线与圆的方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得，然后求得点的坐标，再根据两点之间距离公式将用表示，消去即可得到结果.试题解析：（1）因为圆与直线与交于不同的两点，所以，即，解得或 （2）由可得由可得设两点横坐标分别为，则得所以 点睛：解析几何证明问题，一般解决方法以算代证，即设参数，运用推理，将问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在此过程中消去变量，从而得到证明.14.矩形的两条对角线相交于点， 边所在的直线的方程为，点在边所在的直线上（1）求边所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程；（3）过点的直线被矩形的外接圆截得的弦长为，求直线的方程【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据垂直关系，由直线的方程可得直线ad的斜率，然后由点斜式求直线方程即可；（2）由直线ab,ad的方程可求得点a的坐标，即圆心坐标，从而可得半径，可求得圆的标准方程；（3）分直线的的斜率存在和不存在两种情况，利用待定系数法求解，根据圆的弦长公式求解。试题解析：（1）， ，又点在边所在的直线上, 边所在直线的方程为，即.（3）当直线斜率不存在时，直线方程为，与圆的交点为和 ，弦长为。当直线斜率存在时，设直线为，即，由题意得圆心到直线的距离为1，解得，直线为，综上直线的方程为或.本章结论：（1）与直线axbyc0(a2b20)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为axbym0；垂直的直线方程设为bxayn0.（2）对称点关于点的对称点p(x0，y0)关于a(a，b)的对称点为p(2ax0,2by0)点关于直线的对称设点p(x0，y0)关于直线ykxb的对称点p(x，y)，则有可求出x，y.直线关于直线的对称： 10若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点p1关于对称轴l对称的点p2，那么经过交点及点p2的直线就是l2；20若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线（3）计算直线被圆截得的弦长的常用方法几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算代数方法运用根与系数关系及弦长公式|ab|xaxb|.说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法(4)确定圆的