高中数学 小问题集中营 专题1.6 易错点 忽视函数定义域出现的各类问题.doc

问题6 易错点 忽视函数定义域出现的各类问题一、问题的提出函数是高中数学最基本的内容,函数作为高中数学的主线,函数思想贯穿整个高中数学学习的始终.函数的定义域是函数概念的重要组成部分,是函数“三要素” (定义域、值域、对应法则)之首,是函数最本质的特征,在函数问题中有着重要的地位.它不仅是研究函数图象性质的基础,而且在众多数学问题的求解过程中,往往能够显示出不可低估的特殊作用.它直接制约着函数的解析式、图象和性质,在解决问题的过程中, 函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进行如果忽视函数的定义域,常常会事倍功半,甚至误入歧途.本文对下面几类典型问题进行扼要剖析, 供同学们参考.二、问题的探源函数是由定义域与对应法则(解析式)构成的一个整体,定义域是函数的重要组成部分.在解题过程中,常因忽视定义域导致错误三、问题的佐证(一) 判断函数的奇偶性时忽视函数的定义域奇偶性是函数的一种基本性质,根据它的定义,判断函数的奇偶性,就应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称,则函数必是一个非奇非偶函数；否则再用奇偶性定义与的关系加以判断.【例1】判断函数的奇偶性.【错解】因为,而是奇函数,所以函数是奇函数.【分析】由奇（偶）函数的定义,“对于函数定义域内任意一个,都有（或）”,不难推得,具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的.此题中,函数的定义域并不关于原点对称,如而无定义,所以所给函数既不是奇函数也不是偶函数.【解析】因为而无定义,所以定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.【点评】本题考查了函数奇偶性的判定,根据奇偶性的定义函数具备奇偶性的一个必要条件是定义域关于坐标原点对称,如果定义域关于原点不对称,则函数无奇偶性可言.但已知一个函数具备奇偶性,并不意味着函数在x=0处一定有定义,因此判断函数奇偶性时必须优 先考虑函数的定义域.二、求函数单调区间忽视函数的定义域复合函数的单调性问题是高中学生学习的一个难点问题,也是高考的一个热点问题,复合函数的单调性是指函数在定义域的某一区间上,函数值随自变量的变化而增减的情况.切记函数单调性是一个局部概念,单调区间必须是定义域的子集.【例2】函数的单调递减区间是 ()a. b. c. d.【错解】的增区间为,又因为,所以函数的单调减区间为.【分析】观察题中所给函数,发现这是一个复合函数,先求出它的定义域,再根据复合函数的单调性规律:同增异减.该函数是减函数,其外函数是为增函数,其内函数为则必是减函数,进而求解.【点评】此题考查学生求对数函数及二次函数图象和性质的研究能力,以及会求复合函数的增减性的能力.在完成此类题目时,学生往往会仅仅抓住复合函数单调性的规律：“同增异减”,而不考虑函数的定义域,进而得出错误的结果.三、利用换元法解题时忽视函数的定义域在一些函数综合问题中,表面没有强调的函数定义域,但是在解答过程中函数定义域的作用是不能忽略的,定义域优先原则是永恒的.函数隐形定义域在函数变换传递中起着非常大的作用.在处理此类问题的过程中,我们常常使用换元法.但请务必注意,只要是换了元,就一定要把新元的取值范围求出并沿用到最后,方可正确解题. 【例3】函数的值域是 .【错解】,令,则,且,当时是增函数,而,所以,即.所以所求函数的值域为.【分析】利用的关系,不难想到本题中要将当作一个整体,从而进行换元,进而转化得到一个新的一元二次函数,运用一元二次函数的图象和性质进行解题,但一定要注意新的参数的取值范围,这是本题的一个易错点.四、问题的解决1. 已知是（-,+）上的增函数,那么的取值范围是（ ）.a.(1,+) b. c.(-,3) d.(1,3)【答案】b【解析】由题意可知,解不等式得,所以的取值范围是2. 函数的图象是（ ）【答案】b【解析】根据可得或,所以排除a、d两项,因为随着的增大而增大,故函数在相应的区间上是增函数,故选b3. 若在区间(-,1上递减,则a的取值范围为( )a. 1,2) b. 1,2 c. 1,+) d. 2,+)【答案】a【解析】函数的对称轴为,要使函数在(-,1上递减,则有,即,解得,即,选a.4. 已知函数是定义在上的偶函数,且当时, 单调递增,则关于的不等式的解集为（ ）a bc d随的值而变化【答案】c【解析】因为是定义在上的偶函数,所以则定义域为,由偶函数性质知,又时,单调递增,所以,又-,联立解得或,故不等式的解集为故选c5下列四组中， 与表示同一函数的是（）a. , b. , c. ， d. , 【答案】d【解析】 对于a中，可知， ，所以两个函数不是同一函数； 对于b中， ， ，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于c中， ， ，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于d中， 与的定义域和解析式都相同，所以是同一函数，故选d.6设函数为偶函数，且当时，当时，则（ ）a. b. c. d. 2【答案】b【解析】函数为偶函数，当时，；当时，故选b.7若在区间上是增函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】，要使函数在区间上是增函数，需使，解得，故答案为.8若函数在上是减函数，则实数的取值范围_.【答案】【解析】设，则在定义域上单调递减，要使函数，在上单调递减，则有在定义域上单调递增，则须有，即，解得，故实数的取值范围是，故答案为.9设函数若f(x0)1，则x0的取值范围是_.【答案】(，2)(1，)【解析】当x00时，由x011，得x02，x00时，由1，x01.x0的取值范围为(，2)(1，).10函数 的单调减区间为_【答案】（0,1）【解析】函数的定义域为，且，令，得，即函数 的单调减区间为；故填.11若函数是定义在上的偶函数，则_.【答案】512. 已知函数，其中为常数，(1)若函数为奇函数，求的值；(2)若函数在上有意义，求实数的取值范围。【解析】(1)因为为奇函数，所以对定义域内的任意恒成立，即对定义域内的任意恒成立，故，即对定义域内的任意恒成立，故，即 当时， 为奇函数，满足条件； 当时， 无意义，故不成立。 综上， (2)若在内恒有意义，则当时，有恒成立，因为，所以，从而在上恒成立， 令，则当时，不合题意 当时， ，解得，所以，实数的取值范围是 13. 如图所示，已知边长为米的正方形钢板有一个角