高中数学 第一章 立体几何初步章末分层突破学案（含解析）新人教B版必修2.doc

第一章 立体几何初步章末分层突破自我校对平行投影与中心投影确定平面的条件异面直线平行直线相交直线与平面平行的性质平面与平面垂直的判定 (教师用书独具)空间几何体的三视图与直观图三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质.由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化.若某几何体的三视图如图11所示，则这个几何体的直观图可以是() 【导学号：45722062】图11abcd【精彩点拨】【规范解答】所给选项中，a、c选项的主视图、俯视图不符合，d选项的左视图不符合，只有b选项符合.【答案】b再练一题1.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图12所示，则该几何体的体积为()图12a. b. c. d.1【解析】由三视图及四棱锥与球的体积公式求解.由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为121.故选c.【答案】c空间几何体的表面积、体积1.几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用.2.常见的计算方法(1)公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式求解.(2)割补法：割补法的思想是通过分割或补形，将原几何体分割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积.(3)等体积变换法：等积变换法的思想是从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原几何体的体积.如图13，四棱锥pabcd的底面abcd是边长为2的菱形，bad60，已知pbpd2，pa.图13(1)证明：pcbd；(2)若e为pa的中点，求三棱锥pbce的体积.【精彩点拨】(1)连接ac，与bd交于点o，由pbpd以及底面为菱形的条件，由线面垂直的判定定理可证bd平面apc，从而可证；(2)利用四面体的等积变换，转化为以b为顶点的三棱锥，进而判断三棱锥pbce的体积是三棱锥bapc的体积的一半，代入公式计算.【规范解答】(1)证明连接ac，交bd于点o，连接po.因为底面abcd是菱形，所以acbd，bodo.由pbpd知，pobd.又因为poaco，所以bd平面apc，因此bdpc.(2)因为e是pa的中点， 所以v三棱锥pbcev三棱锥cpebv三棱锥cpabv三棱锥bapc由pbpdabad2知，abdpbd.因为bad60，所以poao，ac2，bo1.又pa，所以po2ao2pa2，所以poac，故sapcpoac3.由(1)知，bo平面apc，因此v三棱锥pbcev三棱锥bapcbosapc.再练一题2.正三棱柱abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为，d为bc中点，则三棱锥ab1dc1的体积为()a.3b.c.1d.【解析】在正abc中，d为bc的中点，则有adab，sdb1c12.又平面bb1c1c平面abc，adbc，ad平面abc，ad平面bb1c1c，即ad为三棱锥ab1dc1底面上的高.v三棱锥ab1dc1sdb1c1ad1.【答案】c空间中的平行关系在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透.在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律.如下图所示是平行关系相互转化的示意图.如图14所示，四边形abcd是平行四边形，pb平面abcd，mapb，pb2ma.在线段pb上是否存在一点f，使平面afc平面pmd？若存在，请确定点f的位置；若不存在，请说明理由.图14【精彩点拨】假设存在满足条件的点f，由于平面afc平面pmd，且平面afpm与平面afc、平面pmd分别交于直线af、pm，则必有afpm，又pb2ma，则点f是pb的中点.【规范解答】当点f是pb的中点时，平面afc平面pmd，证明如下：如图连接ac和bd交于点o，连结fo，那么pfpb.四边形abcd是平行四边形，o是bd的中点.ofpd.又of平面pmd，pd平面pmd，of平面pmd.又mapb，pfma.四边形afpm是平行四边形.afpm.又af平面pmd，pm平面pmd.af平面pmd.又afoff，af平面afc，of平面afc.平面afc平面pmd.再练一题3.如图15，已知四边形abcd是平行四边形，点p是平面abcd外一点，m是pc的中点，在dm上取一点g，过g和ap作平面交平面bdm于gh，求证：apgh.图15【证明】连接ac交bd于o，连接mo，因为m，o为pc、db的中点，所以moap，又因为mo平面bdm，pa平面bdm，所以pa平面bdm，又因为pa平面pahg，平面pahg平面bdmgh，所以pagh.空间中的垂直关系在本章中，空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识.如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决.如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直.如图16所示，在斜三棱柱a1b1c1abc中，底面是等腰三角形，abac，侧面bb1c1c底面abc.图16(1)若d是bc的中点，求证：adcc1；(2)过侧面bb1c1c的对角线bc1的平面交侧棱于点m，若amma1，求证：截面mbc1侧面bb1c1c.【精彩点拨】(1)由面面垂直的性质可证.(2)先证明c1n侧面bb1c1c，再证截面mbc1侧面bb1c1c.【规范解答】(1)abac，d是bc的中点，adbc.底面abc平面bb1c1c，ad侧面bb1c1c.adcc1.(2)延长b1a1与bm交于点n，连接c1n.amma1，na1a1b1.a1c1a1na1b1，c1nb1c1，c1n侧面bb1c1c.截面mbc1侧面bb1c1c.再练一题4.如图17，四棱锥pabcd中，abcbad90，bc2ad，pab和pad都是等边三角形.图17证明：pbcd.【证明】如图，取bc的中点e，连接de，则abed为正方形.过p作po平面abcd，垂足为o.连接oa，ob，od，oe.由pab和pad都是等边三角形知papbpd，所以oaobod，即点o为正方形abed对角线的交点，故oebd.又oeop，bdopo，所以oe平面pdb，从而pboe.因为o是bd的中点，e是bc的中点，所以oecd.因此pbcd. 等价转化思想通过添加辅助线或面，将空间几何问题转化为平面几何问题，这是一种降维转化思想.线线、线面、面面的位置关系可以相互转化，使它们建立联系，揭示本质.已知矩形abcd，过a作sa平面abcd，再过a作aesb交sb于e，过e作efsc交sc于f.(1)求证：afsc；(2)若平面aef交sd于g，求证：agsd.【精彩点拨】本题可通过多次线线垂直与线面垂直的相互转化来求解.【规范解答】(1)sa平面abcd，bc平面abcd，sabc.又abbc，又asaba，bc平面sab.bcae.又sbae且bcsbb，ae平面sbc，aesc.又efsc且aeefe，sc平面aef，afsc.(2)sa平面abcd，sadc.又addc且adsaa，dc平面sad，dcag.又由(1)有sc平面aef，ag平面aef， scag且scdcc，ag平面sdc，agsd.再练一题5.如图18，在abc中，abac，ad平面abc，ec平面abc，且ce2ad.求证：平面bde平面bce.图18【证明】如图所示，分别取be，bc的中点m，n，连接dm，an，mn，则mnec且mnec，ad平面abc，ec平面abc，ce2ad，ecad，ecan，mnad，mnad，mnad是平行四边形，andm，abac，n为bc的中点，anbc，又ecbcc，an平面bec，dm平面bec，又dm平面bde，平面bde平面bce.1.在梯形abcd中，abc，adbc，bc2ad2ab2.将梯形abcd绕ad所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()a.b.c.d.2【解析】过点c作ce垂直ad所在直线于点e，梯形abcd绕ad所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段ab的长为底面圆半径，线段bc为母线的圆柱挖去以线段ce的长为底面圆半径，ed为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为vv圆柱v圆锥ab2bcce2de122121，选c.【答案】c2.一个几何体的三视图如图19所示，则该几何体的表面积为()图19a.3 b.4c.24d.34【解析】由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示.表面积为222121243.【答案】d3.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图110所示.若该几何体的表面积为1620，则r()图110a.1 b.2 c.4 d.8【解析】如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积s4r2r24r2r2r(54)r2.又s1620，(54)r21620，r24，r2，故选b.【答案】b4.设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m.()a.若l，则b.若，则lmc.若l，则d.若，则lm【解析】l，l，(面面垂直的判定定理)，故a正确.【答案】a5.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是() 【导学号：45722063】a.l与l1，l2都不相交b.l与l1，l2都相交c.l至多与l1，l2中的一条相交d.l至少与l1，l2中的一条相交【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交.【答案】d6.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.【解析】设新的底面半径为r，由题意得524228r24r28，r27，r.【答案】7.如图111，在直三棱柱abca1b1c1中，已知acbc，bccc1，设ab1的中点为d，b1cbc1e.图111求证：(1)de/平面aa1c1c；(2)bc1ab1.【证明】(1)由题意知，e为b1c的中点，又d为ab1的中点，因此deac.又因为de平面aa1c1c，a