高中数学 小问题集中营 专题4.5 辅助角公式及应用.doc

专题五 辅助角公式及应用一、问题的提出【2017课标ii文13】函数的最大值为 ； . 该题可通过辅助角公式化为形式，再运用三角函数的性质解决；我们把(其中角所在的象限由a, b的符号确定,角的值由确定),称作辅助角公式,该公式在高考中考查频率非常高,且常和三角函数的性质结合在一起进行考查.二、问题的探源本题解法：有辅助角公式得；，则；1所涉及的公式（要熟记,是三角函数式变形的基础）降幂公式： 2.关于的说明(1)使用范围：三个特点： 同角（均为）,齐一次,正余全(2)实施步骤：一提：提取系数：,表达式变为： 二找：由,故可看作同一个角的正余弦（称为辅助角）,如,可得： 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：(3)举例说明： (4)注意事项： 在找角的过程中,一定要找“同一个角”的正余弦,因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式,所以构造的正余弦要同角 此公式不要死记硬背,找角的要求很低,只需同一个角的正余弦即可,所以可以从不同的角度构造角,从而利用不同的公式进行合角,例如上面的那个例子：,可视为,那么此时表达式就变为：,使用两角差的余弦公式： 所以,找角可以灵活,不必拘于结论的形式.找角灵活,也要搭配好对应的三角函数公式.当然,角寻找的不同,自然结果形式上也不一样,但与本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用） 通常遇到的辅助角都是常见的特殊角,这也为我们的化简提供了便利,如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦,那么可用抽象的来代替,再在旁边标注的一个三角函数值.3.规律探究（1）观察式子：主要看三点 系统：整个表达式是以正余弦为主,还是正切（大多数情况是正余弦）,确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦） 确定研究对象：是以作为角来变换,还是以的表达式（例如）看做一个角来进行变换. 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次）,若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式,那么很有可能要使用合角公式,其结果成为的形式.例如：齐二次式：,齐一次式： （2）向“同角齐次正余全”靠拢,能拆就拆,能降幂就降幂：常用到前面的公式,（还有句老话：平方降幂）例如：,确定研究对象了：,也齐一次,但就是角不一样（一个是 ,一个是）那么该拆则拆,将打开 于是就可合角了三、问题的佐证【例1】（2017山东文7）函数 最小正周期为（ ）a. b. c. d. 【解析】因为,所以其周期。【例2】（2016高考新课标3理数）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_个单位长度得到【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少【例3】（2016山东文17）设.（1）求的单调递增区间；（2）把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再把得到的图像向左平移个单位,得到函数的图像,求的值.【解析】 （1）由,得, 的单调递增区间是,（或写为）.【例4】（2016天津理15）已知函数.（1）求的定义域与最小正周期；（2）讨论在区间上的单调性.【解析】 （1）的定义域为. .所以的最小正周期.（2）令,函数的单调递增区间是.由,得,.设,易知.又,所以当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.四、问题的解决1.已知，则的值是（ ）a. b. c. d. 【答案】d2.（2016山东理7）函数的最小正周期是（ ）.a b c d【答案】b【解析】由,所以最小正周期是. 故选b.3.已知函数（）的最小正周期为，且，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由题可知： 由最小正周期为2可得又代入可得： ， ，则故选b.4.在锐角中，角的对边分别为，若， ，则的取值范围（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由题意可得：，, ,，,，,故答案选5.（2016浙江高考11）已知,则_,_.【答案】； 【解析 】,所以,.6（2016上海文5）若函数的最大值为,则常数 【答案】 【解析 】由辅助角公式可知函数的最大值为,故7.已知向量 若 ，则 的值为_【答案】【解析】 所以 8.（2015安徽文）已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1) (2) ,.9.设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（2）由为锐角三角形知，所以由此有，所以，的取值范围为10.已知函数.（）求函数的单调递增区间；（）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（）的单调递增区间为或（）（）时，函数取得最小值；时，函数取得最大值【解析】（）显然，由，或，得，或，即函数的单调递增区间为或（）.（）因为，得，所以当，即时，函数取得最小值当，即时，函数取得最大值11.已知向量满足,函数.（1）求的单调区间；（2）已知数列，求前项和为.【答案】（1）； （2）.12.（2015福建文）已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图像向右平移个单位长度,再向下平移（）个单位长度后得到函数的图像,且函数的最大值为2（）求函数的解析式；（）求证：存在无穷多个互不相同的正整数,使得【答案】(1) (2) ,.【解析】分析：（1）先利用二倍角公式和余弦降幂公式将化为,然后利用求最小正周期；（2由函数的解析式中给减,再将所得解析式整体减去得的解析式为,当取1时,取得最大值,列方程求得,从而的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数,使得,可解不等式,只需解集的长度大于1,此时解集中一定含有整数,由周期性可得,必存在无穷多个互不相同的正整数（ii）要证明存