高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选修21.doc

3.1.5空间向量运算的坐标表示1.理解空间向量长度公式、夹角公式、空间两点间的距离公式.(重点)2.掌握空间向量运算的坐标表示，能用向量的坐标运算解决简单几何体中的问题.(难点)基础初探教材整理1空间向量运算的坐标表示阅读教材p95内容，完成下列问题.设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)，r数量积aba1b1a2b2a3b3已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b等于()a.(16,0,4)b.(8，16,4)c.(8,16,4)d.(8,0,4)【解析】4a(12，8,4)，2b(4,8,0)，4a2b(8,0,4).【答案】d教材整理2空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示阅读教材p95“倒数第10行倒数第6行”内容，完成下列问题.设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则平行(ab)ab(b0)ab垂直(ab)abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)模|a|夹角公式cosa，b已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k()a.1 b.c.d.【解析】kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且(kab)(2ab)3(k1)2k40，解得k.【答案】d教材整理3空间中两点间的距离公式阅读教材p95“倒数第5行以下”内容，完成下列问题.在空间直角坐标系中，设a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则(1)_；(2)dab|_.【答案】(1)(a2a1，b2b1，c2c1)(2)若点a(0,1,2)，b(1,0,1)，则_，|ab|_.【答案】(1，1，1)小组合作型空间向量的坐标运算已知空间四点a，b，c，d的坐标分别是(1,2,1)，(1,3,4)，(0，1,4)，(2，1，2).若p，q，求下列各式的值：(1)p2q；(2)3pq；(3)(pq)(pq)；(4)cosp，q. 【导学号：37792120】【精彩点拨】(1)已知两点的坐标，怎样表示由这两点构成的向量的坐标？(2)向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的？【自主解答】由于a(1,2,1)，b(1,3,4)，c(0，1,4)，d(2，1，2)，所以p(2,1,3)，q(2,0，6).(1)p2q(2,1,3)2(2,0，6)(2,1,3)(4,0，12)(6,1，9).(2)3pq3(2,1,3)(2,0，6)(6,3,9)(2,0，6)(4,3,15).(3)(pq)(pq)p2q2|p|2|q|2(221232)2202(6)226.(4)cosp，q.1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.2.在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2.再练一题1.已知a(2，1，2)，b(0，1,4).求：(1)ab；(2)ab；(3)ab；(4)2a(b)；(5)(ab)(ab).【解】(1)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2).(2)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2,0，6).(3)ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47.(4)2a(4，2，4)，(2a)(b)(4，2，4)(0,1，4)40(2)1(4)(4)14.(5)(ab)(ab)a2b2414(0116)8.利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题已知空间三点a(2,0,2)，b(1,1,2)，c(3,0,4).设a，b.(1)若|c|3，c，求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.【精彩点拨】(1)根据c，设c，则向量c的坐标可用表示，再利用|c|3求值；(2)把kab与ka2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解.【自主解答】(1)(2，1,2)且c，设c(2，2)(r).|c|3|3.解得1.c(2，1,2)或c(2,1，2).(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4).(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100，解得k2或k.向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题时要注意：(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程；(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.再练一题2.已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2).(1)若ab，分别求与m的值；(2)若|a|，且与c(2，2，)垂直，求a. 【导学号：37792121】【解】(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解得实数，m3.(2)|a|，且ac，化简，得解得1.因此，a(0,1，2).探究共研型利用向量的坐标运算求夹角与距离探究1运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤？【提示】(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；(2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标；(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；(4)转化：转化为几何结论.探究2已知a(2,1，3)，b(1，2,4)，求与向量共线的单位向量.【提示】(1，3,7)，|，与共线的单位向量为或.在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是d1d，bd的中点，g在棱cd上，且cgcd，h是c1g的中点.利用空间向量解决下列问题：(1)求ef与b1c所成的角；(2)求ef与c1g所成角的余弦值；(3)求f，h两点间的距离.【精彩点拨】【自主解答】如图所示，以da，dc，dd1为单位正交基底建立空间直角坐标系dxyz，则d(0,0,0)，e，f，c(0,1,0)，c1(0，1,1)，b1(1,1,1)，g.(1)，(1,0，1)，(1,0，1)(1)0(1)0.，即efb1c.ef与b1c所成的角为90.(2)因为.则|.又|，且，cos，即ef与c1g所成角的余弦值为.(3)h是c1g的中点，h.又f，fh|.空间向量的数量积应用很广泛，其主要用途有：(1)求向量的模|a|；(2)求角，利用公式cosab；(3)证明垂直ab0ab.再练一题3.如图3132，sa平面abc，abbc，saabbc.图3132(1)求异面直线sc与ab所成角的余弦值；(2)用空间向量的方法证明bc平面abs.【解】以点a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设saabbca，则b，c(0, a,0)，s(0,0，a).(1)，(0, a，a).cos，故sc与ab所成角的余弦值为.(2)证明：由于，(0,0，a)，显然，0，0.即abbc，asbc，又abasa，故bc平面abs.1.已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，则|3ab|为()a.b.4c.5d.【解析】3ab3(1,1,0)(1,0,2)(3,3,0)(1,0,2)(2,3,2)，故|3ab|.【答案】d2.点a(n，n1,2n)，b(1，n，n)，则|的最小值是()a.b.c.2d.不存在【解析】(1n,12n，n)，|2(1n)2(12n)2n2