高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末检测卷 新人教A版选修21.doc

第三章 空间向量与立体几何章末检测卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是()a.若ab0，则a0或b0b.若a0，则0或a0c.若a2b2，则ab或abd.若abac，则bc答案b解析对于a，可举反例：当ab时，ab0.对于c，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab.对于d，abac，可以移项整理推得a(bc).2.设平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()a.2 b.4 c.4 d.2答案c解析因为，故(2，4，k)(1，2，2)，所以2，k2，即k4.3.设i，j，k为单位正交基底，已知a3i2jk，bij2k，则5a与3b的数量积等于()a.15 b.5 c.3 d.1答案a解析a(3，2，1)，b(1，1，2)，5a3b15ab15.4.o为空间任意一点，若，则a，b，c，p四点()a.一定不共面 b.一定共面c.不一定共面 d.无法判断答案b解析，且1.p，a，b，c四点共面.5.已知向量a(0，2，1)，b(1，1，2)，则a与b的夹角为()a.0 b.45 c.90 d.180答案c解析cosa，b0，又a，b0，180，a，b90.6.已知直线l的方向向量a，平面的法向量，若a(1，1，1)，(1，0，1)，则直线l与平面的位置关系是()a.垂直b.平行c.相交但不垂直d.直线l在平面内或直线l与平面平行答案d解析a1(1)10110，得直线l的方向向量垂直于平面法向量，则直线l在平面内或直线l与平面平行.7.a，b，c，d是空间不共面的四点，且满足0，0，0，m为bc中点，则amd是()a.钝角三角形 b.锐角三角形c.直角三角形 d.不确定答案c解析m为bc中点，am(abac).()0.amad，amd为直角三角形.8.如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，aa1，ad2，p为c1d1的中点，m为bc的中点.则am与pm的位置关系为()a.平行 b.异面 c.垂直 d.以上都不对答案c解析以d点为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，依题意可得，d(0，0，0)，p(0，1，)，c(0，2，0)，a(2，0，0)，m(，2，0).(，2，0)(0，1，)(，1，)，(，2，0)(2，0，0)(，2，0)，(，1，)(，2，0)0，即，ampm.9.已知(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，点q在直线op上运动，则当取得最小值时，点q的坐标为()a. b. c. d.答案c解析设q(x，y，z)，因q在上，故有，设(r)，可得x，y，z2，则q(，2)，(1，2，32)，(2，1，22)，所以62161062，故当时，取最小值，此时q.10.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，下列各式中运算的结果为的共有()()；()；()；().a.1个 b.2个 c.3个 d.4个答案d解析()；()；()；().故选d.11.如图，s是正三角形abc所在平面外一点，m，n分别是ab和sc的中点，sasbsc，且asbbsccsa90，则异面直线sm与bn所成角的余弦值为()a. b. c. d.答案b解析不妨设sasbsc1，建立空间直角坐标系sxyz，则相关各点坐标为a(1，0，0)，b(0，1，0)，c(0，0，1)，s(0，0，0)，m，n(0，0，).因为，所以|，|，cos，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线sm与bn所成角的余弦值为.12.将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角abdc，有如下四个结论：acbd；acd是等边三角形；ab与平面bcd所成的角为60；ab与cd所成的角为60.其中错误的结论是()a. b. c. d.答案c解析如图所示，建立空间直角坐标系oxyz，设正方形abcd边长为，则d(1，0，0)，b(1，0，0)，c(0，0，1)，a(0，1，0)，所以(0，1，1)，(2，0，0)，0，故acbd.正确.又|，|，|，所以acd为等边三角形.正确.对于，为面bcd的一个法向量，cos，.因为直线与平面所成的角0，90，所以ab与平面bcd所成角为45.故错误.又cos，.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以ab与cd所成角为60.故正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.设a，b是直线，是平面，a，b，向量a在a上，向量b在b上，a(1，1，1)，b(3，4，0)，则，所成二面角中较小的一个角的余弦值为_.答案解析设，所成二面角中较小的一个角为，由题意得，cos |cosa，b|.14.如图所示，已知正四面体abcd中，aeab，cfcd，则直线de和bf所成角的余弦值为_.答案解析，cos，.15.如图所示，已知二面角l的平面角为 ，abbc，bccd，ab在平面内，bc在l上，cd在平面内，若abbccd1，则ad的长为_.答案解析因为，所以22222221112cos()32cos .所以|，即ad的长为.16.给出下列命题：若，则必有a与c重合，b与d重合，ab与cd为同一线段；若ab0，则a，b是钝角；若a为直线l的方向向量，则a(r)也是l的方向向量；非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面.其中不正确的命题为_.(填序号)答案解析错误，如在正方体abcda1b1c1d1中，但线段ab与a1b1不重合；错误，ab0，即cosa，b0a，b，而钝角的取值范围是(，)；错误，当0时，a0不能作为直线l的方向向量；错误，在平行六面体abcda1b1c1d1中，令a，b，c，则它们两两共面，但显然，是不共面的.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)设向量a(3，5，4)，b(2，1，8)，计算2a3b，3a2b，ab以及a与b所成角的余弦值，并确定，应满足的条件，使ab与z轴垂直.解2a3b2(3，5，4)3(2，1，8)(6，10，8)(6，3，24)(12，13，16).3a2b3(3，5，4)2(2，1，8)(9，15，12)(4，2，16)(5，13，28).ab(3，5，4)(2，1，8)653221.|a|5，|b|，cosa，b.ab与z轴垂直.(32，5，48)(0，0，1)480，即2，当，满足2时，可使ab与z轴垂直.18.(12分)已知空间内三点a(0，2，3)，b(2，1，6)，c(1，1，5).(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积s；(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|，求向量a的坐标.解(1)(2，1，3)，(1，3，2)，cosbac，又bac0，180，bac60，s|sin 607.(2)设a(x，y，z)，由a，得2xy3z0，由a，得x3y2z0，由|a|，得x2y2z23，xyz1或xyz1.a(1，1，1)或a(1，1，1).19.(12分)如图，在平行四边形abcd中，abac1，acd90，把adc沿对角线ac折起，使ab与cd成60角，求bd的长.解ab与cd成60角，60或120，又abaccd1，accd，acab，|2或.bd的长为2或.20.(12分)如图所示，已知几何体abcda1b1c1d1是平行六面体.(1)化简，并在图上标出结果；(2)设m是底面abcd的中心，n是侧面bcc1b1对角线bc1上的点，且c1nc1b，设，试求，的值.解(1)取aa1的中点e，在d1c1上取一点f，使得d1f2fc1，连接ef，则.(2)()()，所以，.21.(12分)如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，过线段bd1上一点p(p平面acb1)作垂直于d1b的平面，分别交过d1的三条棱于点e，f，g.(1)证明平面efg平面acb1，并判断三角形efg的形状；(2)求efg的最大面积，并求此时ef与b1c间的距离.解(1)以d为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则a(a，0，0)，b(a，a，0)，c(0，a，0)，d1(0，0，a)，b1(a，a，a)，e(xe，0，a)，f(0，yf，a)，g(0，0，zg)，(a，a，a)，(0，a，a)，(xe，yf，0)，(a，a，0)，(a，0，a)，0，0， ，又ab1与ac相交于点a，bd1平面acb1，又bd1平面efg，平面efg平面acb1.平面efg，即0，即(a，a，a)(xe，yf，0)0，即xeyf0.同理xezg0，yfzg0，xeyfzg，易得|，efg为正三角形.(2)efg是正三角形，易知当efg与a1c1d重合时，efg的边最长，其面积也最大，此时efa1c1a，sefg|sin 60(a)2a2，此时ef与b1c的距离即为a1c1与b1c的距离.设n(x，y，z)与，都垂直，则有n0，n0，又(a，a，0)，(a，0，a)，令x1，得y1，z1，n(1，1，1)，又(0，a，0)，所求异面直线的距离da.22.(12分)如图所示，四边形abcd为直角梯形，abcd，abbc，abe为等边三角形，且平面abcd平面abe，ab2cd2bc2，p为ce中点.(1)求证：abde；(2)求平面ade与平面bce所成的锐二面角的余弦值；(3)在abe内是否存在一点q，使pq平面cde？如果存在，求pq的长；如果不存在，请说明理由.(1)证明取ab的中点o，连接od，oe，因为abe是正三角形，所以aboe.因为四边形abcd是直角梯形，dcab，abcd，所以四边形obcd是平行四边形，所以odbc.又abbc，所以abod，又oeodo，所以ab平面ode，所以abde.(2)解因为平面abcd平面abe，aboe，oe平面abe，平面abcd平面abeab.所以oe平面abcd，所以oeod.如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系，则a(1，0，0)，b(1，0，0)，d(0，0，1)，c(1，0，1)，e(0，0)，所以(1，0，1)，(0，1).设平面ade的法向量为n