高考数学 考点22 等差数列与等比数列试题解读与变式.doc

考点22 等差数列、等比数列【考纲要求】1掌握等差数列、等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等2掌握等差数列、等比数列的判断方法，求和的方法【命题规律】 等差数列、等比数列的性质与运用是高考必考的，一般是在选择题或填空题、解答题中考查.【典型高考试题变式】（一）基本量的计算例1.【2015新课标1】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ） a. b. c. d.【答案】b【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.【变式1】【改变结论】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则 .【答案】【解析】因为公差，所以，解得=，所以.【变式2】【改变结论】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则 .【答案】50【解析】因为公差，所以，解得=，所以.（二）求项数例2.【2015新课标1】数列中为的前n项和，若，则 .【答案】6【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.【变式1】【改变条件】设为等差数列的前项和，若，公差，则()a8 b7 c6 d5【答案】d【解析】，解得.【变式2】【改变条件】数列中，若，则 .【答案】10【解析】因为，所以数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以，因为，所以，所以，解得.（三）数列中的最值问题例3.【2016新课标卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则的最大值为 【答案】【解析】设等比数列的公比为,由得, 解得.所以,于是当或时,取得最大值.【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做. 【变式1】【改变条件】设递减等比数列满足,则的最大值为 【答案】【解析】依题意，把、看作方程的二根，解得，因为为递减等比数列，所以，设等比数列的公比为，所以，易得，即，所以,于是当或时,取得最大值. 【变式2】【改变结论】设递减等比数列满足,则的最大值为 【答案】2（四）等差数列、等比数列的判断例4. 【2017新课标1】记sn为等比数列的前n项和，已知s2=2，s3=-6（1）求的通项公式；（2）求sn，并判断sn+1，sn，sn+2是否成等差数列【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法【变式1】【2014新课标】已知数列的前项和为，其中为常数，（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.【解析】（1）由题设，两式相减得，由于，所以（2）由题设，可得，由（i）知，令，解得故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，所以，因此存在，使得为等差数列【变式2】已知等比数列是递增数列，数列满足，且（），证明：数列是等差数列.【数学思想】分类讨论思想:对分奇数、偶数进行讨论转化与化归思想.【温馨提示】要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误【典例试题演练】1.已知为等差数列，为其前项和，若，则（ ）a. 4 b. 6 c. 15 d. 24【答案】b【解析】因为是等差数列，所以，所以，故选b2【2018届河南省许平汝联考】在等差数列中，则的前13项和为（ ）a. 91 b. 156 c. 182 d. 246【答案】c3已知等差数列的公差为2，且，则（ ）a. 12 b. 13 c. 14 d. 15【答案】c 【解析】由等差数列的通项公式可知 ，结合题意可得 ，解得 .故选c.4.【2018届辽宁省鞍山市第一中学模拟】设是首项为，公差为的等差数列， 为其前项和，若成等比数列，则（ ）a. 8 b. c. 1 d. 【答案】d【解析】因为成等比数列，所以，即，解得，故选d.5.【2018届辽宁省凌源二中联考】已知数列为等比数列，且，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由等比数列的性质可得：，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即 .故选b.6.【百校联盟2018届高三开学摸底联考】我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）a. 4 b. 5 c. 6 d. 7【答案】c7.【百校联盟2018届高三开学摸底联考】等差数列的公差，且，若是与的等比中项，则（ ）a. 5 b. 6 c. 9 d. 11【答案】c【解析】等差数列的公差，由得,可得，则，若是与的等比中项，则有，即为，由不为，可得，解得舍去），故选c.8. 【河南省郑州一中2017-2018测试】设等差数列的前项和为，已知， ，则下列结论正确的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d9已知各项不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则为( )a. 4 b. 8 c. 16 d. 64【答案】c【解析】因为，所以，又因为， . 故选c.10.【2018届浙江省温州市测试】已知数列是公差不为0的等差数列，数列的前项，前项，前项的和分别为，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】因为是公差不为0的等差数列，所以是以公比不为1的等比数列，由等比数列的性质，可得，成等比数列，所以可得，故选d.11【2017广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中联考】已知等差数列满足： ，求_【答案】21【解析】等差数列中， =2,则.12【2018届江西省赣州市红色七校联考】已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，成等比数列，则等于_【答案】3【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，因为，构成等比数列，所以，所以，解得，所以.13.【2018届湖南省益阳市、湘潭市调研】已知等比数列中， ，则的值为_【答案】25【解析】设等比数列的公比为