高考数学 考点40 圆锥曲线中的范围与最值问题试题解读与变式.doc

考点40 圆锥曲线中的范围与最值问题【考纲要求】应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值【命题规律】 圆锥曲线中的范围与最值问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查，在解答题中出现时难度较大.【典型高考试题变式】（一）离心率的范围例1.【2017课标卷】若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由题意，因为，所以，则，故选c.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式1】【2016湖南长沙市月考】设是双曲线的两个焦点，p在双曲线上，若(c为半焦距)，则双曲线的离心率为（ ）a b c2 d【答案】d【解析】由题意得，是直角三角形，由勾股定理得，故选d【变式2】已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1(c,0)、f2(c,0)，若椭圆上存在点p使，则该椭圆离心率的取值范围为()a(0，1) b. c. d(1,1)【答案】d【解析】根据正弦定理得，所以由可得，即e，所以|pf1|e|pf2|，又|pf1|pf2|e|pf2|pf2|pf2|(e1)2a，则|pf2|，因为ac|pf2|ac(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以acac，即11，所以1e1e，即解得1eb0)的离心率为,椭圆c截直线y=1所得线段的长度为.（1）求椭圆c的方程；（2）动直线l:y=kx+m(m0)交椭圆c于a,b两点,交y轴于点m.点n是m关于o的对称点,n的半径为|no|. 设d为ab的中点,de,df与n分别相切于点e,f,求edf的最小值.【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，又当时，得，所以，因此椭圆方程为.（2）设，联立方程，得，由得.（*）且，因此，所以，又，所以，整理得 ，因为，所以.令，故，所以 .令，所以.当时，,从而在上单调递增，因此，等号当且仅当时成立，此时，所以，由（*）得 且.故，设，则 ，所以的最小值为，从而的最小值为，此时直线的斜率是.综上所述：当，时，取到最小值.【数学思想】数形结合思想分类讨论思想转化与化归思想.【温馨提示】对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化的原因，谁是自变量，定义域是什么，这实际是函数问题，要学会用函数的观点分析这类问题.【典例试题演练】1. 已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()a(1，) b(1， c(，) d，)【答案】c【解析】双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2，e .2.【2016新高考调研卷】已知椭圆的中心为，右焦点为、右顶点为，直线与轴的交点为，则的最大值为（ ）ab c d【答案】c【解析】.故选c.3.【2016湖南长沙市模拟】抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足. 过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为( )a b1 c d2【答案】a【解析】设，由余弦定理得 ， .4.【2016洛阳市模拟】已知点在双曲线的右支上，分别为双曲线的左、右焦点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）a b c d【答案】d【解析】因为，所以，又，所以，选d.5.【2016湖南省郴州市检测】已知椭圆的左、右焦点分别为、,点是椭圆与圆在第一象限的交点, 且点到的距离等于.若椭圆上一动点到点与到点的距离之差的最大值为,则椭圆的离心率为（ ）a b c d【答案】b【解析】设点为椭圆上的动点，则当三点共线时，取得最大值，此时又，所以点是线段上靠近的一个三等分点，所以，代入椭圆方程，得，即，解得，即，故选b6. 设函数在点处的切线为，双曲线的两条渐近线与围成的封闭图形的区域为（包括边界），点为区域内的任一点，已知，为坐标原点，则的最大值为（ ）a b3 c2 d【答案】d【解析】因为，所以；双曲线的两条渐近线为，交点为，的最大值为向量在向量方向上的投影最大，此时为选d.7. 【2016湖南六校联考】已知分别为椭圆的左、右顶点，不同两点在椭圆上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为（ ）a b c d【答案】d【解析】设点则，从而，设，令，则即，当且仅当即取等号，取等号的条件一致，此时，故选d8. 已知点m(3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为f，点q是该抛物线上的一动点，则|mq|qf|的最小值是_【答案】【解析】抛物线的准线方程为x，当mqx轴时，|mq|qf|取得最小值，此时点q的纵坐标y2，代入抛物线方程y22x得q的横坐标x2，则|qm|qf|23|.9.【20117广西柳州市模拟】设双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线左支于、两点，则的最小值等于 【答案】16【解析】.10.【2016河南省豫北重点中学联考】已知直线和圆相交于两点，当弦最短时，的值为 .【答案】【解析】化为，故直线过定点，这个点在圆内.圆心为，故当弦最短时，直线的斜率为，即.11. 【2016安徽合肥质检】存在实数，使得圆面恰好覆盖函数图象的最高点或最低点共三个，则正数的取值范围是_【答案】【解析】由题意，知函数图象的最高点或最低一定在直线上，则由，得又由题意，得，解得正数的取值范围为12.【2016浙江省效实中学期中】已知分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是 【答案】【解析】在双曲线中，当时所以a,b两点的纵坐标分别为因为是锐角三角形，所以，,，所以所以解得，又因为，所以.13.【2017广东佛山市检测】已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于，两点，使，则双曲线离心率的取值范围是 【答案】【解析】设，直线的方程为，联立双曲线方程，消去，得，所以，因为，即，代入整理，得，由，得，即，解得；由，得，即，所以综上所述， 14.【2017河北唐山市期末】已知抛物线，圆.（1）若抛物线的焦点在圆上，且为 和圆 的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值【解析】（1）由题意得f(1，0)，从而有c：x24y解方程组，得ya2，所以|af|1（2）设m(x0，y0)，则切线l：y(xx0)y0，整理得x0xpypy00由|on|1得|py0|，所以p且y10，所以|mn|2|om|21xy12py0y1y14(y1)8，当且仅当y0时等号成立，所以|mn|的最小值为2，此时p15.【2017四川凉山州