高考数学 考点45 古典概型试题解读与变式.doc

考点45 古典概型一、 知识储备汇总与命题规律展望1. 知识储备汇总:（1）概率的有关概念：随机事件和随机试验是两个不同的概念：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验频率与概率有本质的区别，不可混为一谈频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率概率是频率的近似值，两者是不同概念。基本事件空间：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，通常用大写希腊字母表示事件的关系与运算：定义符号表示包含关系如果事件a发生，则事件b一定发生，这时称事件a包含于事件b)ab相等关系若ba且aba=b并事件(和事件)若某事件发生当且仅当a发生或事件b发生，称此事件为事件a与事件b的和事件ab(或ab)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当a发生且事件b发生，则称此事件为事件a与事件b的交事件(或积事件)ab(或ab)互斥事件若ab为不可能事件，则事件a与事件b互斥ab对立事件若ab为不可能事件，ab为必然事件，那么称事件a与事件b互为对立事件ab；p(ab)p(a)p(b)1其中，互斥事件与对立事件的区别与联系是：互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件（2）古典概型定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，（）有限性试：验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等，简称古典概型 概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件a包括的结果有m个，那么事件a的概率p(a).从集合的角度去看待古典概型，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合i，基本事件的个数n就是集合i的元素个数，事件a是集合i的一个包含m个元素的子集故p(a).若事件与事件互斥，则事件的概率；若事件与事件是对立事件，则.2. 命题规律展望：古典概型是高考考查的重点与热点，主要考查利用排列组合知识、互斥事件的和概率公式、相互独立事件的积概率公式及古典概型的知识求古典概型的概率，题型为选择题、填空题或理科解答题中求随机变量分布列中求概率或文科解答题中求古典概率，分值为5至17分，难度为基础题或中档难度题.二、题型与相关高考题解读1.简单的古典概型问题1.1考题展示与解读例1 【2017山东，理8】从分别标有，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（a） （b） （c） （d）【命题意图探究】本题主要考查利用排列组合知识计算古典概型，是中档题.【答案】c【解析】标有，的张卡片中，标奇数的有张，标偶数的有张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ,选c.【解题能力要求】应用意识，运算求解能力【方法技巧归纳】解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(2)每个基本事件出现的可能性相等其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式求解1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下的2种颜色的花种在另一花坛中，则红色和紫色的花种在同一花坛的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】从四种颜色中选择两种颜色种植在一个花坛中，则另外两种颜色的花种植在另外一个花坛中，种花的方法共有： 种，而红色和紫色的花种在同一花坛有2种方法，其概率值为,故选c.【变式2：改编结论】扇形aob的半径为1，圆心角为90.点c，d，e将弧ab等分成四份连接oc，od，oe，从图中所有的扇形中随机取出一个，若取到扇形的面积恰为s的概率为，则s=()a. b. c. d. 【答案】a【变式3：改编问法】袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：1324123243142432312123133221244213322134据此估计，直到第二次就停止的概率为()a. b. c. d. 【答案】b【解析】由随机数表可知，在20个随机数组中，第二个数字是3的共有13 43 23 13 13共5个，所以其发生的概率为，故选b.2. 复杂古典概型问题2.1考题展示与解读例2【2016高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）（a）（b）（c）（d）【命题意图探究】本题考查互斥事件的和概率公式，是基础题.【答案】a【解析】甲不输概率为选a.【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】复杂古典概型问题，常分成若干个简单互斥事件的和，再利用排列组合的知识计算这些简单事件的概率，最后利用互斥事件的和概率公式求解，常用正难则反思想求解.2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【变式2：改编结论】四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】四个人抛硬币的可能结果有种，有不相邻人站起来的可能为：正反正反，反正反正，只有人站起来的可能有种，没有人站起来的可能有种，所以所求概率为： 选b.【变式3：改编问法】设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有实根的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】a3.古典概型与其他知识的交汇3.1考题展示与解读例3 【2016高考四川文科】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= .【命题意图探究】本题以对数的概率为载体考查古典概型的计算，是基础题.【答案】【解析】从2，3，8，9中任取两个数记为，作为作为对数的底数与真数，共有个不同的基本事件，其中为整数的只有两个基本事件，所以其概率.【解题能力要求】转化与化归思想、运算求解能力【方法技巧归纳】解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】集合和，分别从集合， 中随机取一个数作为和，则方程表示焦点落在轴上的椭圆的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【变式2：改编结论】将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数若点p(a，b)落在直线xym(m为常数)上，且使此事件的概率最大，则此时m的值为 ()a. 6 b. 5 c. 7 d. 8【答案】c【解析】由题意易知将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，点（a，b）共有36种情况，其中当ab7时，共有6种情况，即（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1），此时概率最大，故当m7时，事件的概率最大选c。【变式3：改编问法】将一颗骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为，设直线与平行的概率为，相交的概率为，则圆上到直线的距离为的点有（ ）a. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 4个【答案】c【解析】由直线与平行得 由直线与相交得所以，因此圆心到直线的距离为 ，即圆上到直线的距离为的点有三个，选c.3、 课本试题探源必修3 p133页练习第4题第（1）小题：掷两粒骰子，计算出现点数总和为7的概率.【解析】掷两粒骰子总共有36种结果，其中点数之和的结果有：（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）共6种，故出现点数之和为7的概率为.四典例高考试题演练1.【江西省宜春市2017届五调】从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个，则所抽取的数字之和能被4整除的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】依题意，从5个数字中随机抽取3个，所有的情况为（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共10种可能，其中满足条件的为（1，2，5），（1，3，4），（3，4，5），共3种可能，故所求概率，故选a.2.【湖南省五市十校教研教改共同体2018届12月联考】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】设齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3，齐王与田忌赛马，其情况有：(a1, b1)、(a1, b2)、(a1, b3)、(a2, b1)、(a2, b2)、(a2, b3)、(a3, b1)、(a3, b2) 、(a3, b3)，共9种；其中田忌的马获胜的有(a2, b1)、(a3, b1)、(a3, b2)共3种,则田忌获胜的概率为，故选：a.3.【河北省衡水第一中学2018届分科综合考试】2017年3月22日，习近平出访俄罗斯，在俄罗斯掀起了中国文化热在此期间，俄罗斯某电视台记者， 在莫斯科大学随机采访了7名大学生，其中有3名同学会说汉语，从这7人中任意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为( )a. b. c. d. 【答案】d4.【华中师范大学第一附属中学2018届上期期中】两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】 连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件的总数为，向上的点数之差的绝对值为包含的基本事件有： 共8个，所以向上的点数之差的绝对值为的概率为，故选b.5.【广东省广州市南沙区一中2018届期中】已知某运动员每次投篮命中的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示没有命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()a. 0.35 b. 0.25 c. 0,20 d. 0.15【答案】b【解析】观察数据，代表三次都命中的有431， 113共两个，而总的试验数据共20个，所以该运动员三次投篮都命中的概率为0，故选c6.【湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研】已知，则函数为减函数的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】函数为减函数，则.只有满足题意.所以函数为减函数的概率是.故选c.7.【贵州省贵阳市一中2018届月考（一）】某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】，故选b.8.【浙江省zdb联盟2017届高三一模】袋子里有大小、形状相同的红球个，黑球个（），从中任取1个球是红球的概率记为，若将红球、黑球个数各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为；若将红球、黑球个数各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】 因为，所以选d.9.【广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第三次月考】已知、，从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为（ ）a. b. c. d. 1【答案】b10.【湖北省武汉市2018届部分学校新高三起点调研考】将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为和，则方程有实数解的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】若方程有实根，则必有，若，则；若，则；若，则；若，则若，则；若，则， 事件“方程有实根”包含基本事件共， 事件的概率为，故选c.11.【南京师范大学附属中学2017届模拟一】从中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于的概率是_.【答案】【解析】所有基本事件为共六个，满足题设条件的事件有共三个，由古典概型的计算公式所求事件的概率，应填答案。12.【复旦大学附属中学2017届第一次月考】从集合中任取两个数，要使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则_【答案】【解析】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于k，另一个数小于k，比k的小的数有（k-1）个比k的大的数有（10-k）个，故有，所以取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k5，6，7，8，9）的概率是，解得k=7，故答案为：713.【河南省周口市一中2018届11月考】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则直线与圆有公共点的概率为_.【答案】14.【陕西省西安中学2018届高三上学期期中考试】某校从高一年级学生中随机抽取40中学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ， 所得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.【答案】(1)0.03;(2)544;(3) .【解析】(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.解得a=0.03. (2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为110(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有