高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 专题限时集训10 立体几何中的向量方法 理.doc

专题限时集训(十)立体几何中的向量方法(对应学生用书第97页)(限时：40分钟)题型1向量法求线面角1题型2向量法求二面角2,4题型3利用空间向量求解探索性问题31(2017郑州二模)如图109，三棱柱abca1b1c1中，各棱长均相等d，e，f分别为棱ab，bc，a1c1的中点图109(1)证明：ef平面a1cd；(2)若三棱柱abca1b1c1为直棱柱，求直线bc与平面a1cd所成角的正弦值解(1)证明：在三棱柱abca1b1c1中，aca1c1，且aca1c1，连接ed，在abc中，因为d，e分别为棱ab，bc的中点，所以deac，deac.又f为a1c1的中点，可得a1fa1c1，所以a1fde，a1fde，因此四边形a1fed 为平行四边形，所以efa1d，又ef平面a1cd，a1d平面a1cd，所以ef平面a1cd.(2)法一：(几何法)因为底面abc是正三角形，d为ab的中点，所以cdab，又aa1cd，aa1aba，所以cd平面a1abb1.如图在平面a1abb1内，过点b作bga1d，交直线a1d于点g，连接cg，则bg平面a1cd，所以bcg为直线bc与平面a1cd所成的角设三棱柱的棱长为a，可得a1d，由a1adbgd，可得bg，在rtbcg中，sinbcg.所以直线bc与平面a1cd所成角的正弦值为.法二：(向量法)设a1b1的中点为o，连接oc1，od，因为三棱柱abca1b1c1为直棱柱，所以od平面a1b1c1，所以odoc1，odoa1.又a1b1c1为等边三角形，所以oc1a1b1.以o为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.设三棱柱的棱长为a，则o(0,0,0)，b，c，a1，d(0，a,0)所以，.设平面a1cd的法向量为n(x，y，z)，由，得.设x2，解得n(2,1,0)设直线bc与平面a1cd所成的角为，则sin .所以直线bc与平面a1cd所成角的正弦值为.2(2017合肥二模)如图1010(1)，在矩形abcd中，ab1，ad2，点e为ad的中点，沿be将abe折起至pbe，如图2所示，点p在平面bcde上的射影o落在be上图1010(1)图1010(2)(1)求证：bpce；(2)求二面角bpcd的余弦值. 【导学号：07804077】解(1)证明：因为点p在平面bcde上的射影o落在be上，所以平面pbe平面bcde，易知bece，所以ce平面pbe，而bp平面pbe，所以pbce.(2)以o为坐标原点，以过点o且平行于cd的直线为x轴，过点o且平行于bc的直线为y轴，直线po为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则b，c，d，p.所以(1,0,0)，(0,2,0)设平面pcd的法向量为n1(x1，y1，z1)，则有，即，令z1，可得n1.设平面pbc的法向量为n2(x2，y2，z2)，则，即，令z2，可得n2(2,0，)所以cosn1，n2.考虑到二面角bpcd为钝角，则其余弦值为.3(2017郑州三模)如图1011，在四边形abcd中，abcd，bcd，四边形acfe为矩形，且cf平面abcd，adcdbccf.图1011(1)求证：ef平面bcf；(2)点m在线段ef上运动，当点m在什么位置时，平面mab与平面fcb所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值解(1)证明：在梯形abcd中，设adcdbc1，abcd，bcd，ab2，ac2ab2bc22abbccos 3.ab2ac2bc2，bcac.cf平面abcd，ac平面abcd，accf，而cfbcc，ac平面bcf.四边形acfe是矩形，efac，ef平面bcf.(2)由(1)知，以ca，cb，cf所成直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设adcdbccf1，令fm(0)，则c(0,0,0)，a(，0,0)，b(0,1,0)，m(，0,1)，(，1,0)，(，1,1)，设平面mab的法向量为n1(x，y，z)，则，即，令x1，则n1(1，)，为平面mab的一个法向量易知n2(1,0,0)是平面fcb的一个法向量，设平面mab与平面fcb所成锐二面角为，则cos .0，当0时，cos 有最小值，点m与点f重合时，平面mab与平面fcb所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.4(2017河北石家庄二模)如图1012，在三棱柱abcdef中，侧面abed是边长为2的菱形，且abe，bc.四棱锥fabed的体积为2，点f在平面abed内的正投影为点g，且点g在ae上，点m在线段cf上，且cmcf.图1012(1)证明：直线gm平面def；(2)求二面角mabf的余弦值. 【导学号：07804078】解(1)证明：因为四棱锥fabed的体积为2，所以vfabed22fg2，所以fg.又bcef，所以eg，易知ae2，则点g是ae的靠近点a的四等分点过点g作gkad交de于点k，连接fk，则gkadcf.又mfcf，所以mfgk，又mfgk，所以四边形mfkg为平行四边形，所以gmfk，又fk平面def，gm平面def，所以直线gm平面def.(2)连接bd，设ae，bd的交点为o，以ob所在直线为x轴，oe所在直线为y轴，过点o的平面abed的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则a(0，1,0)，b(，0,0