高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.2 古典概型试题 理 北师大版.doc

第十二章 概率、随机变量及其分布 12.2 古典概型试题 理 北师大版1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性相同3如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件a包括的结果有m个，那么事件a的概率p(a).4古典概型的概率公式p(a).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(3)从市场上出售的标准为5005 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型()(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.()(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.()(6)在古典概型中，如果事件a中基本事件构成集合a，且集合a中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合i，且集合i中元素个数为m，则事件a的概率为.()1从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()a. b.c. d.答案b解析基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率p，故选b.2(2016北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()a. b. c. d.答案b解析从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为.3(2015课标全国)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()a. b. c. d.答案c解析从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有c10(个)不同的结果，其中勾股数只有一组，故所求概率为p.4从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为_答案解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为.5(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_答案解析掷两个骰子一次，向上的点数共6636(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率p1.题型一基本事件与古典概型的判断例1(1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数试写出：试验的基本事件；事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；事件“出现点数相等”包含的基本事件(2)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)(2)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为a：“摸到白球”，b：“摸到黑球”，c：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型下列试验中，古典概型的个数为()向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形abcd内，任意抛掷一点p，点p恰与点c重合；从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率a0 b1 c2 d3答案b解析中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；的基本事件都不是有限个，不是古典概型；符合古典概型的特点，是古典概型题型二古典概型的求法例2(1)(2015广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()a. b. c. d1(2)(2015江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件a表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件a发生的概率为_答案(1)b(2)(3)解析(1)从袋中任取2个球共有c105(种)取法，其中恰好1个白球1个红球共有cc50(种)取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为.(2)基本事件共有c6(种)，设取出两只球颜色不同为事件a，a包含的基本事件有cccc5(种)故p(a).(3)五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为a120，满足事件a“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身)只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有cc10(种)可能，所以事件a出现的概率为.引申探究1本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件a，则a包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，所以p(a).2本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率解基本事件数为cc16，颜色相同的事件数为cccc6，所求概率为.思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件a包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择(1)(2016全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()a. b. c. d.答案c解析从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有(红黄)，(白紫)，(白紫)，(红黄)，(红白)，(黄紫)，(黄紫)，(红白)，(红紫)，(黄白)，(黄白)，(红紫)，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有(红黄)，(白紫)，(白紫)，(红黄)，(红白)，(黄紫)，(黄紫)，(红白)，共4种，故所求概率为p，故选c.(2)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率解由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件a，则事件a包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种所以p(a).因此，“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件b，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种所以p(b)1p()1.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.题型三古典概型与统计的综合应用例3(2015安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：40,50)，50,60)，80,90)，90,100(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在40,50)的概率解(1)因为(0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在50,60)的有500.006103(人)，记为a1，a2，a3；受访职工中评分在40,50)的有500.004102(人)，记为b1，b2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是a1，a2，a1，a3，a1，b1，a1，b2，a2，a3，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2，b1，b2又因为所抽取2人的评分都在40,50)的结果有1种，即b1，b2，故所求的概率为p.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决海关对同时从a，b，c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区abc数量50150100(1)求这6件样品中来自a，b，c各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是501,1503,1002.所以a，b，c三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自a，b，c三个地区的样品分别为a；b1，b2，b3；c1，c2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为a，b1，a，b2，a，b3，a，c1，a，c2，b1，b2，b1，b3，b1，c1，b1，c2，b2，b3，b2，c1，b2，c2，b3，c1，b3，c2，c1，c2，共15个每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件d：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件d包含的基本事件有b1，b2，b1，b3，b2，b3，c1，c2，共4个所以p(d)，即这2件商品来自相同地区的概率为.六审细节更完善典例(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率(1)基本事件为取两个球(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取两个球的所有结果列举出来1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)1,2，1,3利用古典概型概率公式求解p(2)两球分两次取，且有放回(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)基本事件的总数可用列举法表示(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号)nm2的情况较多，计算复杂(将复杂问题转化为简单问题)计算nm2的概率nm2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)p1(注意细节，p1是nm2的概率，需转化为其对立事件的概率)nm2的概率为1p1.规范解答解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1,2，1,3，共2个因此所求事件的概率p.4分(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个6分又满足条件nm2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件nm2的事件的概率为p1.10分故满足条件n0，所以f(x)在r上递增，若f(x)在1,2上有零点，则需经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11对满足条件，而总的情况有16种，故所求概率为.5有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为()a. b. c. d.答案d解析从编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球中随机取出4个，有c210(种)不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的设事件a为“取出球的编号互不相同”，则事件a包含了ccccc80(个)基本事件，所以p(a).故选d.6如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i1,2,3；j1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是()a. b.c. d.答案d解析从九个数中任取三个数的不同取法共有c84(种)，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有ccc6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1.7从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()a. b. c. d.答案d解析如图所示，从正六边形abcdef的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有a、b，a、c，a、d，a、e，a、f，b、c，b、d，b、e，b、f，c、d，c、e，c、f，d、e，d、f，e、f，共15种若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有a、d，b、e，c、f，共3种，故其概率为.8若a、b为互斥事件，p(a)0.4，p(ab)0.7，则p(b)_.答案0.3解析因为a、b为互斥事件，所以p(ab)p(a)p(b)，故p(b)p(ab)p(a)0.70.40.3.9(2016成都模拟)如右图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_答案0.3解析依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8921)(53x5)0，x7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率p0.3.1010件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是_答案解析从10件产品中取4件，共有c种取法，取到1件次品的取法为cc种，由古典概型概率计算公式得p.11设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3)(1)求事件“ab”发生的概率；(2)求事件“|a|b|”发生的概率解(1)由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共36种因为ab，所以m3n0，即m3n，有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事件ab发生的概率为.(2)由|a|b|，得m2n210，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为.12袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流