高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 双曲线试题 理 北师大版.doc

第九章 平面解析几何 9.7 双曲线试题 理 北师大版1双曲线定义平面内到两定点f1，f2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|f1f2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点f1，f2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|f1f2|时，p点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段a1a2叫作双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段b1b2叫作双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()1(教材改编)若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()a. b5c. d2答案a解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线y216x的准线交于a，b两点，|ab|4，则c的实轴长为()a. b2 c4 d8答案c解析设c：1.抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4，得a(4，)，b(4，)，|ab|24，a2，2a4.c的实轴长为4.3(2015安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()ax21 b.y21c.x21 dy21答案c解析由双曲线性质知a、b项双曲线焦点在x轴上，不合题意；c、d项双曲线焦点均在y轴上，但d项渐近线为yx，只有c符合，故选c.4(2016江苏)在平面直角坐标系xoy中，双曲线1的焦距是_答案2解析由已知，a27，b23，则c27310，故焦距为2c2.5双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于_答案解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是yx，即x2y0，则顶点到渐近线的距离d.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹方程例1已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_答案x21(x1)解析如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b.根据两圆外切的条件，得|mc1|ac1|ma|，|mc2|bc2|mb|，因为|ma|mb|，所以|mc1|ac1|mc2|bc2|，即|mc2|mc1|bc2|ac1|2，所以点m到两定点c1、c2的距离的差是常数且小于|c1c2|6.又根据双曲线的定义，得动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大，与c1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点m的轨迹方程为x21(x1)命题点2利用待定系数法求双曲线方程例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点m(0,12)；(3)经过两点p(3,2)和q(6，7)解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点m(0,12)，m(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线的标准方程为1.命题点3利用定义解决焦点三角形问题例3已知f1，f2为双曲线c：x2y22的左，右焦点，点p在c上，|pf1|2|pf2|，则cos f1pf2_.答案解析由双曲线的定义有|pf1|pf2|pf2|2a2，|pf1|2|pf2|4，则cosf1pf2.引申探究1本例中将条件“|pf1|2|pf2|”改为“f1pf260”，则f1pf2的面积是多少？解不妨设点p在双曲线的右支上，则|pf1|pf2|2a2，在f1pf2中，由余弦定理，得cosf1pf2，所以|pf1|pf2|8，所以|pf1|pf2|sin 602.2本例中将条件“|pf1|2|pf2|”改为“0”，则f1pf2的面积是多少？解不妨设点p在双曲线的右支上，则|pf1|pf2|2a2，由于0，所以，所以在f1pf2中，有|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即|pf1|2|pf2|216，所以|pf1|pf2|4，所以|pf1|pf2|2.思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|pf1|pf2|2a，运用平方的方法，建立与|pf1|pf2|的联系(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出的值即可(1)已知f1，f2为双曲线1的左，右焦点，p(3,1)为双曲线内一点，点a在双曲线上，则|ap|af2|的最小值为()a.4 b.4c.2 d.2(2)设f1，f2分别为双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，双曲线上存在一点p使得|pf1|pf2|3b，|pf1|pf2|ab，则该双曲线的离心率为()a. b.c. d.3答案(1)c(2)b解析(1)由题意知，|ap|af2|ap|af1|2a，要求|ap|af2|的最小值，只需求|ap|af1|的最小值，当a，p，f1三点共线时，取得最小值，则|ap|af1|pf1|，|ap|af2|的最小值为|ap|af1|2a2.故选c.(2)不妨设p为双曲线右支上一点，|pf1|r1，|pf2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)，故e，故选b.题型二双曲线的几何性质例4(1)(2016浙江)已知椭圆c1：y21(m1)与双曲线c2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为c1，c2的离心率，则()amn且e1e21 bmn且e1e21cmn且e1e21 dmn且e1e21(2)(2015山东)在平面直角坐标系xoy中，双曲线c1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线c2：x22py(p0)交于点o，a，b.若oab的垂心为c2的焦点，则c1的离心率为_答案(1)a(2)解析(1)由题意可得m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.(2)由题意，不妨设直线oa的方程为yx，直线ob的方程为yx.由得x22p x，x，y，a.设抛物线c2的焦点为f，则f，kaf.oab的垂心为f，afob，kafkob1，1，.设c1的离心率为e，则e21.e. 思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2016全国甲卷)已知f1，f2是双曲线e：1的左，右焦点，点m在e上，mf1与x轴垂直，sinmf2f1，则e的离心率为()a. b. c. d2答案a解析离心率e，由正弦定理得e.故选a.题型三直线与双曲线的综合问题例5(2016兰州模拟)已知椭圆c1的方程为y21，双曲线c2的左，右焦点分别是c1的左，右顶点，而c2的左，右顶点分别是c1的左，右焦点(1)求双曲线c2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b，且2(其中o为原点)，求k的取值范围解(1)设双曲线c2的方程为1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.故c2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线c2交于不同的两点，得k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23，由得k20)的离心率等于，直线ykx1与双曲线e的右支交于a，b两点(1)求k的取值范围；(2)若|ab|6，点c是双曲线上一点，且m()，求k，m的值解(1)由得故双曲线e的方程为x2y21.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.(*)直线与双曲线右支交于a，b两点，故即所以1k.故k的取值范围是k|1k(2)由(*)式得x1x2，x1x2，|ab|26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k，k，x1x24，y1y2k(x1x2)28.设c(x3，y3)，由m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)点c是双曲线上一点80m264m21，得m.故k，m.12直线与圆锥曲线的交点典例已知双曲线x21，过点p(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于a，b两点，且点p是线段ab的中点？错解展示现场纠错解设点a(x1，y1)，b(x2，y2)在双曲线上，且线段ab的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意设经过点p的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)x0.由题意，得1，解得k2.当k2时，方程可化为2x24x30.162480，b0)的焦距为10，点p(2,1)在c的一条渐近线上，则c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案a解析依题意解得双曲线c的方程为1.2(2016全国乙卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()a(1,3) b(1，)c(0,3) d(0，)答案a解析方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点m，使得()0(其中o为坐标原点)，且|，则双曲线的离心率为()a.1 b.c. d.1答案d解析，()()()0，即220，|c，在mf1f2中，边f1f2上的中线等于|f1f2|的一半，可得.|，可设|(0)，|，得()224c2，解得c，|c，|c，根据双曲线定义得2a|(1)c，双曲线的离心率e1.4(2016庐江第二中学月考)已知椭圆1(a1b10)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线1(a20，b20)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于()a. b1 c. d2答案b解析由ba1c1，得aca1c1，e1.由ba2c2，得caa2c2，e2.e1e21.5(2015课标全国)已知m(x0，y0)是双曲线c：y21上的一点，f1，f2是c的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()a. b.c. d.答案a解析由题意知a，b1，c，f1(，0)，f2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点m(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)的左焦点，点e是该双曲线的右顶点，过f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a、b两点，若abe是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()a(1，) b(1,2)c(1,1) d(2,1)答案b解析由题意易知点f的坐标为(c,0)，a(c，)，b(c，)，e(a,0)，abe是锐角三角形，0，即(ca，)(ca，)0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2)，故选b.7(2017江西新余一中调研)双曲线c：1(a0，b0)的右焦点f恰好是圆f：x2y24x30的圆心，且点f到双曲线c的一条渐近线的距离为1，则双曲线c的离心率为()a. b. c. d2答案c解析x2y24x30可化为(x2)2y21，故f(2,0)，即c2，点f到一条渐近线的距离为b，即b1，a，e.8(2016浙江)设双曲线x21的左，右焦点分别为f1，f2，若点p在双曲线上，且f1pf2为锐角三角形，则|pf1|pf2|的取值范围是_答案(2，8)解析如图，由已知可得a1，b，c2，从而|f1f2|4，由对称性不妨设p在右支上，设|pf2|m，则|pf1|m2am2，由于pf1f2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得1m3，又|pf1|pf2|2m2，22m28.9已知双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且|pf1|4|pf2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_答案解析由定义，知|pf1|pf2|2a.又|pf1|4|pf2|，|pf1|a，|pf2|a.在pf1f2中，由余弦定理，得cosf1pf2e2.要求e的最大值，即求cosf1pf2的最小值，当cosf1pf21时，得e，即e的最大值为.10(2015课标全国)已知f是双曲线c：x21的右焦点，p是c的左支上一点，a(0,6)当apf的周长最小时，该三角形的面积为_答案12解析设左焦点为f1，|pf|pf1|2a2，|pf|2|pf1|，apf的周长为|af|ap|pf|af|ap|2|pf1|，apf的周长最小即为|ap|pf1|最小，当a、p、f1在一条直线上时最小，过af1的直线方程为1，与x21联立，解得p点坐标为(2,2)，此时sapf12.11中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点f1，f2，且|f1f2|2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若p为这两曲线的一个交点，求cosf1pf2的值解(1)由已知c，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，则解得a7，m3.b6，n2，椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设f1，f2分别为左，右焦点，p是第一象限的一个交点，则|pf1|pf2|14，|pf1|pf2|6，|pf1|10，|pf2|4.又|f1f2|2，cosf1pf2. 12(2016湖北部分重点中学第一次联考)在面积为9的abc中，tanbac，且2，现建立以a点为坐标原点，以bac的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示 .(1)求ab，ac所在直线的方程；(2)求以ab，ac所在直线为渐近线且过点d的双曲线的方程；(3)过d分别作ab，ac所在直线的垂线df，de(e，f为垂足)，求的值解(1)设cax，则由tanbactan 2及为锐角，得tan 2，ac所在直线方程为y2x，ab所在直线方程为y2x.(2)设所求双曲线的方程为4x2y2(0)，c(x1，y1)，b(x2，y2)(x10，x20)由2，得d(，)点d在双曲线上，4()2()2，x1x2