高中数学 初高中衔接读本 专题3.1 二次函数的图像与性质高效演练学案.doc

第1讲 二次函数的图像与性质 二次函数是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式：一般式：yax2bxc(a0).顶点式：ya(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n).零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f (x)的零点.2.二次函数的图象和性质解析式yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象对称性函数的图象关于x对称3.二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。【高效演练】1. 抛物线 y ( x 2) 2 +3的顶点坐标是（）a. (2,3) b. (2,3) c. (2，3) d. (2，3)【解析】二次函数 y a ( x h ) 2 + k ( a 0)的顶点坐标是( h ， k )，所以y ( x 2) 2 +3的顶点坐标是(2，3)，故选：a.【答案】a2. 把抛物线 y x 2 向右平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（）a. y ( x 1) 2 +3 b. y ( x +1) 2 +3c. y ( x 1) 2 3 d. y ( x +1) 2 3【解析】根据二次函数的图象平移规律可知：把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：故选c.【答案】c3对于二次函数y=（x1）2+2的图象，下列说法正确的是（）a. 开口向下b对称轴是x=1c顶点坐标是（1，2） d与x轴有两个交点【解析】二次函数y=（x1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点故选：c【答案】c4已知反比例函数y=（a0），当x0时，它的图象y随x的增大而减小，那么二次函数y=ax2ax的图象只可能是（）a bc d5如图，平面直角坐标系中，点m是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点m是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）a0或2 b0或1 c1或2 d0，1或2【解析】分三种情况：点m的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点m的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点m的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0故方程x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2故选：d【答案】d6若抛物线y=2x2mxm的对称轴是直线x=2，则m=8【解析】由题意得，=2，解得m=8【答案】87. 已知抛物线 y ax 2 + bx + c ( a 0)的对称轴为直线 x 1，且经过点(1， y 1 )，(2， y 2 )，试比较 y 1 和 y 2 的大小： y 1 _ y 2 (填“”“”或“”)【解析】试题解析：二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，而1-（-1）=2，2-1=1，点（-1，y1）离对称轴的距离比点（2，y2）要远，y1y2【答案】8如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（1，0），（2，0），（0，2），则抛物线的对称轴是；若y2，则自变量x的取值范围是【解析】抛物线与x轴的交点坐标分别为（1，0），（2，0），对称轴为x=；抛物线与y轴的交点坐标分别为（0，2），对称轴为x=，抛物线还经过点（1，2），y2，则自变量x的取值范围是 0x1，【答案】x=，0x19.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？10.在数学拓展课上，小明同学根据学习函数的经验，对新函数y=x22|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下：【初步尝试】求二次函数y=x22x的顶点坐标及与x轴的交点坐标；【类比探究】当函数y=x22|x|时，自变量x的取值范围是全体实数，下表为y与x的几组对应值x3210123y3010103根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分；根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质【深入探究】若点m（m，y1）在图象上，且y10，若点n（m+k，y2）也在图象上，且满足y23恒成立，求k的取值范围【分析】利用配方法将y=x22x化为顶点式，即可求出顶点坐标，令y=0，解方程x22x=0，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标；类比探究：根据表中数据描点连线，即可画出该函数图象的另一部分；根据画出的函数图象，结合二次函数的性质即可写出该函数的两条性质；深入探究：根据图象可知y10时，2m2；y23时，m+k3或m+k3，根据不等式的性质即可求出k的取值范围【解析】【初步尝试】y=x22x=（x1）21，此抛物线的顶点坐标为（1，1）；令y=0，则x22x=0，解得x1=0，x2=2，此抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）；【类比探究】如图所示：函数图象的性质：1图象关于y轴对称；2当x取1或1时，函数有最小值1；【深入探究】根据图象可知，当y10时，2m2，当y23时，m+k3或m+k3，则k5或k5故k的取值范围是k5或k5【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键11. 【问题情境】已知矩形的面积为a（a为常数，a0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y=2（x+）（x0）【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+的图象性质（1）结合问题情境，函数y=x+的自变量x的取值范围是x0，下表是y与x的几组对应值x123my4322234写出m的值；画出该函数图象，结合图象，得出当x=1时，y有最小值，y最小=2；提示：在求二次函数y=ax2+bx+c（a0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到试用配方法求函数y=x+（x0）的最小值，解决问题（2）【解决问题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论【分析】（1）由题意可得m=4；根据图象所反映的特点写出即可；根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，进行配方即可得到最小值；（2）根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，进行配方得到y=2（）2+2 ，即可求出答案；【解析】（1）由题意m=4函数y=x+的图象如图：观察图象可知，当x=1时，函数y=x+（x0）的最小值是2 故答案为1，2y=x+=+2x0，所以 0，所以当x=1时，的最小值为0，函数y=x+（x0）的最小值是2（2）y=2（）2+2 =2（）2+4，当=时，y的