高考数学 第九章 第四节用样本估计总体课件 理.ppt

第四节用样本估计总体 1 统计图表的含义 1 频率分布表 含义 把反映 的表格称为频率分布表 频率分布表的画法步骤 第一步 求 决定组数和组距 组距 第二步 通常对组内数值所在区间取左闭右开区间 最后一组取闭区间 总体频率分布 全距 分组 第三步 登记频数 计算频率 列出频率分布表 2 频率分布直方图 能够反映样本的频率分布规律的直方图 3 频率分布折线图 将频率分布直方图中各相邻的矩形的 中点顺次连接起来 就得到频率分布折线图 4 总体密度曲线 如果将样本容量取地足够大 分组的组距足够小 则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线 即总体分布的密度曲线 上底边的 5 茎叶图的画法步骤第一步 将每个数据分为茎 高位 和叶 低位 两部分 第二步 将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列 写在左 右 侧 第三步 将各个数据的叶依次写在其茎的右 左 侧 即时应用 判断下列关于频率分布直方图和茎叶图的说法是否正确 请在括号中填写 或 从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势 从频率分布直方图得不出原始的数据内容 把数据表示成直方图后 原有的具体数据信息就被抹掉了 茎叶图一般左侧的叶从大到小写 右侧的叶按从小到大的顺序写 相同的数据可以只记一次 用茎叶图表示数据有两个优点 一是统计图上没有原始数据信息的损失 所有数据信息都可以从茎叶图中得到 二是茎叶图中的数据可以随时记录 随时添加 方便记录与表示 茎叶图只能表示两位有效数字的数据 解析 根据频率分布直方图的含义可知 都正确 茎叶图要求不能丢失数据 所以 不正确 正确 不正确 茎叶图能够记录三个或三个以上的有效数字的数据 只不过此时茎和叶的选择要灵活 答案 2 样本的数字特征 1 众数 一组数据中 的那个数据 叫做这组数据的众数 2 中位数 把n个数据按大小顺序排列 处于 位置的一个数据叫做这组数据的中位数 3 平均数 把称为a1 a2 an这n个数的平均数 出现次数最多 最中间 4 标准差与方差 设一组数据x1 x2 x3 xn的平均数为 则这组数据的标准差和方差分别是 即时应用 1 思考 在频率分布直方图中 如何确定中位数 提示 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积是相等的 2 某赛季 甲 乙两名篮球运动员都参加了11场比赛 他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示 则甲 乙两名运动员的中位数分别为 解析 根据中位数的含义及茎叶图可知 甲的中位数是19 乙的中位数是13 答案 19 13 3 已知一个样本为 1 3 4 a 7 它的平均数是4 则这个样本的标准差是 解析 由平均数是4 得 a 5 代入标准差的计算公式得s 2 答案 2 热点考向1统计图表的应用 方法点睛 常用统计图表的作用及不同频率分布表 频率分布直方图 茎叶图都是用来描述样本数据的分布情况的 茎叶图由所有样本数据构成 没有损失任何样本信息 可以随时记录 频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息 提醒 在画频率分布表或频率分布直方图分组时 取值区间两端点可根据数据分别向外延伸半个组距 例1 2012 福州模拟 某学校高三年级进行了一次模拟考试 为对数学成绩进行质量分析 从90分以上 含90分 的学生中抽取了一个容量为200的样本 分组统计后画出了频率分布直方图 如图 图中从左到右各小矩形的面积之比为10 23 46 85 31 5 1 求出图中最高小矩形的高度h 2 求出由左向右数第三个小组的频数 3 若130分 含130分 以上的成绩为优秀 根据所给频率分布直方图 以频率为概率 随机抽取一名学生的成绩 求成绩为优秀的概率 解题指南 1 频率分布直方图中小矩形的面积就是频率 根据各矩形的面积之和为1 求出最高矩形的面积后再求h 2 根据 频率 样本容量 来求频数 3 优秀率为130 140与140 150两部分的频率之和 规范解答 1 因为小矩形的面积就是频率 所以各小组频率之比为f1 f2 f3 f4 f5 f6 10 23 46 85 31 5 故可设f1 10k f2 23k f3 46k f4 85k f5 31k f6 5k 又因为10k 23k 46k 85k 31k 5k 1 则k 所以 2 由左向右数第三个小组的频数是 3 成绩优秀的概率是 反思 感悟 1 画频率分布直方图时要注意纵 横坐标轴的意义 频率分布直方图中小矩形的面积是该组数据的频率 2 频率分布直方图反映了样本的频率分布 1 在频率分布直方图中纵坐标表示频率 组距 2 频率分布表中频率的和为1 故频率分布直方图中各长方形的面积和为1 3 用样本的频率分布可以估计相应总体的概率分布 变式训练 从两个班中各随机地抽取10名学生 他们的数学成绩如下 画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况 解析 由茎叶图可知甲班成绩较分散 80分以上的很少 主要集中在70 80分这一分数段 乙班成绩较集中 主要集中在70 80分 80 90分两个分数段 所以乙班总体成绩优于甲班 变式备选 将容量为100的样本数据 按由小到大排列分成8个小组 如表 第3组的频率为 a 0 14 b c 0 03 d 解析 选a 第3组的频率为 热点考向2数字特征的应用 方法点睛 1 众数 中位数与平均数众数 中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量 其中平均数与每一个样本数据都有关 任何一个数据的改变都会引起平均数的变化 故平均数是最重要的 2 标准差与方差标准差与方差描述了一组数据与平均数的离散程度 反映了一组数据相对于平均数的波动情况 标准差与方差越大 说明这组数据的波动性越大 用样本的数字特征估计总体的数字特征时 样本容量越大 估计就越精确 例2 1 2012 陕西高考 从甲 乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机 对其销售额进行统计 统计数据用茎叶图表示 如图所示 设甲 乙两组数据的平均数分别为 中位数分别为m甲 m乙 则 a m甲 m乙 b m甲 m乙 c m甲 m乙 d m甲 m乙 2 某班有48名学生 在一次考试中统计出平均分为70分 方差为75 后来发现有2名同学的分数登错了 甲实得80分却记成了50分 乙实得70分却记成了100分 则更正后平均分和方差分别是 a 70 50 b 70 75 c 70 1 04 d 65 25 3 对甲 乙的学习成绩进行抽样分析 各抽5门功课 得到的观测值如下 问 甲 乙谁的平均成绩较好 谁的各门功课发展较平衡 规范解答 1 选b 观察茎叶图可知 甲组数据中的中位数是 18 22 20 乙组数据中的中位数是 27 31 29 m甲 m乙 故选b 2 选a 甲少记了30分 乙多记了30分 故更正后平均分仍为70分 设更正前48名学生成绩为x1 x2 x46 50 100 则由条件知 x1 70 2 x2 70 2 x46 70 2 50 70 2 100 70 2 75 48 更正后方差s2 x1 70 2 x2 70 2 x46 70 2 80 70 2 70 70 2 75 48 202 302 102 50 3 甲的平均成绩较好 乙的各门功课发展较平衡 互动探究 本例 2 中若另一个平行班级的平均分也是70分 方差是20 则这两个班级的学生的学习水平如何 解析 两个班级平均分相同 说明总体水平一样 但平行班级的方差小 说明平行班级的学生成绩差距不大 没有特别高分的 也没有特别低分的 反思 感悟 牢记样本数据的数字特征是正确求解的关键 各个数字特征只是反映了总体的某一方面的信息 应用时要综合考虑 尤其是平均数与方差 标准差 的作用在比较 决策时应用更广泛 变式备选 数据a1 a2 a3 an的方差为 2 则数据2a1 1 2a2 1 2an 1的方差为 a b 2 2 1 c 4 2 d 4 2 1 解析 选c 数据a1 a2 a3 an的方差为 2 平均数为则数据2a1 1 2a2 1 2a3 1 2an 1的平均数为方差 热点考向3统计与概率的综合应用 方法点睛 统计与概率的综合高考中 对统计知识的考查 往往与概率相结合 考查学生分析 使用统计图表的能力 抽样方法的操作 概率 尤其是古典概型 的求解 并进一步解决实际问题 在此类问题中 从统计图表中准确获取相关信息是解题关键 例3 某市从4月1日 4月30日对空气污染指数的监测数据如下 主要污染物为可吸入颗粒物 61 76 70 56 81 91 92 91 75 81 88 67 101 103 95 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 1 作出频率分布表 2 作出频率分布直方图 3 根据国家标准 污染指数在0 50之间时 空气质量为优 在51 100之间时 为良 在101 150之间时 为轻微污染 在151 200之间时 为轻度污染 请你依据所给数据和上述标准 对该市的空气质量给出一个简短评价 解题指南 首先根据题目中的数据完成频率分布表 作出频率分布直方图 根据污染指数 确定空气质量为优 良 轻微污染 轻度污染的天数 规范解答 1 频率分布表 2 频率分布直方图 3 答对下述两条中的一条即可 该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平 占当月天数的 有26天处于良的水平 占当月天数的 处于优或良的天数共有28天 占当月天数的 说明该市空气质量基本良好 轻微污染有2天 占当月天数的 污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天 加上处于轻微污染的天数 共有17天 占当月天数的 超过50 说明该市空气质量有待进一步改善 反思 感悟 1 在频率分布表中 频数的和等于样本容量 频率的和等于1 每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量 2 在频率分布直方图中 小矩形的高等于每一组的频率 组距 它们与频数成正比 小矩形的面积等于这一组的频率 变式训练 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生 将其数学成绩 均为整数 分成六段 40 50 50 60 90 100 后得到如下部分频率分布直方图 观察图形的信息 回答下列问题 1 求分数在 70 80 内的频率 并补全这个频率分布直方图 2 在统计方法中 同一组数据常用该组区间的中点值作为代表 据此估计本次考试的平均分 3 用分层抽样的方法在分数段为 60 80 的学生中抽取一个容量为6的样本 将该样本看成一个总体 从中任取2人 求至多有1人在分数段 70 80 的概率 解析 1 分数在 70 80 内的频率为 1 0 010 0 015 0 015 0 025 0 005 10 1 0 700 0 300 故如图所示 2 平均分为 45 0 1 55 0 15 65 0 15 75 0 3 85 0 25 95 0 05 71 3 由题意 60 70 分数段的人数为 0 15 60 9人 70 80 分数段的人数为 0 3 60 18人 在 60 80 的学生中抽取一个容量为6的样本 60 70 分数段抽取2人 分别记为m n 70 80 分数段抽取4人 分别记为a b c d 设从样本中任取2人 至多有1人在分数段 70 80 为事件a 则基本事件空间包含的基本事件有 m n m a m b m c m d c d 共15种 则事件a包含的基本事件有 m n m a m b m c m d n a n b n c n d 共9种 1 2012 江西高考 样本 x1 x2 xn 的平均数为 样本 y1 y2 ym 的平均数为 若样本 x1 x2 xn y1 y2 ym 的平均数 1 其中0 则n m的大小关系为 a n m b n m c n m d 不能确定 解析 选a 由已知得x1 x2 xn n y1 y2 ym m 整理得 m 1 n 0 m 1 n 0 即 又 0 0 1 1 n m 2 2012 湖北高考 容量为20的样本数据 分组后的频数如下表 则样本数据落在区间 10 40 的频率为 a 0 35 b 0 45 c 0 55 d 0 65 解析 选b 数据落在区间 10