高三数学一轮复习 3.7正弦定理和余弦定理课件 .pptVIP

第七节正弦定理和余弦定理 知识梳理 1 正弦定理与余弦定理 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 2rsina 2rsinb 2rsinc a b c 2 在 abc中 已知a b和a时 解的情况 一解 两解 一解 一解 无解 考点自测 1 思考 给出下列命题 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 在 abc中 若sina sinb 则a b 在 abc的六个元素中 已知任意三个元素可求其他元素 正弦定理对钝角三角形不成立 在 abc中 其中正确的是 a b c d 解析 选c 错误 由正弦定理知a b c sina sinb sinc 正确 由正弦定理知sina sinb 由sina sinb得a b 即a b 错误 当已知三个角时不能求三边 错误 正弦定理对任意三角形都成立 正确 由正弦定理结合比例的性质可证明 2 已知 abc的三个内角之比为a b c 3 2 1 那么对应的三边之比a b c a 3 2 1b 2 1c 1d 2 1 解析 选d 由a b c 3 2 1及a b c 180 可解得a 90 b 60 c 30 所以a b c sina sinb sinc 1 即a b c 2 1 3 在 abc中 a 15 b 10 a 60 则cosb等于 解析 选d 因为所以所以sinb 又因为a b a 60 所以b 60 所以cosb 4 在 abc中 a b c分别为角a b c所对的边 若a 2bcosc 则此三角形一定是 a 等腰直角三角形b 直角三角形c 等腰三角形d 等腰三角形或直角三角形 解析 选c 因为a 2bcosc 所以由余弦定理得 a 整理得b2 c2 则此三角形为等腰三角形 5 2014 金华模拟 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若sina sinc b 30 b 2 则边c 解析 依题意得 sina sinc 即a c 根据余弦定理可得b2 a2 c2 2accosb 即4 3c2 c2 2c2 解得c 2 答案 2 6 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 若b2 c2 a2 bc 0 则a 解析 由b2 c2 a2 bc 0得b2 c2 a2 bc 所以cosa 所以a 60 答案 60 考点1正弦定理的简单应用 典例1 1 在 abc中 a 60 a b 2 那么满足条件的 abc a 有一个解b 有两个解c 无解d 不能确定 2 2014 丽水模拟 如图 在 abc中 ab ac 2 bc 2 点d在bc边上 adc 75 则ad的长为 3 在 abc中 a b c分别是三个内角a b c的对边 若a 2b 则cosb 解题视点 1 通过具体计算的方法或数形结合的方法求解 2 根据等腰三角形三线合一的性质求出角b 再利用正弦定理求解 3 由两边之比联想用正弦定理 化为两角的正弦值之比 再利用二倍角公式化简 规范解答 1 选a 方法一 因为又a 60 且a b 所以b 60 故b 45 所以有一个解 方法二 结合草图 因为a 60 a b 2所以a b 故三角形有一个解 2 过点a作ae bc 垂足为e 则在rt abe中 故b 30 在 abd中 adb 180 adc 180 75 105 由正弦定理得答案 3 由正弦定理得又a 2b 所以所以cosb 答案 互动探究 把本例 3 条件改为 在锐角 abc中 a b c分别是三个内角a b c的对边 a 2b 试求的取值范围 解析 由正弦定理得因为 abc是锐角三角形 所以所以即所以所以即的取值范围是 易错警示 注意角的范围的确定本例 互动探究 由 abc是锐角三角形判断角b的范围时 要注意应保证三个内角都是锐角 否则易出现范围过大的情况 规律方法 1 正弦定理的应用技巧 1 求边 利用公式或其他相应变形公式求解 2 求角 先求出正弦值 再求角 即利用公式或其他相应变形公式求解 3 相同的元素归到等号的一边 即可应用这些公式解决边或角的比例关系问题 2 判断解的个数的两种方法 1 代数法 根据大边对大角的性质 三角形内角和公式 正弦函数的值域等判断 2 几何图形法 根据条件画出图形 通过图形直观判断解的个数 提醒 利用正弦定理解三角形时 要注意解的个数的判断 变式训练 已知在 abc中 a x b 2 b 45 若三角形有两解 则x的取值范围是 a x 2b x2且xsin45 2 所以2 x 2 加固训练 1 在 abc中 a 10 b 60 c 45 则c等于 a 10 b 10 1 c 1d 10 解析 选b a 180 b c 180 60 45 75 由正弦定理 得 2 在 abc中 若b 2a a b 1 则a 解析 因为a b 1 所以sina sinb 1 即sina sin2a 1 所以cosa 故a 30 答案 30 考点2余弦定理的应用 典例2 1 2013 青岛模拟 已知锐角三角形的边长分别为1 3 a 则a的取值范围是 a 8 a 10b 2 a c 2 a 10d a 8 2 2013 安徽高考 设 abc的内角a b c所对边的长分别为a b c 若b c 2a 3sina 5sinb 则角c 解题视点 1 根据锐角三角形三边关系 并结合余弦定理求解 2 将条件统一为边 然后把三边用一个量表示 最后根据余弦定理求解 规范解答 1 选b 若a是最大边 则所以3 a 若3是最大边 则所以2 a 3 当a 3时符合题意 综上2 a 故选b 2 选b 由题设条件可得 由余弦定理 得所以 规律方法 1 利用余弦定理解三角形的步骤 2 利用余弦定理解三角形的注意事项 1 余弦定理的每个等式中包含四个不同的量 它们分别是三角形的三边和一个角 要充分利用方程思想 知三求一 2 已知三边及一角求另两角的两种方法 利用余弦定理的推论求解 虽然运算较复杂 但较直接 利用正弦定理求解 虽然比较方便 但需注意角的范围 这时可结合 大边对大角 大角对大边 的法则或图形帮助判断 变式训练 2014 温州模拟 在 abc中 a 2 b 2 c 45 则a 解析 由余弦定理得c2 a2 b2 2ab cosc 4 2 2 2 2 2 cos45 4 故c 2 因此a c 故a c 45 答案 45 加固训练 1 在 abc中 若a c 2 b 120 则边b 解析 选b 由余弦定理可得b2 a2 c2 2accosb 4 4 2 2 2 12 所以b 2 2 在 abc中 c 60 a b c分别为角a b c的对边 则 解析 因为c 60 所以a2 b2 c2 ab 所以a2 b2 ab c2 等式两边都加上ac bc 整理得 a2 ac b2 bc b c a c 所以答案 1 考点3正 余弦定理的综合应用 考情 正 余弦定理的应用很广泛 也比较灵活 在高考中三种题型都有可能出现 主要考查边角的计算 三角形形状的判断等问题 高频考点通关 典例3 1 2013 陕西高考 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若bcosc ccosb asina 则 abc的形状为 a 直角三角形b 锐角三角形c 钝角三角形d 不确定 2 2013 山东高考 abc的内角a b c的对边分别是a b c 若b 2a a 1 b 则c a 2b 2c d 1 解题视点 1 利用正弦定理将边的关系化为角的关系来判断三角形的形状 2 根据角的关系结合正弦定理求出角a 然后求出角b c后再求解 规范解答 1 选a 因为bcosc ccosb asina 所以由正弦定理得sinbcosc sinccosb sin2a 所以sin b c sin2a sina sin2a sina 1 即a 所以三角形abc是直角三角形 2 选b 由b 2a 则sinb sin2a 由正弦定理知即所以cosa 所以所以c b a 所以c2 a2 b2 1 3 4 故c 2 通关锦囊 特别提醒 在判断三角形的形状时 注意等式两边的公因式不要约掉 要移项提取公因式 否则会有漏掉一种情况的可能 关注题型 通关题组 1 2012 湖北高考 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若三边的长为连续的三个正整数 且a b c 3b 20acosa 则sina sinb sinc为 a 4 3 2b 5 6 7c 5 4 3d 6 5 4 解析 选d 由题意知 a b 1 c b 1 所以3b 20acosa 整理得 7b2 27b 40 0 解得b 5或b 舍去 可知 a 6 c 4 结合正弦定理可知答案 2 2014 衢州模拟 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若acosb bcosa csinc b2 c2 a2 bc 则角b 解析 由b2 c2 a2 bc 得所以a 30 由正弦定理得sinacosb sinbcosa sincsinc 即sin a b sincsinc sinc 解得sinc 1 sinc 0舍去 所以c 90 所以b 60 答案 60 3 2014 金华模拟 在 abc中 sin2a sin2b sin2c sinbsinc 则a的取值范围是 解析 因为sin2a sin2b sin2c sinbsinc 所以由正弦定理得a2 b2 c2 bc 即b2 c2 a2 bc 故cosa 又a 0 故0 a 答案 0 a 加固训练 1 2014 嘉兴模拟 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 满足 1 求角c 2 求的取值范围 解析 1 化简得a2 b2 c2 ab 所以 2 2014 长沙模拟 在 abc中 a b c分别为内角a b c的对边 求证 证明 方法一 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa b2 a2 c2 2accosb 所以a2 b2 b2 a2 2bccosa 2accosb 整理 得由正弦定理 得即 方法二 右边 故 规范解答4 正 余弦定理在三角形中的应用 典例 14分 2013 江西高考 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 已知cosc cosa sina cosb 0 1 求角b的大小 2 若a c 1 求b的取值范围 审题 分析信息 形成思路 解题 规范步骤 水到渠成 1 在 abc中 因为a b c 所以 cos a b cosacosb sinacosb 0 3分即sinasinb sinacosb 0 因为sina 0 所以sinb cosb 0 5分cosb 0 所以tanb 又0 b 所以b 7分 2 由余弦定理 有b2 a2 c2 2accosb 因为a c 1 cosb 所以c 1 a 代入上式整理得 11分又因为c 1 a 由0 c 1得0 a 1 所以 b2 1 即 b 1 综上 b的取值范围是 1 14分