高中数学 专题1.2.1 函数的概念视角透析学案 新人教A版必修1.doc

1.2.1 函数的概念【双向目标】课程目标学科素养a.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念b.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数c.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)a数学抽象：数学集合概念的理解、描述法表示集合的方法b逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用c数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算d 直观想象：利用数轴表示数集、集合的图形表示e 数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类【课标知识】知识提炼基础过关 知识1：函数的概念一般地，设a，b是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：ab为从集合a到集合b的一个函数，记作yf(x)，xa，其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,其集合f(x)|xa叫做函数的值域 知识2:函数的表示方法(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法(2)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系的方法(3)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法 知识3：构成函数的三要素(1)函数的三要素是：定义域、对应关系、值域； (2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等 知识4：分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数 知识5：映射的概念一般地，设a，b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：ab为从集合a到集合b的一个映射 知识6：复合函数一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)，其中yf(u)叫做复合函数yf(g(x)的外层函数，ug(x)叫做yf(g(x)的内层函数1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数f：ab，其值域是集合b.( )(2)函数y()2与y是同一个函数( )(3)定义域与值域均相同的两个函数是相等函数( )(4)分段函数不是一个函数，而是多个函数( )(5)若ar，bx|x0，f：xy|x|，其对应是从a到b的映射( )2.函数f(x)lnx的定义域为 ()a(0，) b(1，)c(0，1) d(0，1)(1，)3.设f(x)则f(f(2)等于( )a1 b.c.d.4.(2015全国卷)设函数f(x)则f(2)f(log212)( )a3 b6 c9 d125.(2015全国卷)已知函数f(x)ax32x的图象过点(1，4)，则a_.6.设函数f(x)x33x21.已知a0，且f(x)f(a)(xb)(xa)2，xr，则实数a_，b_. 基础过关参考答案：41. 【解析】 (1)错误值域是集合b的子集 【答案】b3.【解析】因为20，所以f(f(2)f11.故选c.【答案】c4.【解析】解：由条件得f(2)1log243，因为log2121，所以f(log212)2(log212)12log266，故f(2)f(log212)9.故选c.【答案】c5.【解析】由题意知点(1，4)在函数f(x)ax32x的图象上，所以4a2，则a2.故填2.【答案】26.【解析】因为f(x)f(a)x33x2a33a2，(xb)(xa)2(xb)(x22axa2)x3(2ab)x2(a22ab)xa2b，所以 解得a2，b1.【答案】2；1.【能力素养】探究一 求函数的定义域函数定义域即自变量的取值范围，是研究函数的首要考虑因素。 例1函数f(x)lg的定义域为( )a(2，3) b(2，4c(2，3)(3，4 d(1，3)(3，6【分析】确定函数的定义域首先根据所给的函数解析式特点（即包含的运算）来建立不等式，求解； 【答案】 c【点评】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数yf(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等若已知函数yf(x)的定义域为a，b，则函数yf(g(x)的定义域由不等式ag(x)b解出【变式训练】1函数f(x)log2(x22x3)的定义域是( )a3,1 b(3,1) c(，31，) d(，3)(1，)【解析】 要使函数有意义，只需x22x30，即(x3)(x1)0，解得x1.故函数的定义域为(，3)(1，)【答案】 d2.若函数f(x)的定义域为r，则a的取值范围为_【解析】因为函数f(x)的定义域为r，所以2x2+2ax - a10对xr恒成立，则x22axa0恒成立因此有(2a)24a0，解得1a0.故填1，0【答案】1，0 3.若函数yf(x)的定义域是1，2 019，则函数g(x)的定义域是_【解析】因为yf(x)的定义域为1，2 019，所以g(x)有意义，应满足 所以0x2 018，且x1.因此g(x)的定义域为x|0x2 018，且x1故填x|0x2 018，且x1【答案】x|0x2 018，且x1 探究二 求函数的值域求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握例2：求下列函数的值域：(1)y； (2)y2x； (3)y2x； (4)y； (5)若x，y满足3x22y26x，求函数zx2y2的值域；(6)f(x). (2)(代数换元法) 令t(t0)，所以x1t2，所以y2(1t2)t2t2t22.因为t0，所以y，故函数的值域为.(3)(三角换元法) 令xcost(0t)，所以y2costsintsin(t).因为0t，所以t，所以sin()sin(t)1,故函数的值域为2，(4)解法一：(不等式法) 因为y(x1)，又因为x1时，x10，x1时，x10，所以当x1时，y(x1)24，且当x3，等号成立；当x0，所以t1. (3)在f(x)2f1中，用代替x，得f2f(x)1，由得f(x).【答案】 (1)lg(x1) (2)x2x(xr) (3)【点评】求函数解析式的四种常见方法1待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法2换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围3配凑法：由已知条件f(g(x)f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式4.消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 【变式训练】1已知f(1)x2，则f(x)_.【解析】(换元法)令1t，则x(t1)2(t1)，代入原式得f(t)(t1)22(t1)t21，所以f(x)x21(x1)故填x21(x1) 【答案】x21(x1) 2.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.【解析】(待定系数法)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)ax5ab，所以ax5ab2x17对任意实数x都成立，所以 解得 所以f(x)2x7.故填2x7.【答案】2x7. 3.已知fx2，则f(x)_.【解析】(配凑法)fx222，所以f(x)x22(|x|2)故填x22(|x|2)【答案】x22(|x|2)4已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_.【解析】 以代替x得2ff(x)，由得f(x)2x(x0)【答案】 2x(x0)探究四 分段函数分段函数是高考的热点，考查方向主要是：（1）根据分段函数的解析式求函数值；（2）已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)。例4：（1）(2015全国卷)设函数f(x)则f(2)f(log212)( )a3 b6c9 d12 【答案】 c（2）设函数f(x)若f4，则b( )a1 b.c. d.【解析】 f3bb，若b，则3b4b4，解得b，不符合题意，舍去；若b1，即b，则2b4，解得b.【答案】 d【点评】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如f(f(x0)的求值问题时，应从内到外依次求值(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围【变式训练】1.设f(x)则f(f(2)( )a1 b. c. d.【解析】 因为20，所以f11.【答案】 c2设函数f(x)若f(f(a)2，则a_.【解析】 若a0，则f(a)a20，f(f(a)a42a222，得a.若a0，则f(a)a22a2(a1)210，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解【答案】 3(2014全国卷)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_ 【答案】 (，84设函数f(x)若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_【解析】 f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a)2时，得f(a)2，而满足f(a)2时，得a. 【答案】 (，【课时作业】课标 素养数学抽象逻辑推理数学运算直观想象数学建模数据分析a2,61,2,3,4,2,43b7,8,9,105,6,7,85,6,7,8,1310,9,13c11,14,15,1610,12,14,15,1610,11,12,14,15,16一、选择题1(2016全国卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lgx的定义域和值域相同的是( )ayx bylgx cy2x dy【解析】函数y10lgx的定义域、值域均为(0，)，而yx，y2x的定义域均为r，排除a，c；ylgx的值域为r，排除b.故选d.【答案】d2有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数； 函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数； 若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确的有( )a1个 b2个 c3个 d4个系均相同，所以是同一函数，正确；对于，由于f0，所以ff(0)1，错误综上可知，正确的判断是.故选b.【答案】b3设mx|2x2，ny|0y2，函数yf(x)的定义域为m，值域为n，则yf(x)的图象可以是( ) 【解析】a项定义域为2，0，d项值域不是0，2，c项对定义域中除2以外的任一x均有两个y与之对应，故a，c，d均不符合条件故选b.【答案】b4函数y的定义域为( )a(，2) b(2，)c(2,3)(3，) d(2,4)(4，)【解析】 由题意知即故c正确【答案】 c5设全集为r，函数f(x)ln 的定义域为m，则rm( )a(1,1) b(，1)(1，)c(，11，) d1,1 【答案】 c6已知函数f(x)xlog21，则ff的值为( )a2 b2 c0 d2log2【解析】 flog2，flog23，所以ff2.【答案】 a7已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于( )a3 b1 c1 d3【解析】 因为f(1)212，且f(a)f(1)0，所以f(a)2.因为x0时，f(x)1，所以a0，所以f(a)a12，解得a3.【答案】 a8.已知函数f(x) 若f(a)5，则a的取值集合为( )a2，3，5 b2，3 c2，5 d3，5【解析】令3log2(a1)5，得a5，令a2a15，得a3(舍)或a2，故a2，5或由f(2)(2)2(2)15，f(3)3log224，f(5)3log245，所以排除a，b，d.故选c.【答案】 c9根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(a，c为常数)已知该工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时15分钟，那么c和a的值分别是( )a75,25 b75,16 c60,25 d60,16【解析】 因为组装第a件产品用时15分钟，所以15， 所以必有4a且30， 联立得c60，a16.【答案】 d10已知函数f(x)则f(x)f(x)1的解集为( )a(，1)(1，) b.(0,1c(，0)(1，) d.(0,1) 此时，f(x)x1，f(x)(x)1x1，f(x)f(x)1化为2x21. 解得x，所以0x1.综上，x(0,1【答案】 b11若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是_【解析】 由02x2，得0x1，又x10，即x1，所以0x0时，由题意得(x1)21，解得0x2.综上，f(x)1的解集为x|4x2故填x|4x2【答案】x|4x2 13.设o为坐标原点，给定一个定点a(4