线性泛函分析.doc

线性泛函分析泛函分析的主要工作在于对积分方程而不是对变分法提供一个抽象的理论 变分法领域里所需泛函的性质是相当特殊的，对一般的泛函并不成立此外，这些泛函的非线性造成了困难，而这种困难对于包含在积分方程中的泛函和算子则是无关紧要的在Schmidt，Fischer，Riesz为积分方程解的理论作具体推广时，他们和其他一些人也同时开始了相应的抽象理论的研究第一个试图建立线性泛函和算子的抽象理论的，是美国数学家EHMoore，他从1906年开始这一工作 Moore认识到，在有限多个未知数的线性方程的理论、无限多个未知数的无限多个线性方程的理论、以及线性积分方程的理论之间，有许多共同的地方他因此着手建立一种称为“一般分析”(Generl Analysis)的抽象理论，它包含上述具体理论作为特殊情形他用的是公理方法我们将不叙述其细节，因为他的影响并不广，而且电没有获得很有效的方法另外，他的符号语言很奇怪，使以后的人理解起来很困难在建立线性泛函和算子的抽象理论的过程中，第一个有影响的步骤是由Erhard Sohmidt和Frechet在1907年采取的Hilbert在他的积分方程的工作中，曾经把一个函数看成是由它相应于某标准正交函数系的Fourier系数给定的这些系数以及在他的无穷多个变量的二次型理论中他所赋予这些xi的值，都是使成为有限的序列xn然而，Hilbort并没有把这些序列看成空间中点的坐标，也没有用几何的语言，这一步是由Schmidt 和Frechet采取的 把每一个序列x。看成一个点，函数就被表现为无穷维空间的点Sohmidt不仅把实数而且把复数引入序列x0中这样的空间从此以后被称为Hilbort空间我们的叙述 按照Schmidt的工作 Schmidt的函数空间的元素是复数的无穷序列zzn，使得Schmidt引入记号；后来就称为z的范数(norm)按照Hilbert，Sehmidt用记号(现在通用的记号是把空间中两个元素z和称为正交的，当且仅当 Schmidt；接着证明了广义的Pythagoras定理：如果z1， z2， ，zn是空间的n个两两正交的元素，则由 知由此可推出n个两两正交的元素是线性无关的Schrnidt在他的一般空间中还得到了Bessel不等式：如果zn是标准正交元素的无穷序列，即是任何一个元素，那末 此外，还证明了范数的Schwarz不等式和三角不等式元素序列zn称为强收敛于z，如果趋向于0，而每个强Cauehy序列，即每个使趋于0 (当p，q趋于0时)的序列，可以证明都收敛于某一元素z，从而序列空间是完备的这是一条非常重要的性质Schmidt接着引进了(强)闭子空间的概念他的空间H的一个子集A称为闭子空间，如果在刚才定义的收敛的意义下它是闭子集，并且是代数封闭的，后者意指，如果1与2是A的元素，那末也是A的元素，其中a1，a2是任何复数可以证明这样的闭子空间是存在的，这只需取任何一个线性无关的元素列zn，并取zn中元素的所有有限线性组合全体这些元素的闭包就是一个代数封闭的子空间现在，设A是任一固定的闭子空间Schmidt首先证明，如果z是空间的任一元素，则存在唯一的元素1和2，使得z1+2，其中1属于A， 2和A正交，后者是指2和A的每个元素正交(这个结果，今天称为投影定理；1就是z在A中的投影)进一步， 其中y是A的变动元素，而且极小值只在称为z和A之间的距离在1907年，Schmidt和Frechet同时注意到，平方可和(Lebesgue可积) 函数的空间有一种几何，完全类似于序列的Hilbert空间 这个类似性的阐明是在几个月之后，当时Riesz运用在Lebesgue平方可积函数与平方可和实数列之间建立一一对应的Riesz-Fischer定理指出，在平方可和函数的集合L2中能够定义一种距离，用它就能建立这个函数空间的一种几何 L2中，定义在区间a， b上的任何两个平方可积函数之间的距离这个概念，事实上也是Frechet定义的，他把它定义为(1) 其中积分应理解为Lebesgue意义下的；并且两个函数只在一个0测集上不同时就认为是相等的距离的平方也称为这两个函数的平均平方偏差f和g的内积定义为 使(f，g) = 0的两个函数f与g称为是正交的Schwarz不等式 以及对平方可和序列空间成立的其他性质，都适用于函数空间特别是，这类平方可和函数形成一个完备的空间这样，平方可和函数的空间，同这些函数相应于某一固定的完备标准正交函数系的Fourier系数所构成的平方可和序列的空间，可以认为是相同的在提到抽象函数空间时，我们应重提一下Riesz引入的空间Lp(1p)这些空间对度量也是完备的 虽然我们很快就要考察抽象空间领域中的其他成就，但下一发展涉及泛函和算子在刚才引述的对空间L2的函数引进了距离的1907年的文章中，以及在同年的其他文章中， Frechet证明了，对于定义在L2的每一个连续线性泛函U(f)，存在L2中唯一的一个u(x)，使得对L2的每个f都有 这推广了Hadamard 1903年得到的一个结果1909年Riesz推广了这个结果，用Stieltjes积分表示U(f)，也就是 Riesz自己还把这个结果推广到满足下面条件的线性泛函A:对Lp中所有的f其中M只依赖于A这样，存在Lq中的一个函数a(x)，在允许相差一个积分为0的函数的意义下是唯一的，使得对Lp中所有的f(2) 这个结果称为Riesz表示定理。泛函分析的中心部分是研究在微分方程和积分方程中出现的算子的抽象理论这个理论统一了微分方程和积分方程的特征值理论以及作用在n维空间中的线性变换这样的一个算子，例如 (其中k是给定的)，把f变到g并且满足某些附加条件算子的符号A和符号g = Af的表示法之下，线性是指(3) 其中是任何实常数或复常数不定积分和微商f(x)Df(x)，对通常的函数类来说，就是线性算子算子A的连续性是指，如果函数序列fn按函数空间的极限意义收敛到f，那末Afn必然趋向于Af带对称核K(x，y)的积分方程的抽象推广是算子A的自伴性如果对于任何两个函数f1，f2，都有 其中(Af1， f2)表示空间中两个函数的内积或数量积，那末称A为自伴的在积分方程的情形，如果则 因而只要核是对称的就有(Af1，f2) = (f1，Af2)对任意的自伴算子，特征值都是实的，而且对应于不同特征值的特征函数是互相正交的作为泛函分析核心的抽象算子理论的一个良好开端，是由Riesz1910年发表在数学年刊的文章中做出的，文中他引进了Lp空间在那里他把积分方程 的解推广到Lp空间中的函数Riesz把表达式 设想为作用在函数上的变换 他称之为泛函变换，记为T然而，由于Riesz所处理的是属于Lp空间的，所以变换就把函数变到同一或另一空间去特别地，一个把Lp中的函数变为Lp中的函数的变换或算子，称为在Lp中是线性的，如果它满足(3)并且如果T是有界的；这就是说，存在一个常数M，使得对Lp中所有满足 1的函数f都有 Mp后来这种M的最小上界称为T的范数(norm)，用表示 Riesz还引进了T的伴随或转置算子的概念 对Lq中任何一个g和作用在Lp中的T，(4) 对固定的g与在Lp中变动的f定义了Lp的一个泛函因此由Riesz表示定理，存在Lq中的一个函数(x)，在差一个积分为0的函数外是唯一的，使得(5) T的伴随或转置算子用表示，现在就定义为Lq中这样的算子:它对固定的T只与g有关，并根据等式(5)把g对应于，也就是说，(用近代的记号，是Lq中的线性变换，而且Riesz现在考虑方程(6) 的解，其中T是Lp中的线性变换，f己知而是末知的他证明(6)有一个解当且仅当1/对Lq中所有的g都成立他由此引入逆变换或逆算子T-1的概念，并把完全一样的思想引到T-1借助于伴随算子，他证明了逆算于的存在性Riesz在他1910年的文章中引进了记号(7) 其中K现在表示表示受K作用的一个函数他的补充的结果是限于L2的在其中有为了处理积分方程的特征值问题，他引入了Hilbert的全连续的概念，但现在是对抽象算子说的 L2中的个算子K称为是全连续的，如果正把每一个弱收敛的函数序列映为强收敛的序列，也就是说，fn弱收敛蕴含K(fn)强收敛他曾证明(7)的谱是离散的(这就是说，不存在刘称K的连续谱)，并证明相应于不同特征值的特征函数是正交的应用范数概念作为研究抽象空间的另一种方法也是由Riesz开始的然而，赋范空间的一般定义却是在1920到1922年间由Stefan Banach (18921945)、Hans Hahn(18791934)、Eduard Helly (18841943)和Norbert Wiener (18941964)给出的 虽然这些人的工作有许多是重迭的，并且优先权的问题也很难弄清，但要算Banach的工作影响最大他的动力来自积分方程的普遍化所有这些工作，特别是Banach的工作，主要特点是要建立具有范数的空间，但这范数却不再用内积来定义虽然在L2中 但是不可能这样来定义Banach空间的范数，因为内积不再是可用的了Banach从空间E出发，用x， y，z，表示E中的元素，而用a， b，c， 表示实数。他的空间的公理分成三组第一组包含十三条公理，说明E在加法下是一个交换群，与实数进行数乘是封闭的，实数与元素的各种运算满足熟知的一组结合律和分配律第二组公理刻划E中元素(向量)的范数范数是定义在E上的实值函数的，用表示，对于任一实数x和E中的任x，范数具有下列性质：(a) 0；(b) = 0当且仅当x = 0 ；(c ) (d) 第三组只包含一个完备性公理；它说: 如果xn对范数来说是一Canchy序列，即如果则存在E中一个元素x， 使得满足上述三组公理的空间称为Banach空间，或完备的赋范向量空间虽然Banach空间是较Hilbert空间更为一般的， 因为在定义范数时投有事先假设两个元素的内积存在，然而作为一个必然的后果却是，在非Hilbert空间的Banach空间中失却了两个元素正交这一关键性概念第一和第三组条件对Hitbert空间也成立，但第二组条件却较Hilbert空间范数的要求为弱Banach空间包括Lp空间，连续函数空间，有界可测函数空间，以及其他具有合适范数可用的空间有了范数的概念，Banach能够对他的空间证明许多人们熟悉的事实关键定理之一是：设xn是E中的一序列元素，满足条件 则按范数收敛到E的某个元素x在证明了一些定理之后，Banach考虑定义在一个空间上而取值在另一个Banach空间E1中的算子一个算子F称为在x。处相对于集合A是连续的，如果f(x)对A的所有x有定义，并且x。属于A和A的导集， 而且当xn是A中以x。为极限的序列时，则F(xn)趋向F(x0)他还定义了F相对于集合止的一致连续性， 然后把他的注意回到算子序列算子序列Fn称为在集合A上按范数收敛到F，如果对于A中每一个x都有Banaoh引进的一类重要的算于是连续的加法算子一个算子F是加法的，如果对所有的x和y都有F(x+y)F(x)十F(y)可以证明，一个加法的连续算子具有性质：F(ax)aF(x)对一切实数a都成立。如果F是加法的，并且在E的一个元素(点)处连续，那末它处处连续并且是有界的，即存在只依赖于F的常数M，使对E中一切x成立另外一个定理断言：如果Fn是加法连续算子序列，又F是一个加法算子，使得对每个x都有则F是连续的，并且存在M，使得M对所有的n成立在这篇文章中，Banach证明了关于积分方程抽象形式的解的定理如果F是定义域和值域都在空间E内的连续算子，又如果存在一个数M， 0 M1，使得对所有E中的x与x都有M 那末存在E中唯一的一个元素x，满足F(x)x更重要的是下述定理：考虑方程(8) x + hF(x) = y，其中y是e中的一个已知函数，F是定义域和值域都在E内的加法连续算子，h是一个实数令M是所有满足M(对所有x)的常数M，的最小上界那么对每一个y和每一个满足1的h值，存在一个函数x满足(8)，并且 ，其中F(n)(y)F(F(n-1)(y)这个结果是谱半径定理的一种形式，并且是Volterra解积分方程方法的推广Banach在1929年引进广泛函分析这一学科的另一个重要概念，这就是一个Banach空间的对偶空间或伴随空间 这个思想也由Rahn独立地引进过，但Banach的工作更完全这种对偶空间就是已知空间上的全体连续有界线性泛函组成的空间这泛函空间的范数取为泛函的界，可以证明这空间是完备的赋范线性空间，即Banach空间实际上，这里Banach的工作推广了Riesz关于Lp与Lq空间的工作，其中qp(p一1)，因为Lq空间等价于Lp空间在Banach意义下的对偶空间用Riesz表示定理(2)，把Banach的工作和这联系起来是很明显的换句话说，Banach空间E和它的对偶空间的关系，就象Lp和Lq的关系一样Banach从连续线性泛函(即定义域是空间E的连续实值函数)的定义着手，并证明每一个这样的泛函是有界的一个关键性的定理是今天所谓的Hahn-Banach定理，这推广了Hahn的工作中的一个定理设p是定义在一个完备的赋范线性空间R上的一个实值泛函，并且p对R中的所有x与y满足条件： (a) p(x+y)p(x)+p(y)； (b) 0)这时就存在R上的一个加法泛函f，使得 -p(-x) f(x) p(x) ，对只中一切。成立还有好几个论述韶上的连续泛函类的定理泛函方面的工作引导到伴随算子的概念设R和S是两个Banach空间，U是定义域在R内取值在S内的连续线性算子用分别表示定义在R和S上的全体有界线性泛函于是U诱导出个从中的变换如下：如果g是的一个元素，则g(U(x)对于R中的一切x是定义好了的但由U和g的线性性质可知这也是定义在R上的线性泛函， 即g(U(x)是的一个元素换个说法是，如果U(x)y， 则g(y)f(x)，其中f是R上的一个泛函，即的一个元素这个诱导出来的从的变换U，称为U的伴随算子运用这个概念，Banach证明，如果U有一个连续逆，则y = U(x)对S中的任一y是可解的 而且，如果的每一个f可解，则U-1存在，并且在U的值域上是连续的，其中U在S内的值域是指所有这样的y的集合，对于它存在的一个g，使得g(y)=0只要(最后这个命题是Fredholm择一定理的一个推广)Banach把他的伴随算子理论应用到Riesz算于，这种算子是Riesz在他1918年的文章小引入的这是形如的算子U，其中I是恒等算子，而V是一个全连续算子这时抽象理论可以应用到定义在o，1)上的函数空间L2和算子 其中把一般理论应用到(9) 以及与它相应的转置方程(10) 便知道如果是(9)的特征值，则是(10)的特征值，反之亦然进一步， (9)对于有有限多个线性无关的特征函数，并且这对(10)也是真的还有，当时(9)对所有的y没有解事实上，(9)有解的一个必要亢分条件是，这n个条件 p=1， 2， ， n都被满足，其中是 的线性无关解的集合As of Microsoft Internet Explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to your Web pages using visual filters and transitions. 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