高考数学一轮复习 第十一篇 复数、算法、推理与证明 第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法训练 理 新人教版.doc

第4节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法与分析法1,3,4,5,7,8,9,13反证法2数学归纳法6,10,15推理与证明的综合应用11,12,14基础巩固(时间:30分钟)1.命题“如果数列an的前n项和sn=2n2-3n,那么数列an一定是等差数列”是否成立(b)(a)不成立 (b)成立(c)不能断定(d)与n取值有关解析:因为sn=2n2-3n,所以n=1时a1=s1=-1,当n2时,an=sn-sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,n=1时适合an,且an-an-1=4,故an为等差数列,即命题成立.故选b.2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”正确的反设为(b)(a)a,b,c中至少有两个偶数(b)a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(c)a,b,c都是奇数(d)a,b,c都是偶数解析:a,b,c恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数.其否定有a,b,c均为奇数或a,b,c至少有两个偶数.故选b.3.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是(a)(a)abc (b)bca(c)cab (d)acb解析:因为a=-=,b=-=,c=-=,又因为+0,所以abc.故选a.4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设abc,且a+b+c=0,求证0 (b)a-c0(c)(a-b)(a-c)0 (d)(a-b)(a-c)0解析:ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+c20(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.故选c.5.设0x0,b0,a,b为常数,+的最小值是(c)(a)4ab (b)2(a2+b2)(c)(a+b)2 (d)(a-b)2解析:(+)(x+1-x)=a2+b2a2+b2+2ab=(a+b)2.当且仅当x=时,等号成立.故选c.6.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nn*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(a)(a)(k+3)3 (b)(k+2)3(c)(k+1)3 (d)(k+1)3+(k+2)3解析:假设当n=k时,原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故选a.7.(2016兰州调研)已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是.解析:因为(ab)a+b22(a+b)a+b+2a+b,即xy.答案:xy8.已知点an(n,an)为函数y=图象上的点,bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中nn*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为.解析:由已知条件得cn=an-bn=-n=,所以cn随n的增大而减小,所以cn+1cn.答案:cn+10,p=2x+2-x,q=(sin x+cos x)2,则(a)(a)pq(b)p0,所以p2;又(sin x+cos x)2=1+sin 2x,而sin 2x1,所以q2.于是pq.故选a.10.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为(c)(a)n+1(b)2n(c)(d)n2+n+1解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+n)=1+=个区域.故选c.11.(2017邯郸模拟)设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)解析:若a=,b=,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;对于,反证法:假设a1且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:12.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间-1,1内至少存在一点c,使f(c)0,则实数p的取值范围是.解析:法一(补集法)令解得p-3或p,故满足条件的p的范围为(-3,).法二(直接法)依题意有f(-1)0或f(1)0,即2p2-p-10或2p2+3p-90,得-p1或-3pbcd0且a+d=b+c,求证:+.证明:要证+,只需证(+)2(+)2,即a+d+2b+c+2,因a+d=b+c,只需证,即adbc,设a+d=b+c=t,则ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)0,故adbc成立,从而+成立.14.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择式,计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=1-=.(2)法一三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.证明如下:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+cos2+sin cos +sin2-sin cos -sin2=sin2+cos2=.法二三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.证明如下:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=+-sin (cos 30cos +sin 30sin )= -cos 2+ (cos 60cos 2+sin 60sin 2)-sin cos -sin2=-cos 2+cos 2+sin 2-sin 2- (1-cos 2)=1-cos 2-+cos 2=.15.数列an满足a1=,an+1=.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列an的前n项和为sn,证明sn0),则f(x)=-1=0).函数f(x