高考数学 专题19 正、余弦定理的应用黄金解题模板.docVIP

专题19 正、余弦定理的应用【高考地位】正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一 判断三角形的形状使用情景：已知边与三角函数之间的等式关系解题模板：第一步 运用正弦定理或余弦定理将已知等式全部转化为都是角或都是边的等式；第二步 利用三角函数的图像及其性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形的形状；第三步 得出结论.例1在中，已知，那么一定是（ ）a等腰三角形 b直角三角形 c等腰三角形或直角三角形 d等腰直角三角形【答案】a【变式演练1】在中，角所对的边分别为，若，则为a钝角三角形 b直角三角形 c锐角三角形 d等边三角形【答案】a【解析】试题分析：根据 定理：,那么,根据,所以,所以,整理为： ,三角形中,所以,那么考点：1正弦定理；2解斜三角形【变式演练2】在中，内角，所对的边分别为，若，且，成等比数列，则一定是（ ）a不等边三角形 b钝角三角形 c等腰直角三角形 d等边三角形【答案】d考点：1等比数列；2解三角形【变式演练3】在中，若，则的形状一定是（ ）a锐角三角形 b直角三角形c等腰或直角三角形 d等腰三角形【答案】d考点：正余弦定理解三角形【变式演练4】在abc中，若2cos bsin asin c，则abc的形状一定是 （ ）a等腰直角三角形 b直角三角形c等腰三角形 d等边三角形【答案】c【解析】试题分析：2cos bsin asin c=sin（a+b）=sinacosb+cosasinb,所以sinacosb- cosasinb=0，所以sin（a-b）=0，所以a=b，三角形为等腰三角形考点：三角函数公式类型二 解三角形中的边和角使用情景：三角形中解题模板：第一步 直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理；第二步 利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论.例2在锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围（ ）a. b. c. d. 【答案】b ,故答案选【点评】在解三角形中求范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式，结合角的范围求得最后结果。在边角互化中，注意化简和诱导公式的运用。:例3 设的内角， ， 所对的边长分别为， ， ，若， ， ，则（ ）a. b. c. d. 或【答案】c【变式演练3】已知中，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）a bc. d【答案】c【解析】试题分析：由题意得，要使得三角形有两解，则满足，解得，故选c.考点：三角形解的个数的判定.【变式演练4】在中，角的对边为，若，则角为（ ）a b c d【答案】a【解析】试题分析：因为，由余弦定理，可得，又，所以，故选a考点：余弦定理【变式演练5】在中，则（ ）a b c. d【答案】d考点：正弦定理与余弦定理.类型三 解决与面积有关问题使用情景：三角形中解题模板：第一步 主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边；第二步 结合三角形的面积公式直接计算其面积.例4 中， , 在边上，且, .当的面积最大时，则的外接圆半径为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】因为所以的面积最大时,由题可知， , , 可得,所以,由正弦定理可得，故，故选c. 例5 在中，内角的对边分别为，且，若，则的面积为_【答案】【变式演练6】在中，分别为角，的对边，如果，成等差数列，的面积为,则b为（ ）a b c d【答案】b【解析】试题分析：成等差数列,即,又因为面积为,由,得,由余弦定理得,解得,.故选b.考点：1.余弦定理；2.面积公式. 【变式演练7】顶点在单位圆上的中，角所对的边分别为若，则 【答案】考点：余弦定理；正弦定理【变式演练8】在中，角、所对的边分别为、，已知（1）求及的面积；（2）求【答案】（1）；（2）【高考再现】1.【2017全国i卷文，11】abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c已知，a=2，c=，则c=abcd【答案】b【解析】试题分析：由题意得，即，所以由正弦定理得，即，得，故选b【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到2.【2017山东，理9】在中，角，的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】试题分析： 所以，选a.【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 3. 【2016高考新课标3理数】在中，边上的高等于,则（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】c 4.【2016高考天津理数】在abc中，若,bc=3， ,则ac= （ ）（a）1（b）2（c）3（d）4【答案】a【解析】试题分析：由余弦定理得,选a.考点：余弦定理【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解2利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的5.【2015高考广东，文5】设的内角，的对边分别为，若，且，则（ ）a b c d【答案】b【考点定位】余弦定理【名师点晴】本题主要考查的是余弦定理，属于容易题解题时要抓住关键条件“”， 否则很容易出现错误本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情况，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即6. 【2017浙江，14】已知abc，ab=ac=4，bc=2点d为ab延长线上一点，bd=2，连结cd，则bdc的面积是_，cosbdc=_【答案】【解析】【考点】解三角形【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解7.【2017全国iii文，15】abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知c=60，b=，c=3，则a=_.【答案】75【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果. 8. 【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，则 【答案】 9.【2015高考重庆，文13】设的内角a，b，c的对边分别为,且,则c=_.【答案】4【解析】由及正弦定理知：,又因为,所以，由余弦定理得：，所以;故填：4.【考点定位】正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将转化为3a=2b结合已知即可求得b的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题，注意运算的准确性及最后结果还需开方.10.【2017天津理，25】在中，内角所对的边分别为.已知，.（）求和的值；（）求的值.【答案】 (1) .(2) 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. （）由（）及，得，所以，.故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 12.【2017天津文，15】在中，内角所对的边分别为.已知，.（i）求的值；（ii）求的值.【答案】() ；() .【解析】试题分析（）首先根据正弦定理代入得到，再根据余弦定理求得；（）根据（）的结论和条件，根据求，和 以及正弦定理求得 ，再求，以及，最后代入求的值.（）解：由（），可得，代入，得.由（）知，a为钝角，所以.于是，故.【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式13.【2017全国iii理，17】的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知，（1）求c；（2）设为边上一点，且，求的面积【解析】（1）由得，即，又，得.由余弦定理.又代入并整理得，故.（2），由余弦定理.，即为直角三角形，则，得.由勾股定理.又，则，.14.【2017山东，文17】在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知b=3,sabc=3,求a和a.【答案】【解析】又，所以，由余弦定理，得，所以.【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想15.【2017全国ii文，16】的内角的对边分别为,若,则 【答案】 16.【2017北京理，15】在abc中， =60，c=a.（）求sinc的值；（）若a=7，求abc的面积.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）根据正弦定理求的值；（）根据条件可知根据（）的结果求，再利用求解，最后利用三角形的面积.【考点】1.正余弦定理；2.三角形面积；3.三角恒等变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式17.【2017全国i卷理，16】的内角，的对边分别为，已知的面积为（1）求；（2）若，求的周长本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）面积.且由正弦定理得，由得.（2）由（1）得，又， 由余弦定理得 由正弦定理得， 由得，即周长为18.【2016年高考北京理数】在abc中，.（1）求 的大小；（2）求 的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想19.【2016高考新课标1卷】 的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知 （i）求c；（ii）若的面积为,求的周长【答案】（i）（ii）【解析】（ii）由已知,又,所以由已知及余弦定理得,故,从而所以的周长为考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式, ,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”20.【2016高考山东理数】在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知 （）证明：a+b=2c;（）求cosc的最小值.【答案】（）见解析；（）考点：1.和差倍半的三角函数；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.21. 【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos b.（i）证明：a=2b；（ii）若abc的面积，求角a的大小.【答案】（i）证明见解析；（ii）或（ii）由得，故有，因，得又，所以当时， ；当时，综上，或考点：1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式【思路点睛】（i）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证；（ii）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有，的式子，再利用三角形的内角和可得角的大小22. 【2016年高考四川理数】在abc中，角a,b,c所对的边分别是a,b,c,且.（i）证明：；（ii）若，求.【答案】（）证明详见解析；（）4.（）由已知，b2+c2a2=bc，根据余弦定理，有cos a=所以sin a=由（），sin asin b=sin acos b+cos asin b，所以sin b=cos b+sin b，故考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个结论，否则难以得出结论23.【2015高考新课标2，理17】中，是上的点，平分，面积是面积的2倍() 求；()若，求和的长 【答案】()；()【解析】()，因为，【考点定位】1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、角分线、正弦定理和余弦定理，由角分线的定义得角的等量关系，由面积关系得边的关系，由正弦定理得三角形内角正弦的关系；分析两个三角形中和互为相反数的特点结合已知条件，利用余弦定理列方程，进而求【反馈练习】1【河南省中原名校(豫南九校)2017-2018学年高二上学期第二次联考数学（文）试题】在中，内角， ， 所对的边分别是， ， ，已知， ，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b 2【陕西省西安市长安区第五中学2018届高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题】三个内角所对的边为，已知且，则角等于（ ）a. b. c. d. 或【答案】a【解析】由正弦定理可得：，则，又，所以，故选a。3【安徽省十大名校2018届高三11月联考数学（文）试题】在中，角的对边分别为， ，则（ ）a. 1 b. 2 c. 3 d. 4【答案】c【解析】 因为，所以，又， 即，解得，故选c.4【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学（文）试题】某新建的信号发射塔的高度为，且设计要求为：29米29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部在同一水平面内的两个观测点，测得， ， 米，并在点处的正上方处观测发射塔顶部的仰角为30，且米，则发射塔高（ ）a. 米 b. 米 c. 米 d. 米【答案】a【解析】过点e作，垂足为，则米，在中，由正弦定理得： 米.在中， （米）.所以（米），符合设计要求.故选a.6【河北省衡水中学2018届高三9月大联考数学（文）试题】已知的内角， ， 的对边分别是， ， ，且，若，则的取值范围为（ ）a. b. c. d. 【答案】b 7【河南省许平汝2017-2018学年高二上学期第一次联考数学试题】在斜中，角的对边分别为， ，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b 8. 【河南省中原名校(豫南九校)2017-2018学年高二上学期第二次联考数学（文）试题】在中， ， ， 是的中点， ，则等于_【答案】【解析】延长至n，使，连接，则四边形为平行四边形， ，在 中， ，在中， ， ， .9【河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第三次模拟考试（期中）数学（文）试题】在中，内角的对边分别为，已知， ，则的取值范围是_【答案】【解析】，得， ， ，则，得，解得，又，的范围是。10【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学期第一次联考数学（理）试题】在中，角所对的边分别为，且，则的最小值为_.【答案】 11【广西贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考数学（理）试题】的内角， ， 所对的边分别为， ， .已知，且，有下列结论：；， 时， 的面积为；当时， 为钝角三角线.其中正确的是_（填写所有正确结论的