高考数学大一轮复习 第十章 计数原理 10.2 排列与组合学案 理 北师大版.doc

10.2排列与组合最新考纲考情考向分析1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用a表示(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用c表示3排列数、组合数的公式及性质公式(1)an(n1)(n2)(nm1)；(2)c性质(3)0！1；an！；(4)cc；ccc题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(4)(n1)！n！nn！.()(5)若组合式cc，则xm成立()(6)kcnc.()题组二教材改编26把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()a144 b120 c72 d24答案d解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为a43224.3用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()a8 b24 c48 d120答案c解析末位数字排法有a种，其他位置排法有a种，共有aa48(种)排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()a192种 b216种 c240种 d288种答案b解析第一类：甲在左端，有a54321120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4a4432196(种)排法所以共有12096216(种)排法5为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为()a180 b240c540 d630答案c解析依题意，选派方案分为三类：一个国家派4名，另两个国家各派1名，有a90(种)；一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有ccca360(种)；每个国家各派2名，有a90(种)，故不同的选派方案种数为9036090540.6寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排a，b，c，d，e五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有_种(用数字作答)答案45解析设5名同学也用a，b，c，d，e来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设e同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有badc，bdac，bcda，cadb，cdab，cdba，dabc，dcab，dcba，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9545(种).题型一排列问题1用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为()a18 b108 c216 d432答案d解析根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组，共ca种排法；第二步，将2,4,6排成一排，共a种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共a种排法综上，共有caaa32612432(种)排法，故选d.2将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有()a1 108种 b1 008种c960种 d504种答案b解析将丙、丁两人进行捆绑，看成一人将6人全排列有aa种排法；将甲排在排头，有aa种排法；乙排在排尾，有aa种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有aa种排法则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有aaaaaaaa1 008(种)3某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)答案1 560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了a40391 560(条)留言思维升华 排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. 题型二组合问题典例 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有c561(种)取法，某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中，选取3种，有c种或者ccc5 984(种)取法某一种假货不能在内的不同取法有5 984种(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有cc2 100(种)取法恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种(4)选取2种假货有cc种，选取3种假货有c种，共有选取方式ccc2 1004552 555(种)至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种(5)方法一(间接法)选取3种的总数为c，因此共有选取方式cc6 5454556 090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种方法二(直接法)共有选取方式ccccc6 090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理跟踪训练 (1)在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为()a30 b36c60 d72答案a解析因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有cc种其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有c种，所以甲、乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有ccc30(种)故选a.(2)(2017武汉二模)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()a60种 b63种 c65种 d66种答案d解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有cccc66(种)题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素(位置)问题典例 (1)(2018青岛模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为_答案60解析2位男生不能连续出场的排法共有n1aa72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有n2aa12(种)，所以出场顺序的排法种数为nn1n260.(2)(2017上饶一模)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市关系要好的a，b，c，d四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中a家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有()a18种 b24种 c36种 d48种答案b解析根据题意，分两种情况讨论：a家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有ccc12(种)乘坐方式；a家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有ccc12(种)乘坐方式，故共有121224(种)乘坐方式，故选b.命题点2分组与分配问题典例 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法答案90解析先把6个毕业生平均分成3组，有15(种)方法，再将3组毕业生分到3所学校，有a6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有a90(种)分派方法(2)(2017广州调研)有4名优秀学生a，b，c，d全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有_种答案36解析先把4名学生分为2,1,1共3组，有6(种)分法，再将3组对应3个学校，有a6(种)情况，则共有6636(种)不同的保送方案思维升华 (1)解排列、组合问题要遵循的两个原则按元素(位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)(2)分组、分配问题的求解策略对不同元素的分配问题a对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以a(n为均分的组数)，避免重复计数b对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数c对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”跟踪训练 (1)(2017全国)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()a12种 b18种 c24种 d36种答案d解析由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为cca36(种)，或列式为ccc3236(种)故选d.(2)(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有_种不同的选法(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有c种方法；再选3名男生，有c种方法；然后排队长、副队长位置，有a种方法由分步乘法计数原理知，共有cca480(种)选法有2名女生时，再选2名男生，有c种方法；然后排队长、副队长位置，有a种方法由分步乘法计数原理知，共有ca180(种)选法所以依据分类加法计数原理知，共有480180660(种)不同的选法方法二不考虑限制条件，共有ac种不同的选法，而没有女生的选法有ac种，故至少有1名女生的选法有acac840180660(种)(3)把5件不同的产品摆成一排，若产品a与产品b相邻，且产品a与产品c不相邻，则不同的摆法有_种答案36解析将产品a与b捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有aa种方法，将产品a，b，c捆绑在一起，且a在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有aa种方法于是符合题意的摆法共有aaaa36(种)1从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()a9 b10 c18 d20答案c解析由于lg alg blg (a0，b0)，lg 有多少个不同的值，只需看不同值的个数从1,3,5,7,9中任取两个作为，有a种取法，又与相同，与相同，lg alg b的不同值的个数为a218.2(2017济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()a33! b3(3！)3c(3！)4 d9!答案c解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法3某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()a16 b18 c24 d32答案c解析将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有a6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4624(种)方法4(2018昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法()aa种 ba种caa种 dccaa种答案d解析红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有ccaa种摆放方法5有a，b，c，d，e五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次a，b两位学生去问成绩，老师对a说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对b说：你是第三名请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为()a6 b18c20 d24答案b解析由题意知，名次排列的种数为ca18.6(2016四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()a24 b48 c60 d72答案d解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有c种选法，再将剩下的4个数字排列有a种排法，则满足条件的五位数有ca72(个)故选d.7若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_种(用数字作答)答案11解析把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有a种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为a12.其中正确的有一种，所以错误的共有a112111(种)8(2017福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共a种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有ca种分法总获奖情况共有aca60(种)9(2017豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有_种答案36解析2名内科医生的分法为a，3名外科医生与3名护士的分法为cccc，共有a(cccc)36(种)不同的分法10用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有_个答案240解析由题意知本题是一个分步计数问题，从1,2,3,4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有a60(个)，根据分步乘法计数原理知，有604240(个)11(2018郑州模拟)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_答案120解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有aca36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有aa48(种)安排方法由分类加法计数原理知，共有363648120(种)安排方法12(2017衡水四模)某宾馆安排a，b，c，d，e五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且a，b不能住同一房间，则共有_种不同的安排方法(用数字作答)答案114解析5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有ca60(种)，a，b住同一房间有ca18(种)，故有601842(种)，当为(2,2,1)时，有a90(种)，a，b住同一房间有ca18(种)，故有901872(种)，根据分类加法计数原理可知，共有4272114(种)13(2018合肥质检)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为()a120 b240c360 d480答案c解析前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有cc种方法，对于后排