高中数学 14.2导数的应用配套课件 理 新人教A版.ppt

第二节导数的应用 三年23考高考指数 1 理解可导函数的单调性与其导数的关系 2 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 3 会求一些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小值 1 利用导数判断函数的单调性 求函数的单调区间 求函数的极值 最值 是考查重点 2 含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难点 3 题型有选择题和填空题 难度较小 与方程 不等式等知识点交汇则以解答题为主 难度较大 1 函数的单调性与导数的符号的关系 在某个连续区间上 在该区间内为常函数 f x 0 在该区间内递增 f x 0 在该区间内递减 f x 0 即时应用 1 思考 如果f x 在其定义域内恒有f x 0 则f x 是否一定是其定义域上的增函数 为什么 提示 不一定 因为导数研究的函数的单调性是一个区间概念 如果定义域为一个连续的区间 则一定是增函数 反之 则不一定是增函数 如f x 在其定义域 0 0 内恒有f x 0 f x 在每个区间上都是递增的 但f x 不是增函数 2 函数f x 1 x sinx在 0 2 上的单调情况是 解析 在 0 2 上有f x 1 cosx 0 所以f x 在 0 2 上单调递增 答案 单调递增 3 若函数y x3 x2 mx 1是r上的单调函数 则实数m的取值范围是 解析 函数y x3 x2 mx 1是r上的单调函数 只需y 3x2 2x m 0恒成立 即 4 12m 0 答案 2 函数的极值 1 判断f x0 是极大 小 值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 2 求可导函数极值的步骤 明确函数的定义域 求f x 求方程 的根 检查f x 在方程 的根的左右的符号 如果 那么f x 在这个根处取得极大值 如果 那么f x 在这个根处取得极小值 f x 0 f x 0 左正右 负 左负右正 即时应用 1 判断下列结论的正误 请在括号中填 或 导数为零的点一定是极值点 f x 在x0及其附近有定义 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 f x 在x0及其附近有定义 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 2 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点的个数为 3 函数f x x3 3x2 9x的极值点为 4 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处取极值10 则f 2 解析 1 不一定 导数为零只是函数在该点取极值的必要条件 对于可导函数 x x0为其极值点 需满足两个条件 一是f x0 0 二是x x0两侧的导数f x 的符号异号 例如f x x3 虽有f 0 0 但x 0不是极值点 因为f x 0恒成立 正确 f x0 为极小值 故错误 2 从f x 的图象可知f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 所以f x 在 a b 内只有一个极小值点 3 由f x 3x2 6x 9 0得x 1或x 3 当x 3时 f x 0 当 3 x 1时 f x 0 当x 1时 f x 0 1和 3都是f x 的极值点 4 f x 3x2 2ax b 由题意即得a 4或a 3 但当a 3时 b 3 f x 3x2 6x 3 0 故不存在极值 a 4 b 11 f 2 18 答案 1 2 1 3 1和 3 4 18 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则 为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则 为函数的最大值 为函数的最小值 f a f b f a f b 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的 将f x 的各极值与 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 极值 f a f b 即时应用 1 思考 最值是否一定是极值 提示 不一定 如果最值在端点处取得就不是极值 2 函数f x 3x 4x3 x 0 1 的最大值是 解析 由f x 3 12x2 0得x f 0 0 f 1 f 1 1 f x max 1 答案 1 4 导数的实际应用导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大 用料最省 效率最高等问题中 解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型 函数关系 再利用导数研究其单调性和最值 解题过程中要时刻注意实际问题的意义 即时应用 1 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 2 将边长为1m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块 其中一块是梯形 记s 则s的最小值是 解析 1 y x2 81 令y 0得x 9或x 9 舍去 当x 9时y 0 当x 9时y 0 故当x 9时函数有极大值 也是最大值 即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件 2 设剪成的小正三角形的边长为x 则 s 令s x 0 0 x 1 得x 当x 0 时 s x 0 s x 递减 当x 1 时 s x 0 s x 递增 故当x 时 s取得最小值答案 1 9万件 2 利用导数研究函数的单调性 方法点睛 1 导数在函数单调性方面的应用 1 利用导数判断函数的单调性 2 利用导数求函数的单调区间 3 已知函数单调性 求参数的范围 2 导数法求函数单调区间的一般步骤 1 求定义域 求函数y f x 的定义域 2 求根 求方程f x 0在定义域内的根 3 划分区间 用求得的方程的根划分定义域所在的区间 4 定号 确定f x 在各个区间内的符号 5 结果 求得函数在相应区间上的单调性 即得函数y f x 的单调区间 提醒 当f x 不含参数时 也可通过解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 例1 1 2011 山东高考 函数y 的图象大致是 2 2012 防城港模拟 已知f x lnx 设f x f x 2 求f x 的单调区间 若不等式f x 1 f 2x 1 m2 3am 4对任意a 1 1 x 0 1 恒成立 求m的取值范围 解题指南 1 排除法与求导相结合 根据导数与函数单调性的关系判断 2 由题意只需解不等式f x 0和f x 0即可得到单调区间 原不等式恒成立可转化为恒成立 进一步转化为成立 规范解答 1 选c 当x 0时 y 0 排除a 当x 2 时 y 0 排除d 由y 得cosx 在满足上式的x的区间内 y是增函数 由y 0 得cosx 在满足上式的x的区间内 y是减函数 由余弦函数的周期性知 函数的增减区间有无数多个 b不正确 c正确 2 f x 定义域为 2 1 1 令f x 0 得单调增区间为 2 和 令f x 0 得单调减区间为 1 和 1 不等式f x 1 f 2x 1 m2 3am 4化为 ln x 1 ln 2x 1 m2 3am 4即现在只需求y x 0 1 的最大值和y 3ma 4 m2 a 1 1 的最小值 因为在 0 1 上单调递减 所以y 的最大值为0 而y 3ma 4 m2 a 1 1 是关于a的一次函数 故其最小值只能在a 1或a 1处取得 于是得到 解得0 m 1或 1 m 0 所以m的取值范围是 1 1 互动探究 若本例 2 中条件改为 f x f x 2 kx在定义域内是单调递增函数 则k的取值范围是 解析 由题意f x 在 2 上恒成立 答案 k 0 变式备选 已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调递增区间 2 是否存在a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 解析 f x ex a 1 若a 0 f x ex a 0恒成立 即f x 在r上递增 若a 0 令ex a 0 得ex a x lna f x 的单调递增区间为 lna 2 由题意知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 ex在 0 上为增函数 当x 0时 ex最大为1 a 1 同理可知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 a 1 a 1 利用导数研究函数的极值 最值 方法点睛 1 应用函数极值应注意的问题 1 注意极大值与极小值的判断 2 已知极值求参数的值 注意f x0 0是函数y f x 在x0处取得极值的必要不充分条件 2 数形结合求参数的范围利用导数研究了函数的单调性和极值后 可以画出草图 进行观察分析 确定满足条件的参数范围 例2 已知函数f x xe x x r 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 已知函数y g x 的图象与函数y f x 的图象关于直线x 1对称 证明当x 1时 f x g x 3 如果x1 x2 且f x1 f x2 证明x1 x2 2 解题指南 由f x 0得出可能的极值点 再列表判断 利用已知条件求出y g x 的解析式 构造新函数进行证明 讨论x1 x2的可能取值 判断其范围 再利用f x 的单调性证明 规范解答 1 f x 1 x e x 令f x 1 x e x 0 得x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 在区间 1 内是增函数 在区间 1 内是减函数 函数f x 在x 1处取得极大值f 1 且f 1 2 因为函数y g x 的图象与函数y f x 的图象关于直线x 1对称 所以g x f 2 x 于是g x 2 x ex 2 记f x f x g x 则f x xe x x 2 ex 2 f x x 1 e2x 2 1 e x 当x 1时 2x 2 0 从而e2x 2 1 0 又e x 0 所以f x 0 于是函数f x 在区间 1 上是增函数 因为f 1 e 1 e 1 0 所以 当x 1时 f x f 1 0 因此f x g x 3 若 x1 1 x2 1 0 由 1 及f x1 f x2 得x1 x2 与x1 x2矛盾 若 x1 1 x2 1 0 由 1 及f x1 f x2 得x1 x2 与x1 x2矛盾 根据 可得 x1 1 x2 1 0 不妨设x1 1 x2 1 由 2 可知f x2 g x2 f 2 x2 所以f x1 f x2 g x2 f 2 x2 因为x2 1 所以2 x2 1 又x1 1 由 1 知f x 在区间 1 内是增函数 所以x1 2 x2 即x1 x2 2 反思 感悟 1 求函数的极值时 极易弄混极大值 极小值 2 利用导数研究了单调性和极值 就可以大体知道函数的图象 为数形结合解题提供了方便 变式训练 2011 北京高考 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解析 1 f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 的变化情况如下 所以f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上 当k 1时 f x 在区间 0 1 上的最小值为 k 当1 k 2时 f x 在区间 0 1 上的最小值为 ek 1 当k 2时 f x 在区间 0 1 上的最小值为 1 k e 变式备选 2012 玉林模拟 已知三次函数f x ax3 5x2 cx d a 0 图象上一点 1 8 处的切线经过点 3 0 并且f x 在x 3处有极值 1 求f x 解析式 2 若当x 0 m 时 f x 0恒成立 求实数m的取值范围 解析 1 f x 图象过点 1 8 a 5 c d 8 即a c d 13 又f x 3ax2 10 x c 且点 1 8 处的切线经过 3 0 f 1 即3a 10 c 4 3a c 6 又 f x 在x 3处有极值 f 3 0 即27a c 30 联立 解得a 1 c 3 d 9 f x x3 5x2 3x 9 2 f x 3x2 10 x 3 3x 1 x 3 由f x 0得x1 x2 3 当x 0 时 f x 0 f x 单调递增 f x f 0 9 当x 3 时 f x 0 f x 单调递减 f x f 3 0 又 f 3 0 当m 3时 f x 0在 0 m 内不恒成立 当且仅当m 0 3 时 f x 0在 0 m 内恒成立 所以m的取值范围为 0 3 导数在实际问题中的应用 方法点睛 1 导数在实际问题中的应用在求实际问题中的最值时 一般要先恰当的选择变量 建立函数关系式 并确定其定义域 然后利用导数求函数最值的方法加以解决 注意检验结果与实际是否相符 2 实际问题中的最值根据实际意义 函数存在最值 而函数只有一个极值 则函数的极值就是最值 例3 2011 山东高考 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的容积为立方米 且l 2r 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元 半球形部分每平方米建造费用为c c 3 千元 设该容器的建造费用为y千元 1 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的r 解题指南 本题为应用题 1 先求出l和r的关系 再根据问题情境列出函数解析式 注意函数的定义域 2 利用导数求函数的最值 先求导 再判断函数的单调性 然后根据单调性求出极值 再由函数的定义域求出最值 规范解答 1 因为容器的容积为立方米 所以解得由于l 2r 因此0 r 2 所以圆柱的侧面积为两端两个半球的表面积之和为4 r2 所以建造费用y 定义域为 0 2 2 因为y 由于c 3 所以c 2 0 所以令y 0得 令y 0得 当3 c 即 2时 函数y在 0 2 上是单调递减的 故建造费用最小时r 2 当c 即0 2时 函数y在 0 2 上是先减后增的 故建造费用最小时r 反思 感悟 1 解决实际问题 数学建模是关键 恰当变量的选择 决定了解答过程的繁简 函数模型的确定 决定了能否解决这个问题 2 解决实际问题必须考虑实际意义 忽视定义域是这类题目失分的主要原因 变式训练 2012 贵港模拟 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 升 关于行驶速度x 千米 小时 的函数解析式可以表示为 y 已知甲 乙两地相距100千米 1 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 解析 1 当x 40时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 要耗油 17 5 升 答 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油17 5升 2 当速度为x千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油量为h x 升 依题意得 h x 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是减函数 当x 80 120 时 h x 0 h x 是增函数 当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 答 当汽车以80千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 变式备选 某城市在发展过程中 交通状况逐渐受到大家更多的关注 据有关统计数据显示 从上午6点到中午12点 车辆通过该市某一路段的用时y 分钟 与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出 求从上午6点到中午12点 通过该路段用时最多的时刻 解析 当6 t 9时 y 令y 0 得t 12或t 8 当t 8时 y有最大值 ymax 18 75 分钟 当9 t 10时 y 是增函数 当t 10时 ymax 15 分钟 当10 t 12时 y 3 t 11 2 18 当t 11时 ymax 18 分钟 综上所述 上午8时 通过该路段用时最多 为18 75分钟 满分指导 函数与导数综合题的规范解答 典例 12分 2011 湖南高考 设函数f x x alnx a r 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个极值点x1和x2 记过点a x1 f x1 b x2 f x2 的直线的斜率为k 问 是否存在a 使得k 2 a 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 解题指南 1 对f x 求导 就a的取值分类讨论 2 假设存在a满足条件 判断条件是否满足 规范解答 1 f x 的定义域为 0 2分令g x x2 ax 1 其判别式 a2 4 当 a 2时 0 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 3分 当a 2时 0 g x 0的两根都小于0 在 0 上 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 4分 当a 2时 0 g x 0的两根为当0 x x1时 f x 0 当x1 x x2时 f x 0 当x x2时 f x 0 故f x 分别在 0 x1 x2 上单调递增 在 x1 x2 上单调递减 6分 2 由 1 知 a 2 因为 所以 8分又由 1 知 x1x2 1 于是k 2 若存在a 使得k 2 a 则 即lnx1 lnx2 x1 x2 亦即x2 2lnx2 0 x2 1 10分再由 1 知 函数h t t 2lnt在 0 上单调递增 而x2 1 所以x2 2lnx2 1 2ln1 0 这与 式矛盾 11分故不存在a 使得k 2 a 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 湖南高考 设直线x t与函数f x x2 g x lnx的图象分别交于点m n 则当 mn 达到最小时t的值为 解析 选d 由题意 mn t2 lnt t 0 不妨令h t t2 lnt 则h t 2t 令h t 0解得t 因为t 0 时 h t 0 当t 时 h t 0 所以当t 时 mn 达到最小 2 2011 安徽高考 函数f x axm 1 x n在区间 0 1 上的图象如图所示 则m n的值可能是 a m 1 n 1 b m 1 n 2 c m 2 n 1 d m 3 n 1 解析 选b 观察图象易知 a 0 f x 在 0 1 上先增后减 但在 0 上有增有减且不对称 对于选项a m 1 n 1时 f x ax 1 x 是二次函数 图象应关于直线x 对称 不符合题意 对于选项b m 1 n 2时 f x ax 1 x 2 a x3 2x2 x f x a 3x2 4x 1 a x 1 3x 1 令f x 0 得x 1或x f x 在 0 上单调递增 符合题意 对于选项c m 2 n 1时 f x ax2 1 x a x2 x3 f x a 2x 3x2 ax 2 3x 令f x 0 得0 x f x 在 0 上单调递增 不符合题意 对于选项d m 3 n 1时 f x ax3 1 x a x3 x4 f x a 3x2 4x3 ax2 3 4x 令f x 0 得0