高考数学一轮总复习 第九章 解析几何 题组训练68 抛物线（二）理.doc

题组训练68 抛物线（二）1(2018广东中山第一次统测)过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点如果x1x26，那么|ab|()a6b8c9 d10答案b解析|ab|af|bf|x1x2p8.故选b.2若抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点的坐标是()a(，1) b(0，0)c(1，2) d(1，4)答案a解析设与直线y4x5平行的直线为y4xm，由平面几何的性质可知，抛物线y4x2上到直线y4x5的距离最短的点即为直线y4xm与抛物线相切的点而对y4x2求导得y8x，又直线y4xm的斜率为4，所以8x4，得x，此时y4()21，即切点为(，1)，故选a.3(2017北京东城期末)过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，点o是原点，如果|bf|3，|bf|af|，bfo，那么|af|的值为()a1 b.c3 d6答案a解析由已知直线的斜率为k，则方程为y(x)，联立方程得3x25px0，即(2x3p)(6xp)0.因为|bf|af|，所以xbp，xa，依题意xb2p3，所以p，则|af|xap1.故选a.4(2018广东汕头第三次质检)已知抛物线c：y24x的焦点为f，与直线y2x4交于a，b两点，则cosafb()a. b.c d答案d解析抛物线c：y24x的焦点为f，点f的坐标为(1，0)又直线y2x4与c交于a，b两点，a，b两点坐标分别为(1，2)，(4，4)，则(0，2)，(3，4)，cosafb.故选d.5(2018河南四校联考)设o为坐标原点，p是以f为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，m是线段pf上的点，且|pm|2|mf|，则直线om的斜率的最大值为()a. b.c. d1答案c解析由题意可得f(，0)设p(，y0)，当y00时，kom0时，kom0.要求kom的最大值，y00.()(，)，kom，当且仅当y022p2，即y0p时取得等号故选c.6(2018广西玉林期末)从抛物线y24x的准线l上一点p引抛物线的两条切线pa，pb，a，b为切点若直线ab的倾斜角为，则p点的纵坐标为()a. b.c. d2答案b解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(1，y)，则kab.直线ab的倾斜角为，y1y2.切线pa的方程为yy1(xx1)，切线pb的方程为yy2(xx2)，即切线pa的方程为yxy1，切线pb的方程为yxy2.y1，y2是方程t22yt4x0两个根，y1y22y.y.故选b.7(2018石家庄市高三检测)已知圆c1：x2(y2)24，抛物线c2：y22px(p0)，c1与c2相交于a，b两点，且|ab|，则抛物线c2的方程为()ay2x by2xcy2x dy2x答案c解析由题意，知直线ab必过原点，则设ab的方程为ykx(k0)，圆心c1(0，2)到直线ab的距离d，解得k2.由可取a(0，0)，b(，)，把(，)代入抛物线方程，得()22p，解得p，所以抛物线c2的方程为y2x，故选c.8直线l与抛物线c：y22x交于a，b两点，o为坐标原点，若直线oa，ob的斜率k1，k2满足k1k2，则直线l过定点()a(3，0) b(0，3)c(3，0) d(0，3)答案a解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，因为k1k2，所以.又y122x1，y222x2，所以y1y26.将直线l：xmyb代入抛物线c：y22x得y22my2b0，所以y1y22b6，所以b3，即直线l：xmy3，所以直线l过定点(3，0)9.(2017湖南益阳模拟)如图所示，已知直线l：yk(x1)(k0)与抛物线c：y24x相交于a，b两点，且a，b两点在抛物线c准线上的射影分别是m，n，若|am|2|bn|，则k的值是()a. b.c. d2答案c解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立方程组消去x，得ky24y4k0.因为直线与抛物线相交，所以有424k4k16(1k2)0.(*)y1，y2是方程的两个根，所以有又因为|am|2|bn|，所以y12y2.解由组成的方程组，得k.把k代入(*)式检验，不等式成立所以k，故选c.10(2017威海一模)过抛物线c：y22px(p0)上一定点p(x0，y0)(y00)作两条斜率均存在的直线，分别交抛物线c于a(x1，y1)，b(x2，y2)，若直线pa，pb关于直线xx0对称，则log2|y1y2|log2y0的值为()a1 b1c d无法确定答案a解析设直线pa的斜率为kpa，直线pb的斜率为kpb.由y122px1，y022px0相减得(y1y0)(y1y0)2p(x1x0)，故kpa(x1x0)同理可得kpb(x2x0)若直线pa，pb关于直线xx0对称，则pa，pb的倾斜角互补故kpakpb，即.所以y1y22y0，故2，故log2|y1y2|log2y01.故选a.11(2018东城区期末)已知抛物线c1：yx2(p0)的焦点与双曲线c2：y21的右焦点的连线交c1于第一象限的点m，若c1在点m处的切线平行于c2的一条渐近线，则p()a. b.c. d.答案d解析由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为(0，)，双曲线焦点坐标为(2，0)，所以两个焦点连线的直线方程为y(x2)设m(x0，y0)，则有yx0x0p.因为y0x02，所以y0.又m点在抛物线的切线上，即有(p2)p，故选d.12(2017浙江杭州七校模拟质量检测)抛物线y24x的焦点为f，过点(0，3)的直线与抛物线交于a，b两点，线段ab的垂直平分线交x轴于点d，若|af|bf|6，则点d的坐标为_答案(4，0)解析设直线ab的方程为ykx3，代入抛物线y24x，整理得k2x2(6k4)x90.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，由|af|bf|6，得(x1)(x2)x1x2p26，解得k2，k(舍去)，所以线段ab的中点为(2，1)，线段ab的垂直平分线方程为y1(x2)，令y0，得x4.故点d的坐标为(4，0)13(2018郑州质检)设抛物线y216x的焦点为f，经过点p(1，0)的直线l与抛物线交于a，b两点，且2，则|af|2|bf|_答案15解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)p(1，0)，(1x2，y2)，(x11，y1)2，2(1x2，y2)(x11，y1)，x12x23，2y2y1.将a(x1，y1)，b(x2，y2)代入抛物线方程y216x，得y1216x1，y2216x2.又2y2y1，4x2x1.又x12x23，解得x2，x12.|af|2|bf|x142(x24)242(4)15.14等腰直角三角形aob内接于抛物线y22px(p0)，o为抛物线的顶点，oaob，aob的面积是16，抛物线的焦点为f.若m是抛物线上的动点，则的最大值为_答案解析设等腰直角三角形oab的顶点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y122px1，y222px2.由|oa|ob|，得x12y12x22y22，x12x222px12px20，即(x1x2)(x1x22p)0.x10，x20，2p0，x1x2，即点a，b关于x轴对称设直线oa的方程为yx，与抛物线方程联立，解得或|ab|4p，soab2p4p4p2.aob的面积为16，p2.焦点f(1，0)设m(m，n)，则n24m，m0，设点m到准线x1的距离等于d，则.令m1t，t1，则mt1，(当且仅当t3时，等号成立)的最大值为.15(2018河北唐山一中期末)已知抛物线c：x22py(p0)，圆o：x2y21.(1)若抛物线c的焦点f在圆上，且a为c和圆o的一个交点，求|af|；(2)若直线l与抛物线c和圆o分别相交于点m，n，求|mn|的最小值及相应p的值答案(1)1(2)2解析(1)由题意得f(0，1)，c：x24y.解方程组得ya2，|af|1.(2)设m(x0，y0)，则切线l：y(xx0)y0，整理得x0xpypy00.由|on|1得|py0|，p且y0210.|mn|2|om|21x02y0212py0y021y0214(y021)8，当且仅当y0时等号成立|mn|的最小值为2，此时p.16.(2018江西九江一模)已知抛物线e：y22px(p0)的焦点为f，过点f且倾斜角为的直线l被e截得的线段长为8.(1)求抛物线e的方程；(2)已知点c是抛物线上的动点，以c为圆心的圆过点f，且圆c与直线x相交于a，b两点，求|fa|fb|的取值范围答案(1)y24x(2)|fa|fb|3，)解析(1)由题意，直线l的方程为yx.联立消去y整理得x23px0.设直线l与抛物线e的交点的横坐标分别为x1，x2，则x1x23p，故直线l被抛物线e截得的线段长为x1x2p4p8，得p2，抛物线e的方程为y24x.(2)由(1)知，f(1，0)，设c(x0，y0)，则圆c的方程是(xx0)2(yy0)2(x01)2y02.令x，得y22y0y3x00.又y024x0，4y0212x03y0230恒成立设a(，y3)，b(，y4)，则y3y42y0，y3y43x0.|fa|fb|3|x01|.x00，|fa|fb|3，)1(2018南昌一模)已知抛物线y28x的焦点为f，设a(x1，y1)，b(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1x24|ab|，则afb的最大值为()a. b.c. d.答案d解析因为x1x24|ab|，|af|bf|x1x24，所以|af|bf|ab|.在afb中，由余弦定理得cosafb11.又|af|bf|ab|2，当且仅当|af|bf|时等号成立，所以|af|bf|ab|2，所以cosafb1，所以afb，即afb的最大值为.2(2017辽宁五校期末联考)已知ab是抛物线y22x的一条焦点弦，|ab|4，则ab中点c的横坐标是()a2 b.c. d.答案c解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，|ab|4，x1x24，x1x23.c点横坐标为，故选c.3(2017东北三校)已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，p3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()a|fp1|fp2|fp3|b|fp1|2|fp2|2|fp3|2c2|fp2|fp1|fp3|d|fp2|2|fp1|fp3|答案c解析抛物线的准线方程为x，由定义得|fp1|x1，|fp2|x2，|fp3|x3，则|fp1|fp3|x1x3x1x3p，2|fp2|2x2p，由2x2x1x3，得2|fp2|fp1|fp3|，故选c.4(2017豫晋冀三省一调)设抛物线y28x的焦点为f，准线为l，p是抛物线上一点，若直线pf的倾斜角为120，则|pf|等于()a2 b.c3 d.答案b解析设p(x，y)，pal，a为垂足，取l与x轴的交点为b.在rtabf中，afb30，bf4，则|ab|y|，即有8x，可得x，|pf|2.5已知抛物线y24x，过点p(4，0)的直线与抛物线交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则y12y22的最小值是_答案32解析设直线方程为xky4，与抛物线联立得y24ky160，y1y24k，y1y216.y12y22(y1y2)22y1y216k232.故最小值为32.6已知过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，|af|2，则|bf|_答案2解析抛物线y24x的焦点f(1，0)，p2.由，即，|bf|2.8.如图所示，斜率为1的直线过抛物线y22px(p0)的焦点f，与抛物线交于a，b两点，m为抛物线弧ab上的动点(1)若|ab|8，求抛物线的方程；(2)求sabm的最大值答案(1)y24x(2)p2解析(1)由条件知lab：yx，与y22px联立，消去y，得x23pxp20，则x1x23p.由抛物线定义得|ab|x1x2p4p.