高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第3节 圆的方程学案 理 北师大版.doc

第三节圆的方程考纲传真(教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想(对应学生用书第134页)基础知识填充1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2y2dxeyf0，(d2e24f0)圆心，半径2.点与圆的位置关系点m(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若m(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若m(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若m(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tr)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆()(3)方程ax2bxycy2dxeyf0表示圆的充要条件是ac0，b0，d2e24af0.()(4)若点m(x0，y0)在圆x2y2dxeyf0外，则xydx0ey0f0.()解析由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确(2)中，当t0时，表示圆心为(a，b)，半径为|t|的圆，不正确答案(1)(2)(3)(4)2圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()a(x1)2(y1)21b(x1)2(y1)21c(x1)2(y1)22d(x1)2(y1)22d由题意得圆的半径为，故该圆的方程为(x1)2(y1)22，故选d.3(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()a b cd2a圆x2y22x8y130，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线axy10的距离d1，解得a.4点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，则a的取值范围是()a1a1b0a1c1ada1d由(2a)2(a2)25得a1.5(教材改编)圆c的圆心在x轴上，并且过点a(1,1)和b(1,3)，则圆c的方程为_(x2)2y210设圆心坐标为c(a,0)，点a(1,1)和b(1,3)在圆c上，|ca|cb|，即，解得a2，所以圆心为c(2,0)，半径|ca|，圆c的方程为(x2)2y210.(对应学生用书第135页)圆的方程(1)(2017豫北名校4月联考)圆(x2)2y24关于直线yx对称的圆的方程是()a(x)2(y1)24b(x)2(y)24cx2(y2)24d(x1)2(y)24(2)(2015全国卷)过三点a(1,3)，b(4,2)，c(1，7)的圆交y轴于m，n两点，则|mn|()a2b8c4d10(1)d(2)c(1)设圆(x2)2y24的圆心(2,0)关于直线yx对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a1，b，从而所求圆的方程为(x1)2(y)24.故选d.(2)设圆的方程为x2y2dxeyf0，则解得圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，m(0，22)，n(0，22)或m(0，22)，n(0，22)，|mn|4，故选c规律方法求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值.若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于d，e，f的方程组，进而求出d，e，f的值.易错警示：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.跟踪训练(1)(2018海口调研)已知圆m与直线3x4y0及3x4y100都相切，圆心在直线yx4上，则圆m的标准方程为() 【导学号：79140274】a(x3)2(y1)21b(x3)2(y1)21c(x3)2(y1)21d(x3)2(y1)21(2)(2016天津高考)已知圆c的圆心在x轴的正半轴上，点m(0，)在圆c上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆c的方程为_(1)c(2)(x2)2y29(1)到两直线3x4y0和3x4y100的距离都相等的直线方程为3x4y50，联立方程组解得所以圆m的圆心坐标为(3，1)，又两平行线之间的距离为2，所以圆m的半径为1，所以圆m的方程为(x3)2(y1)21，故选c(2)因为圆c的圆心在x轴的正半轴上，设c(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆c的半径r|cm|3，所以圆c的方程为(x2)2y29.与圆有关的最值问题已知m(x，y)为圆c：x2y24x14y450上任意一点，且点q(2,3)(1)求|mq|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解(1)由圆c：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心c的坐标为(2,7)，半径r2.又|qc|4，|mq|max426，|mq|min422.(2)可知表示直线mq的斜率k.设直线mq的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由直线mq与圆c有交点，所以2，可得2k2，的最大值为2，最小值为2.1(变化结论)在本例的条件下，求yx的最大值和最小值解设yxb，则xyb0.当直线yxb与圆c相切时，截距b取到最值，2，b9或b1.因此yx的最大值为9，最小值为1.2(变换条件)若本例中条件“点q(2,3)”改为“点q是直线3x4y10上的动点”，其它条件不变，试求|mq|的最小值解圆心c(2,7)到直线3x4y10上动点q的最小值为点c到直线3x4y10的距离，|qc|mind7.又圆c的半径r2，|mq|的最小值为72.规律方法与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如taxby形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.跟踪训练(1)(2018陕西质检(一)圆：x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离的最大值是()a1b2c1d22(2)(2017广东七校联考)圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，则的最小值是()a2 b.c4 d.(1)a(2)d(1)由已知得圆的标准方程为(x1)2(y1)21，则圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离的最大值是1，故选a(2)由圆x2y22x6y10知其标准方程为(x1)2(y3)29，圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，即a3b30，a3b3(a0，b0)，(a3b)，当且仅当，即ab时取等号，故选d.与圆有关的轨迹问题已知a(2,0) 为圆x2y24上一定点，b(1,1)为圆内一点，p，q为圆上的动点. 【导学号：79140275】(1)求线段ap中点的轨迹方程；(2)若pbq90，求线段pq中点的轨迹方程解(1)设ap的中点为m(x，y)，由中点坐标公式可知，p点坐标为(2x2,2y)因为p点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段ap中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设pq的中点为n(x，y)，在rtpbq中，|pn|bn|，设o为坐标原点，连接on，则onpq，所以|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段pq中点的轨迹方程为x2y2xy10.规律方法求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.(2)定义法：根据圆的定义列方程求解.(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.跟踪训练已知点a(1,0)，点