高考数学一轮复习 高考必考题突破讲座（一）导数及其应用学案.doc

高考必考题突破讲座(一) 导数及其应用,考纲要求考情分析命题趋势函数与导数的压轴试题，在每年的高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个：一是围绕函数的性质考查函数的单调性、极值、最值、曲线的切线等问题展开，二是围绕函数、方程与不等式关系，探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开.2017全国卷，212017全国卷，212017全国卷，212017山东卷，20主要是以解答题的命题方式，考查导数在探求一些不等式、函数、方程等有关综合问题的应用，难度较大.分值：14分1利用导数研究方程的根(或函数的零点)函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围；(3)讨论零点个数的答题模板：第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数2.利用导数研究恒成立、能成立问题求参数的范围,导数在不等式中的应用是高考的热点，常见的命题角度是由不等式恒成立和不等式能成立求参数的范围问题其转化途径：(1)f(x)a恒成立f(x)mina；存在x使f(x)a成立f(x)maxa.(2)f(x)b恒成立f(x)maxb，存在x使f(x)b成立f(x)minb.(3)f(x)g(x)恒成立f(x)min0.(4)任意x1m，任意x2n，f(x1)g(x2)f(x)ming(x)max；任意x1m，存在x2n，f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min；存在x1m，存在x2n，f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min；存在x1m，任意x2n，f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)max.如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值烦琐时，可采用直接构造函数的方法进行分类讨论求解3.利用导数证明不等式,利用导数证明不等式，常以解答题的形式出题，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度有利用导数证明不等式和能成立(恒成立)问题(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题：若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数f(x)f(x)g(x)，如果f(x)0，则f(x)在(a，b)上是减函数，同时若f(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有f(x)0，即证明了f(x)g(x)(2)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明：在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如果证f(x)g(x)在d上成立，只需证明f(x)ming(x)max即可(3)利用导数证明一个不等式，并进行代换、变形，推导一些其他的不等式【例1】 已知函数f(x)ax3bx2cxd为奇函数，且x1处取得极大值2.,(1)求f(x)的解析式；,(2)过点a(1，t)(t2)可作函数f(x)图象的三条切线，求实数t的取值范围解析(1)因为f(x)为奇函数，故bd0，f(x)3ax2c.,又f(1)0，f(1)2，故ac2,3ac0解得a1，c3，故f(x)x33x.,(2)设切点为(x0，y0)，则消去y0，得2x3x3t0.设g(x)2x33x2t3，因为过a的切线有三条，所以g(x)有三个零点，又g(x)6x26x6x(x1)，所以g(x)在(，0)，(1，)上递增在(0,1)上递减，所以g(x)的极小值为g(1)t2，极大值为g(0)t3.所以(t2)(t3)0)当k2时，f(x)211，所以函数f(x)切线斜率的最大值为1(2)因为关于x的方程f(x)k有解，令g(x)f(x)kkln xk，则问题等价于函数g(x)存在零点，所以g(x).当k0时，g(x)0成立，函数g(x)在(0，)上单调递减而g(1)1k0，g110时，令g(x)0，得x.g(x)，g(x)随x的变化情况如下表.xg(x)0g(x)单调递减极小值单调递增所以gkkkln kln k为函数g(x)的最小值当g0时，即0k0，所以函数g(x)存在零点综上，当ka2成立，求实数m的取值集合解析(1)f(x)2ax(x0)若a0，恒有f(x)0，f(x)在(0，)上是增函数；若a0，当0x0，f(x)在上是增函数；若x，f(x)0，f(x)在上是减函数综上，当a0时，f(x)在(0，)上增函数；当aa2成立，等价于maa2f(x)max.因为a(4，2)，所以2a，即ma2，因为a(4，2)，所以2a20，所以实数m的取值集合为m|m2【例4】 已知函数f(x)ln x(ar)(1)若函数f(x)在x1处的切线平行于直线2xy0，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若在1，e(e2.71828)上存在x0，使得x0mf(x0)成立，求实数m的取值范围解析(1)f(x)，函数f(x)在x1处的切线平行于直线2xy0，f(1)1a2，a1(2)存在x01，e，使得x0mf(x0)成立等价于函数h(x)xmf(x)xmln x在1，e上的最小值小于零h(x)1，当m1e，即me1时，h(x)在1，e上单调递减，h(x)的最小值为h(e)，由h(e)em，e1，m；当m11时，即m0时，h(x)在1，e上单调递增，h(x)的最小值为h(1)由h(1)11m0可得m2；当1m1e时，即0me1时，可得h(x)的最小值为h(1m)，0ln (1m)1，0mln(1m)2，此时，h(1m)或m2.【例5】 斜率为k的直线与函数f(x)ln x的图象交于不同的两点a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1x2)，求证：kx10，kln x2ln x11ln 11ln x1)令h(x)ln xx1(x1)，则h(x)1(x1)，x1时，h(x)1时，h(x)h(1)0.即ln x1)，则h(x)(x1)，x1时，h(x)0，h(x)在(1，)是增函数，x1时，h(x)h(1)0，即ln x1.故k(nn*)解析(1)f(x)a，若a0，则f(x)a0，则f(x)在(0，)上是增函数，而f(1)1a，f(x)0不成立，故a0.当x时，f(x)a0；当x时，f(x)a0.f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)的最大值为fln a.要使f(x)0恒成立，只需ln a0，解得a1(2)由(1)知，当a1时，有f(x)0在(0，)上恒成立，ln xx1在x(0,1)上恒成立令x，则ln 1，令n1,2,3，n，则有ln ，ln ，ln .以上各式两边分别相加，得ln ln ln .即ln .【例7】 (2017全国卷)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解析(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)若a0，则f(x)0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增(2)若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点若a0，由(1)知，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)1ln a.当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；当a(1，)时，由于1ln a0，即f(ln a)0，故f(x)没有零点；当a(0,1)时，1ln a0，即f(ln a)2e220，故f(x)在(，ln a)有一个零点设正整数n0满足n0ln ，则f(n0)en0(aen0a2)n0en0n02n0n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)有一个零点综上，a的取值范围为(0,1)1已知函数f(x)ln xax2(2a)x.(1)若函数f(x)f(x)ax2在1，)上为减函数，求a的取值范围；(2)当a1时，g(x)x22xb，当x时，方程f(x)g(x)0有两个不等的实根，求实数b的取值范围解析(1)f(x)ln xax2(2a)xax2ln x(2a)x，f(x)2a.则2a0恒成立，即max1a2，得a3.(2)ln xx2xx22xb即bln x2x23x在上有两个根，令t(x)ln x2x23x，则t(x)4x3(x0)当x0，t(x)在上单调递增；当1x2时，t(x)0，t(2)ln 220，故1ln 2b12已知函数f(x)(ax2x1)ex(ar，且a为常数)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若a1，f(x)的图象与g(x)x3x2m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围解析(1)当a1时，f(x)(x2x1)ex，f(x)x(x3)ex.当x0时，f(x)0；当3x0时，f(x)0时，h(0)0，h(x)是减函数；当1x0，h(x)是增函数；当x1时，h(x)0)，由h(x)(x0)，若h(x)的单调减区间是，由h(1)h0，解得a3，而当a3时，h(x)(x0)由h(x)0)，ax(x0)令(x)x(x0)，则(x)，yx2ln x1在(0，)上是增函数，且x1时，y0.当x(0,1)时，(x)0，即(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，(x)min(1)1，故a1即实数a的取值范围为(，14已知函数f(x)exax2(xr)，e2.718 28为自然对数的底数(1)求函数f(x)在点p(0,1)处的切线方程；(2)若函数f(x)为r上的单调递增函数，试求实数a的取值范围解析(1)由题设，得f(x)ex2ax，f(0)1，f(x)在点p(0,1)处的切线方程为yf(0)f(0)x，即yx1(2)依题意，知f(x)ex2ax0(xr)恒成立，当x0时，有f(x)0恒成立，此时ar.当x0时，有2a，令g(x)，则g(x)，由g(x)0，得x1，当x1时，g(x)0；当0x1时，g(x)0.g(x)ming(1)e，则有2ag(x)mine，a.当x0时，有2a，0，则有2a0，a0.又a0时，f(x)ex0恒成立综上，若函数f(x)为r上的单调递增函数，所求a.5(2016全国卷节选)设函数f(x)ln xx1(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x(1，)时，1x.解析(1)依题意，f(x)的定义域为(0，)f(x)1.当0x0；当x1时，