高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 坐标系与参数方程学案 选修44.doc

选修44坐标系与参数方程第1课时坐标系理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，能运用极坐标解决相关问题. 了解极坐标系. 会正确将极坐标方程化为直角坐标方程. 会根据所给条件建立直线、圆的极坐标方程，并能运用极坐标解题.1. （选修44p11例5改编）在直角坐标系中，点p的坐标为（，），求点p的极坐标.解：2，tan ，又点p在第三象限，得，即p（2，）.2. （选修44p17习题9改编）在极坐标系中，已知a，b两点的极坐标分别为，求aob（其中o为极点）的面积.解：由题意a，b两点的极坐标分别为，得aob的面积saoboaobsinaob34sin3.3. 在极坐标系中，求圆2cos 的圆心到直线2sin1的距离.解：圆的普通方程为（x1）2y21，直线的普通方程为xy10， 圆心到直线的距离为d.4. （选修44p19例1改编）在极坐标系中，求过圆2sin 的圆心，且与极轴平行的直线的极坐标方程.解：由题意，圆2sin ，可化为22sin ，化成直角坐标方程为x2y22y，即x2（y1）21，圆心是（0，1），所求直角坐标方程为y1，所以其极坐标方程为sin 1.5. 在极坐标系中，求圆4上的点到直线（cos sin ）8的距离的最大值.解：把4化为直角坐标方程为x2y216，把（cos sin ）8化为直角坐标方程为xy80， 圆心（0，0）到直线的距离为d4， 直线和圆相切， 圆上的点到直线的最大距离是8.1. 极坐标系是由距离（极径）与方向（极角）确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对（，）与点不一一对应.这点应与直角坐标系区别开来.2. 在极坐标系中，同一个点m的坐标形式不尽相同，m（，）可表示为（，2n）（nz）.3. 在极坐标系中，极径可以为负数，故m（，）可表示为（，（2n1）（nz）.4. 特别地，若0，则极角可取任意角.5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点m（，），建立等式，化简即得.6. 常见曲线的极坐标方程（1） 过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程为（r）或（r）；（2） 过点（a，0）（a0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为cos a；（3） 过点，与极轴平行的直线的极坐标方程为sin a；（4） 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为r；（5） 圆心为（a，0），半径为a的圆的极坐标方程为2acos ；（6） 圆心为，半径为a的圆的极坐标方程为2asin .7. 以平面直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，平面内任一点p的直角坐标（x，y）与极坐标（，）可以互换，公式是 和,1求极坐标或极坐标方程),1)在极坐标系中，已知点a，圆c的方程为4sin （圆心为点c），求直线ac的极坐标方程.解：（解法1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xoy.圆c的平面直角坐标方程为x2y24y，即x2（y2）28，圆心c（0，2）.点a的直角坐标为（，）.直线ac的斜率kac1.所以直线ac的直角坐标方程为yx2，极坐标方程为（cos sin ）2，即sin2.（解法2）在直线ac上任取一点m（，），不妨设点m在线段ac上.由于圆心为c，soacsoamsocm，所以22sin 2sin2sin，即（cos sin ）2，化简，得直线ac的极坐标方程为sin2.在极坐标系中，求曲线2cos 关于直线（r）对称的曲线的极坐标方程.解：（解法1）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线2cos 的直角坐标方程为（x1）2y21，且圆心c的坐标为（1，0），直线的直角坐标方程为yx.因为圆心c（1，0）关于yx的对称点为（0，1），所以圆c关于yx的对称曲线为x2（y1）21，所以曲线2cos 关于直线对称的曲线的极坐标方程为2sin .（解法2）设曲线2cos 上任意一点为（，），其关于直线的对称点为（，），则将（，）代入2cos ，得2cos，即2sin ，所以曲线2cos 关于直线（r）对称的曲线的极坐标方程为2sin .,2极坐标方程与直角坐标方程的互化),2)（2017苏州期中）已知在平面直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为（为参数，r0）.以直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin10.（1） 求圆c的圆心的极坐标；（2） 当圆c与直线l有公共点时，求r的取值范围.解：（1） 由c：得（x2）2（y2）2r2， 曲线c是以（2，2）为圆心，r为半径的圆， 圆心的极坐标为.（2） 由直线l：sin10，得直线l的直角坐标方程为xy10，从而圆心（2，2）到直线l的距离d . 圆c与直线l有公共点， dr，即r .变式训练（2017苏州期初）自极点o任意作一条射线与直线cos 3相交于点m，在射线om上取点p，使得omop12，求动点p的轨迹的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程.解：设p（，），m（，）， omop12， 12. cos 3， cos 3.则动点p的轨迹的极坐标方程为4cos . 极点在此曲线上， 方程两边可同时乘，得24cos . x2y24x0.,3曲线的极坐标方程的应用),3)在极坐标系中，曲线c：2acos （a0），直线l：cos，c与l有且仅有一个公共点.（1） 求a；（2） o为极点，a，b为c上的两点，且aob，求oaob的最大值.解：（1） 曲线c是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；直线l的直角坐标方程为xy30.由直线l与圆c相切可得a，解得a1.（2） 不妨设a的极角为，b的极角为，则oaob2cos 2cos3cos sin 2cos，当时，oaob取得最大值2.变式训练在直角坐标系xoy中，圆c的方程为（x）2（y1）29，以o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1） 求圆c的极坐标方程；（2） 直线op：（r）与圆c交于点m，n，求线段mn的长.解：（1） （x）2（y1）29可化为x2y22x2y50，故其极坐标方程为22cos 2sin 50.（2） 将代入22cos 2sin 50，得2250， 122，125，|mn|12|2.1. （2017苏北四市期中）已知曲线c的极坐标方程为sin（）3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线c的直角坐标方程.解：由sin3，得sin cos 3.又cos x，sin y，所以曲线c的直角坐标方程为xy60.2. （2017苏锡常镇一模）已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为2，22cos2.（1） 把圆o1和圆o2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解：（1） 由224，所以x2y24.因为22cos2，所以222，所以x2y22x2y20.（2） 将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.3. （2017苏北三市模拟）在极坐标系中，已知点a，点b在直线l：cos sin 0（02）上.当线段ab最短时，求点b的极坐标.解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点a的直角坐标为（0，2），直线l的直角坐标方程为xy0.ab最短时，点b为直线xy20与直线l的交点，由解得所以点b的直角坐标为（1，1）.所以点b的极坐标为.4. （2017常州期末）在平面直角坐标系中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知圆4sin（）（0）被射线0（0为常数，且0）所截得的弦长为2，求0的值.解：圆4sin的直角坐标方程为（x1）2（y）24，射线0的直角坐标方程可以设为ykx（x0，k0），圆心（1，）到直线ykx的距离d.根据题意，得22，解得k，即tan 0.又0，所以0.1. （2017南通、扬州、泰州模拟）在极坐标系中，圆c的圆心在极轴上，且过极点和点，求圆c的极坐标方程.解：（解法1）因为圆c的圆心在极轴上且过极点，所以可设圆c的极坐标方程为acos .又点在圆c上，所以3acos ，解得a6.所以圆c的极坐标方程为6cos .（解法2）点的直角坐标为（3，3）.因为圆c过点（0，0），（3，3），所以圆心在直线xy30上.又圆心c在极轴上，所以圆c的直角坐标方程为（x3）2y29.所以圆c的极坐标方程为6cos .2. 已知在极坐标系下，圆c：2cos与直线l：sin，点m为圆c上的动点.求点m到直线l距离的最大值.解：圆c：2cos，即 x2y22y0，x2（y1）21，表示圆心为（0，1），半径等于1的圆.直线l：sin，即cos sin 20，即 xy20，圆心到直线l的距离为，故圆上的动点m到直线l的距离的最大值等于1.3. 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆c的极坐标方程为4cos .（1） 求出圆c的直角坐标方程；（2） 已知圆c与x轴相交于a，b两点，若直线l：y2x2m上存在点p使得apb90，求实数m的最大值.解：（1） 由4cos 得24cos ，即x2y24x0，即圆c的标准方程为（x2）2y24.（2） l的方程为y2x2m，而ab为圆c的直径，故直线l上存在点p使得apb90的充要条件是直线l与圆c有公共点，故2，于是实数m的最大值为2.4. 在极坐标系中，已知直线2cos sin a0（a0）被圆4sin 截得的弦长为2，求a的值.解：以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2xya0，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2y24y，即x2（y2）24.因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆心（0，2）到直线的距离为，即，因为a0，所以a2.1. 极坐标方程与直角坐标方程的互化（1） 将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式xcos ，ysin 即可.常用方法有代入法、平方法，还经常用到同乘（或除以）等技巧.（2） 将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用xcos ，ysin 以及，tan （x0），同时要掌握必要的技巧，通常情况下，由tan 确定角时，应根据点p所在象限取最小正角.在这里要注意：当x0时，角才能由tan 按上述方法确定.当x0时，tan 没有意义，这时又分三种情况：当x0，y0时，可取任何值；当x0，y0时，可取；当x0，yb0）的参数方程是（为参数）.（4） 双曲线方程1（a0，b0）的参数方程是 （t为参数）.（5） 抛物线方程y22px（p0）的参数方程是（t为参数）.4. 在参数方程与普通方程的互化中要注意变量的取值范围.1参数方程与普通方程的互化1（2017南京、盐城期末）在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：（t为参数）.现以坐标原点o为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设圆c的极坐标方程为2cos ，直线l与圆c交于a，b两点，求弦ab的长.解：直线l：（t为参数）化成普通方程为4x3y0，圆c的极坐标方程2cos 化成直角坐标方程为（x1）2y21，则圆c的圆心到直线l的距离d，所以ab2.变式训练在平面直角坐标系xoy中，已知直线（t为参数）与曲线（为参数）相交于a，b两点，求线段ab的长.解：将直线的参数方程化为普通方程，得y2x1.将曲线的参数方程化为普通方程，得y12x2（1x1）.由，得或所以a（1，1），b（0，1）或a（0，1），b（1，1），从而ab.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为2sin 2cos .若直线l与曲线c相交于a，b两点，求线段ab的长.解：由2sin 2cos ，可得22sin 2cos ，所以曲线c的直角坐标方程为x2y22y2x，标准方程为（x1）2（y1）22.直线l的方程化成普通方程为xy10.圆心到直线l的距离为d，所求弦长ab2.,2求曲线参数方程),2)如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程.解：设p（x，y），则随着取值变化，p可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x2y2x0，即y2，表示以为圆心，为半径的圆，可得弦op1cos ，所以从而故已知圆的参数方程为（为参数）.已知直线c1：（t为参数），曲线c2：（为参数）.（1） 当时，求c1与c2的交点坐标；（2） 过坐标原点o作c1的垂线，垂足为a，p为oa的中点，当变化时，求点p轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解：（1） 当时，c1的普通方程为y（x1），c2的普通方程为x2y21，联立构成方程组解得c1与c2的交点坐标分别为（1，0），.（2） 依题意，c1的普通方程为xsin ycos sin 0，则a点的坐标为（sin2，sin cos ），故当变化时，p点轨迹的参数方程为（为参数），所以点p轨迹的普通方程为y2.故点p的轨迹是圆心为，半径为的圆.,3参数方程的应用),3)（2017南通、泰州模拟）在平面直角坐标系xoy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于a，b两点，求线段ab的长.解：（解法1）将曲线（t为参数）化成普通方程为y28x，将直线（l为参数）代入y28x，整理得l28l240，解得l12，l26.则|l1l2|4，所以线段ab的长为4.（解法2）将曲线（t为参数）化成普通方程为y28x，将直线（l为参数）化成普通方程为xy0，由得或所以ab的长为4.已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆c：（为参数）的右焦点f.（1） 求m的值；（2） 设直线l与椭圆c交于a，b两点，求fafb的最大值与最小值.解：（1） 椭圆的参数方程化为普通方程，得1.因为a5，b3，所以c4，所以点f的坐标为（4，0）.因为直线l经过点（m，0），所以m4.（2） 将直线l的参数方程代入椭圆c的普通方程，并整理得（9cos225sin2）t272tcos 810.设点a，b在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则fafb|t1t2|.当sin 0时，fafb取最大值9；当sin 1时，fafb取最小值.,4极坐标、参数方程的综合应用),4)（2017苏锡常镇二模）在平面直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线c1的参数方程为（0，2，为参数），曲线c2的极坐标方程为sina（ar），若曲线c1与曲线c2有且仅有一个公共点，求实数a的值.解：曲线c1的方程为（x）2（y3）24，圆心坐标为（，3），半径为2. 曲线c2的极坐标方程为sina（ar）， 曲线c2的直角坐标方程为xy2a0. 曲线c1与曲线c2有且仅有一个公共点， 2，解得a1或a5.在平面直角坐标系xoy中，曲线c：（为参数）.以原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（cos sin ）40.求曲线c上的点到直线l的最大距离.解：将l转化为直角坐标方程为xy40.在c上任取一点a（cos ，sin ），0，2），则点a到直线l的距离为dsin2.当时，d取得最大值，最大值为2，此时a点为（，1）.1. 在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c1的极坐标方程为sina，曲线c2的参数方程为（t为参数，0t）.当c1与c2有公共点时，求实数a的取值范围.解：曲线c1的直角坐标方程为xya.若c1与c2有公共点，则axysin tcos t2在t0，上有解，又sin tcos t2sin2，因为t0，所以t，sin，所以a的取值范围为3，2.2. （2017苏北四市期末）在平面直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l：sinm（mr），圆c的参数方程为（t为参数）.当圆心c到直线l的距离为时，求m的值.解：直线l的直角坐标方程为xym0，圆c的普通方程为（x1）2（y2）29，圆心c到直线l的距离为，解得m1或m5.3. （2016江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆c的参数方程为（为参数）.设直线l与椭圆c相交于a，b两点，求线段ab的长.解：椭圆c的普通方程为x21，将直线l的参数方程代入x21，得1，即7t216t0，解得t10，t2.所以ab|t1t2|.4. （2017扬州期末）在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，试求直线l与曲线c的交点的直角坐标.解：将直线l的极坐标方程化成直角坐标方程为yx，将曲线c的参数方程化成普通方程为y2x2（1x1）.由得x2x20，解得x1或x2.又1x1，所以x1，所以直线l与曲线c的交点的直角坐标为（1，1）.1. 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为（r），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线c的参数方程为（为参数），求直线l与曲线c的交点p的直角坐标.解：因为直线l的极坐标方程为（r），所以直线l的普通方程为yx.又曲线c的参数方程为（为参数），所以曲线c的直角坐标方程为yx2（x2，2），联立解方程