高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举例试题 理 北师大版.doc

第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举例试题 理 北师大版1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力f与位移s的数量积，即wfs|f|s|cos (为f与s的夹角)3向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题【知识拓展】1若g是abc的重心，则0.2若直线l的方程为axbyc0，则向量(a，b)与直线l垂直，向量(b，a)与直线l平行【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则a，b，c三点共线()(2)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(3)在abc中，若0，则abc为钝角三角形()(4)已知平面直角坐标系内有三个定点a(2，1)，b(0，10)，c(8,0)，若动点p满足：t()，tr，则点p的轨迹方程是xy10.()1(教材改编)已知abc的三个顶点的坐标分别为a(3,4)，b(5,2)，c(1，4)，则该三角形为()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d等腰直角三角形答案b解析(2，2)，(4，8)，(6，6)，|2，|4，|6，|2|2|2，abc为直角三角形2已知在abc中，|10，16，d为边bc的中点，则|等于()a6 b5c4 d3答案d解析在abc中，由余弦定理可得，ab2ac22abaccos abc2，又|cos a16，所以ab2ac232100，ab2ac268.又d为边bc的中点，所以2，两边平方得4|2683236，解得|3，故选d.3(2016武汉模拟)平面直角坐标系xoy中，若定点a(1,2)与动点p(x，y)满足4，则点p的轨迹方程是_答案x2y40解析由4，得(x，y)(1,2)4，即x2y4.4(2016银川模拟)已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，则|2ab|的最大值为_答案4解析设a与b夹角为，|2ab|24a24abb284|a|b|cos 88cos ，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|20,16，|2ab|0,4|2ab|的最大值为4.5已知一个物体在大小为6 n的力f的作用下产生的位移s的大小为100 m，且f与s的夹角为60，则力f所做的功w_ j.答案300解析wfs|f|s|cosf，s6100cos 60300(j)题型一向量在平面几何中的应用例1(1)在平行四边形abcd中，ad1，bad60，e为cd的中点若1，则ab_.(2)已知o是平面上的一定点，a，b，c是平面上不共线的三个动点，若动点p满足()，(0，)，则点p的轨迹一定通过abc的()a内心 b外心 c重心 d垂心答案(1)(2)c解析(1)在平行四边形abcd中，取ab的中点f，则，又，()()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.(2)由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是abc的中线ad(d为bc的中点)所对应向量的2倍，所以点p的轨迹必过abc的重心引申探究本例(2)中，若动点p满足，(0，)，则点p的轨迹一定通过abc的_答案内心解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分bac，即平分bac，所以点p的轨迹必过abc的内心思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解(1)在abc中，已知向量与满足()0，且，则abc为()a等边三角形b直角三角形c等腰非等边三角形d三边均不相等的三角形(2)已知直角梯形abcd中，adbc，adc90，ad2，bc1，p是腰dc上的动点，则|3|的最小值为_答案(1)a(2)5解析(1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为bac的平分线因为()0，所以bac的平分线垂直于bc，所以abac.又cosbac，所以cosbac，又0bac，故bac，所以abc为等边三角形(2)以d为原点，分别以da，dc所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设dca，dpy.则d(0,0)，a(2,0)，c(0，a)，b(1，a)，p(0，y)，(2，y)，(1，ay)，则3(5,3a4y)，即|3|225(3a4y)2，由点p是腰dc上的动点，知0ya.因此当ya时，|3|2的最小值为25.故|3|的最小值为5.题型二向量在解析几何中的应用例2(1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且a、b、c三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_(2)设o为坐标原点，c为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点m(x，y)满足0，则_.答案(1)2xy30(2)解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0可知k2，则过点(2，1)且斜率为2的直线方程为y12(x2)，即2xy30.(2)0，omcm，om是圆的切线，设om的方程为ykx，由，得k，即.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法(2016合肥模拟)如图所示，半圆的直径ab6，o为圆心，c为半圆上不同于a、b的任意一点，若p为半径oc上的动点，则()的最小值为_答案解析圆心o是直径ab的中点，2，()2，与共线且方向相反，当大小相等时，乘积最小由条件知，当popc时，最小值为2.题型三向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用例3已知x，y满足若(x,1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是_答案解析因为(x,1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图像可知，当目标函数z2xy过点c(1,1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点f(a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a.命题点2向量在解三角形中的应用例4(2016合肥模拟)在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若20a15b12c0，则abc最小角的正弦值等于()a. b.c. d.答案c解析20a15b12c0，20a()15b12c0，(20a15b)(12c20a)0，与不共线，abc最小角为角a，cos a，sin a，故选c.命题点3向量在物理中的应用例5如图，一质点受到平面上的三个力f1，f2，f3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知f1，f2成60角，且f1，f2的大小分别为2和4，则f3的大小为()a2 b2c2 d6答案a解析如题图所示，由已知得f1f2f30，则f3(f1f2)，即fff2f1f2ff2|f1|f2|cos 6028.故|f3|2.思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化(1)函数ysin(x)在一个周期内的图像如图所示，m、n分别是最高点、最低点，o为坐标原点，且0，则函数f(x)的最小正周期是_(2)已知在平面直角坐标系中，o(0,0)，m(1,1)，n(0,1)，q(2，3)，动点p(x，y)满足不等式01,01，则z的最大值为_答案(1)3(2)3解析(1)由图像可知，m，n，所以(xn，1)xn10，解得xn2，所以函数f(x)的最小正周期是23.(2)(x，y)，(1,1)，(0,1)，(2,3)，xy，y，2x3y，即在条件下，求z2x3y的最大值，由线性规划知识得，当x0，y1时，zmax3.三审图形抓特点典例(2016太原一模)已知a，b，c，d是函数ysin(x)一个周期内的图像上的四个点，如图所示，a，b为y轴上的点，c为图像上的最低点，e为该函数图像的一个对称中心，b与d关于点e对称，在x轴上的射影为，则，的值为()a2， b2，c， d，解析由e为该函数图像的一个对称中心，作点c的对称点m，作mfx轴，垂足为f，如图b与d关于点e对称，在x轴上的射影为，知of.又a，所以af，所以2.同时函数ysin(x)图像可以看作是由ysin x的图像向左平移得到，故可知，即.答案a1在abc中，()|2，则abc的形状一定是()a等边三角形 b等腰三角形c直角三角形 d等腰直角三角形答案c解析由()|2，得()0，即()0,20，a90.又根据已知条件不能得到|，故abc一定是直角三角形2(2016山东)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为()a4 b4 c. d答案b解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得t|n|2|n|20，解得t4，故选b.3(2016南宁模拟)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)且ab，则sin 2等于()a3 b3c. d答案d解析由ab得cos 2sin 0，cos 2sin ，又sin2cos21，5sin21，sin2，cos2，sin 22sin cos cos2.4(2016武汉模拟)设abc的三个内角为a，b，c，向量m(sin a，sin b)，n(cos b，cos a)，若mn1cos(ab)，则c等于()a. b.c. d.答案c解析依题意得sin acos bcos asin b1cos(ab)，sin(ab)1cos(ab)，sin ccos c1,2sin(c)1，sin(c).又c0，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|.9已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在r上有极值，则向量a与b的夹角的范围是_答案解析设a与b的夹角为.f(x)x3|a|x2abx，f(x)x2|a|xab.函数f(x)在r上有极值，方程x2|a|xab0有两个不同的实数根，即|a|24ab0，ab，又|a|2|b|0，cos ，即cos ，又0，. 10.已知圆c：(x2)2y24，圆m：(x25cos )2(y5sin )21(r)，过圆m上任意一点p作圆c的两条切线pe，pf，切点分别为e，f，则的最小值是_答案6解析圆(x2)2y24的圆心c(2,0)，半径为2，圆m(x25cos )2(y5sin )21，圆心m(25cos ，5sin )，半径为1，cm521，故两圆相离如图所示，设直线cm和圆m交于h，g两点，则最小值是，hccm1514，hfhe2，sinche，cosehfcos 2che12sin2che，|cosehf226.11已知点p(0，3)，点a在x轴上，点q在y轴的正半轴上，点m满足0，当点a在x轴上移动时，求动点m的轨迹方程解设m(x，y)为所求轨迹上任一点，设a(a,0)，q(0，b)(b0)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)，b0，y0，把a代入，得3y0，整理得yx2(x0)动点m的轨迹方程为yx2(x0)12已知角a，b，c是abc的内角，a，b，c分别是其所对边长，向量m(2sin ，cos2)，n(cos ，2)，mn.(1)求角a的大小；(2)若a2，cos b，求b的长解(1)已知mn，所以mn(2sin ，cos2)(cos ，2)sin a(cos a1)0，即sin acos a1，即sin(a)，因为0a，所以a.所以a，所以a.(2)在abc中，a，a2，cos b，sin