高考数学 考点突破——立体几何初步：直线、平面平行的判定及其性质学案.doc

直线、平面平行的判定及其性质【考点梳理】1直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abp，a，b，a，b，a，结论aba3与垂直相关的平行的判定(1)a，bab.(2)a，a.【考点突破】考点一、与线、面平行相关命题真假的判断【例1】已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()am，n，则mn bmn，m，则ncm，m，则 d，则答案 c解析 a中，m与n平行、相交或异面，a不正确；b中，n或n，b不正确；根据线面垂直的性质，c正确；d中，或与相交于一条直线，d错误.【类题通法】1判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项2(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确【对点训练】若m，n表示不同的直线，表示不同的平面，则下列结论中正确的是()a若m，mn，则nb若m，n，m，n，则c若，m，n，则mnd若，m，nm，n，则n答案 d解析 在a中，若m，mn，则n或n，故a错误在b中，若m，n，m，n，则与相交或平行，故b错误在c中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故c错误在d中，若，m，nm，n，则由线面平行的判定定理得n，故d正确考点二、直线与平面平行的判定与性质【例2】如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adbc，abadac3，pabc4，m为线段ad上一点，am2md，n为pc的中点.(1)证明：mn平面pab；(2)求四面体nbcm的体积.解析 (1)由已知得amad2.如图，取bp的中点t，连接at，tn，由n为pc中点知tnbc，tnbc2.又adbc，故tn綉am，所以四边形amnt为平行四边形，于是mnat.因为at平面pab，mn平面pab，所以mn平面pab.(2)因为pa平面abcd，n为pc的中点，所以n到平面abcd的距离为pa.如图，取bc的中点e，连接ae.由abac3得aebc，ae.由ambc得m到bc的距离为，故sbcm42.所以四面体nbcm的体积vnbcmsbcm.【类题通法】1判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用反证法(线面平行的定义)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)2利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线【对点训练】如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点(1)证明：pb平面aec；(2)设ap1，ad，三棱锥pabd的体积v，求a到平面pbc的距离解析 (1)设bd与ac的交点为o，连接eo.因为四边形abcd为矩形，所以o为bd的中点，又e为pd的中点，所以eopb.因为eo平面aec，pb平面aec，所以pb平面aec.(2)由vpaabadab，又v，可得ab.作ahpb交pb于点h.由题设知bc平面pab，所以bcah，故ah平面pbc.在rtpab中，由勾股定理可得pb，所以ah.所以a到平面pbc的距离为.考点三、平面与平面平行的判定与性质【例3】如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，e，f，g，h分别是ab，ac，a1b1，a1c1的中点，求证：(1)b，c，h，g四点共面；(2)平面efa1平面bchg.解析 (1)g，h分别是a1b1，a1c1的中点，gh是a1b1c1的中位线，ghb1c1.又b1c1bc，ghbc，b，c，h，g四点共面.(2)在abc中，e，f分别为ab，ac的中点，efbc.ef平面bchg，bc平面bchg，ef平面bchg.a1g綊eb，四边形a1ebg是平行四边形，则a1egb.a1e平面bchg，gb平面bchg，a1e平面bchg.a1eefe，平面efa1平面bchg.【变式1】在本例条件下，若点d为bc1的中点，求证：hd平面a1b1ba.解析 如图所示，连接hd，a1b，d为bc1的中点，h为a1c1的中点，hda1b.又hd平面a1b1ba，a1b平面a1b1ba，hd平面a1b1ba.【变式2】在本例中，若将条件“e，f，g，h分别是ab，ac，a1b1，a1c1的中点”变为“d1，d分别为b1c1，bc的中点”，求证：平面a1bd1平面ac1d.解析 如图所示，连接a1c交ac1于点m，四边形a1acc1是平行四边形，m是a1c的中点，连接md，d为bc的中点，a1bdm.a1b平面a1bd1，dm平面a1bd1，dm平面a1bd1，又由三棱柱的性质知，d1c1綉bd，四边形bdc1d1为平行四边形，dc1bd1.又dc1平面a1bd1，bd1平面a1bd1，dc1平面a1bd1，又dc1dmd，dc1，dm平面ac1d，因此平面a1bd1平面ac1d.【变式3】在本例中，若将条件“e，f，g，h分别是ab，ac，a1b1，a1c1的中点”变为“点d，d1分别是ac，a1c1上的点，且平面bc1d平面ab1d1”，试求的值.解析 连接a1b交ab1于o，连接od1.由平面bc1d平面ab1d1，且平面a1bc1平面bc1dbc1，平面a1bc1平面ab1d1d1o，所以bc1d1o，则1.又由题设，1，即1.【类题通法】1判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)2面面平行的性质定理的作用：(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向【对点训练】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母f，g，h标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面beg与平面ach的位置关系，并证明你的结论.解析 (1)点f，g，h的位置如图所示.(2)平面beg平面ac