高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 抛物线及其性质练习 理.doc

9.6抛物线及其性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.抛物线的定义及其标准方程掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握2017课标全国,16;2016课标全国,10;2016四川,8;2016浙江,9;2015陕西,14;2014湖南,15;2013广东,20选择题解答题2.抛物线的几何性质掌握2017课标全国,10;2016天津,14;2015浙江,5;2014上海,3;2013北京,7选择题解答题3.直线与抛物线的位置关系掌握2017北京,18;2016江苏,22;2014大纲全国,21;2014课标,10选择题解答题分析解读1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.五年高考考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2016课标全国,10,5分)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a,b两点,交c的准线于d,e两点.已知|ab|=4,|de|=2,则c的焦点到准线的距离为() a.2b.4c.6d.8答案b2.(2016四川,8,5分)设o为坐标原点,p是以f为焦点的抛物线y2=2px(p0)上任意一点,m是线段pf上的点,且|pm|=2|mf|,则直线om的斜率的最大值为()a.b.c.d.1答案c3.(2017课标全国,16,5分)已知f是抛物线c:y2=8x的焦点,m是c上一点,fm的延长线交y轴于点n.若m为fn的中点,则|fn|=.答案64.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点m到焦点的距离为10,则m到y轴的距离是.答案9教师用书专用(58)5.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案26.(2014湖南,15,5分)如图,正方形abcd和正方形defg的边长分别为a,b(a0)经过c,f两点,则=.答案1+7.(2013广东,20,14分)已知抛物线c的顶点为原点,其焦点f(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设p为直线l上的点,过点p作抛物线c的两条切线pa,pb,其中a,b为切点.(1)求抛物线c的方程;(2)当点p(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线ab的方程;(3)当点p在直线l上移动时,求|af|bf|的最小值.解析(1)依题意,设抛物线c的方程为x2=4cy,由题意易知=,且结合c0,解得c=1.所以抛物线c的方程为x2=4y.(2)抛物线c的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y=x.设a(x1,y1),b(x2,y2),则切线pa,pb的斜率分别为x1,x2,所以切线pa的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线pb的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线pa,pb均过点p(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线ab的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|af|=y1+1,|bf|=y2+1,所以|af|bf|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|af|bf|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又点p(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.所以当y0=-时,|af|bf|取得最小值,且最小值为.8.(2013湖南,21,13分)过抛物线e:x2=2py(p0)的焦点f作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与e相交于点a,b,l2与e相交于点c,d,以ab,cd为直径的圆m,圆n(m,n为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10,k20,证明:0,k20,k1k2,所以0k1k2=1.故0,所以点m到直线l的距离d=.故当k1=-时,d取最小值.由题设知=,解得p=8.故所求的抛物线e的方程为x2=16y.考点二抛物线的几何性质1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为f,不经过焦点的直线上有三个不同的点a,b,c,其中点a,b在抛物线上,点c在y轴上,则bcf与acf的面积之比是()a.b.c.d.答案a2.(2013四川,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是()a.b.c.1d.答案b3.(2016天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p0)的焦点为f,准线为l.过抛物线上一点a作l的垂线,垂足为b.设c,af与bc相交于点e.若|cf|=2|af|,且ace的面积为3,则p的值为.答案教师用书专用(45)4.(2013北京,7,5分)直线l过抛物线c:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与c所围成的图形的面积等于()a.b.2c.d.答案c5.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p0)的焦点为f,其准线与双曲线-=1相交于a,b两点,若abf为等边三角形,则p=.答案6考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014课标,10,5分)设f为抛物线c:y2=3x的焦点,过f且倾斜角为30的直线交c于a,b两点,o为坐标原点,则oab的面积为()a.b.c.d.答案d2.(2014辽宁,10,5分)已知点a(-2,3)在抛物线c:y2=2px的准线上,过点a的直线与c在第一象限相切于点b,记c的焦点为f,则直线bf的斜率为()a.b.c.d.答案d3.(2017北京,18,14分)已知抛物线c:y2=2px过点p(1,1).过点作直线l与抛物线c交于不同的两点m,n,过点m作x轴的垂线分别与直线op,on交于点a,b,其中o为原点.(1)求抛物线c的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:a为线段bm的中点.解析(1)由抛物线c:y2=2px过点p(1,1),得p=.所以抛物线c的方程为y2=x.抛物线c的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k0),l与抛物线c的交点为m(x1,y1),n(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点p的坐标为(1,1),所以直线op的方程为y=x,点a的坐标为(x1,x1).直线on的方程为y=x,点b的坐标为.因为y1+-2x1=0,所以y1+=2x1.故a为线段bm的中点.教师用书专用(45)4.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线c:y2=2px(p0).(1)若直线l过抛物线c的焦点,求抛物线c的方程;(2)已知抛物线c上存在关于直线l对称的相异两点p和q.求证:线段pq的中点坐标为(2-p,-p);求p的取值范围.解析(1)抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线c的方程为y2=8x.(2)设p(x1,y1),q(x2,y2),线段pq的中点m(x0,y0).因为点p和q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段pq,于是直线pq的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为p和q是抛物线c上的相异两点,所以y1y2,从而=(2p)2-4(-2pb)0,化简得p+2b0.方程(*)的两根为y1,2=-p,从而y0=-p.因为m(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段pq的中点坐标为(2-p,-p).因为m(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以p0)的焦点为f,直线y=4与y轴的交点为p,与c的交点为q,且|qf|=|pq|.(1)求c的方程;(2)过f的直线l与c相交于a、b两点,若ab的垂直平分线l与c相交于m、n两点,且a、m、b、n四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|pq|=,|qf|=+x0=+.由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以c的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故ab的中点为d(2m2+1,2m),|ab|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设m(x3,y3),n(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故mn的中点为e,|mn|=|y3-y4|=.(10分)由于mn垂直平分ab,故a、m、b、n四点在同一圆上等价于|ae|=|be|=|mn|,从而|ab|2+|de|2=|mn|2,即4(m2+1)2+=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)三年模拟a组20162018年模拟基础题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2018陕西西安一模,3)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则p的值为() a.-2b.2c.-4d.4答案d2.(2018云南昆明质检,7)已知点m是抛物线c:y2=2px(p0)上一点,f为c的焦点,mf的中点坐标是(2,2),则p的值为()a.1b.2c.3d.4答案d3.(2017皖北协作区3月联考,3)已知抛物线c:x2=2py(p0),若直线y=2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线c的方程为() a.x2=8yb.x2=4yc.x2=2yd.x2=y答案c4.(2017河南百校联盟质检,4)已知抛物线c:y2=4x上一点a到焦点f的距离与其到对称轴的距离之比为54,且|af|2,则点a到原点的距离为()a.3b.4c.4d.4答案b5.(2017河南新乡二模,14)已知点a(1,y1),b(9,y2)是抛物线y2=2px(p0)上的两点,y2y10,点f是抛物线的焦点,若|bf|=5|af|,则+y2的值为.答案10考点二抛物线的几何性质6.(2018青海西宁模拟,8)抛物线y2=16x的焦点为f,点a在y轴上,且满足|=|,b是抛物线的准线与x轴的交点,则=()a.-4b.4c.0d.-4或4答案c7.(2018贵州贵阳一模,8)过点m作圆x2+y2=1的切线l,l与x轴的交点为抛物线e:y2=2px(p0)的焦点,l与抛物线e交于a、b两点,则ab的中点到抛物线e的准线的距离为()a.b.3c.d.4答案d8.(2017江西红色七校一联,7)已知抛物线y=x2和y=-x2+5所围成的封闭曲线如图所示,给定点a(0,a),若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点a对称,则实数a的取值范围是()a.(1,3)b.(2,4)c.d.答案d9.(2017江西九校联考,14)已知过抛物线y2=4x的焦点f的直线交抛物线于a、b两点,|af|=2,则|bf|=.答案2考点三直线与抛物线的位置关系10.(2018河南安阳模拟,7)已知点a(-1,-2)在抛物线c:y2=2px(p0)的准线上,记c的焦点为f,过点f且与x轴垂直的直线与抛物线交于m,n两点,则线段mn的长为()a.4b.2c.2d.1答案a11.(2018四川南充模拟,7)如图,过抛物线x2=2py(p0)的焦点f的直线l交抛物线于a,b两点,交其准线于点c,若|bc|=|bf|,且|af|=4+2,则p=()a.1b.2c.d.3答案b12.(2017广东汕头一模,11)过抛物线c:x2=2y的焦点f的直线l交抛物线c于a,b两点,若抛物线c在点b处的切线的斜率为1,则|af|=()a.1b.2c.3d.4答案a13.(人教a选21,二,2-4a,5,变式)过抛物线y2=2px(p0)的焦点f的一条直线与双曲线x2-=1的一条渐近线平行,并交抛物线于a、b两点,若|af|bf|,且|af|=2,则抛物线的方程为()a.y2=2xb.y2=3xc.y2=4xd.y2=x答案ab组20162018年模拟提升题组(满分:40分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共10分) 1.(2018河南开封一模,10)抛物线m:y2=4x的准线与x轴交于点a,点f为焦点,若抛物线m上一点p满足papf,则以f为圆心且过点p的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据:2.24)()a.b.c.d.答案d2.(2017山西五校3月联考,11)已知抛物线c:y2=2px(p0)上一点(5,m)到焦点的距离为6,p、q分别为抛物线c与圆m:(x-6)2+y2=1上的动点,当|pq|取得最小值时,向量在x轴正方向上的投影为() a.2-b.2-1c.1-d.-1答案a二、填空题(每小题5分,共15分)3.(2017河北唐山调研,15)已知抛物线x2=4y与圆c:(x-1)2+(y-2)2=r2(r0)有公共点p,若抛物线在p点处的切线与圆c也相切,则r=.答案4.(2017河南商丘模拟,16)如图所示,已知抛物线y2=2px(p0)的焦点恰好是椭圆+=1(ab0)的右焦点f,且两曲线交点的连线也过焦点f,则该椭圆的离心率为.答案-15.(2017湖北孝感模拟,16)已知抛物线x2=4py(p0)的焦点为f,直线y=x+2与该抛物线交于a,b两点,m是线段ab的中点,过m作x轴的垂线,垂足为n,若+(+)=-1-5p2,则p的值为.答案三、解答题(共15分)6.(2018辽宁大连模拟,20)如图,已知过抛物线e:x2=4y的焦点f的直线交抛物线e于a、c两点,经过点a的直线l1分别交y轴、抛物线e于点d、b(b与c不重合),fad=fda,经过点c作抛物线e的切线为l2.(1)求证:l1l2;(2)求三角形abc面积的最小值.解析(1)证明:抛物线e:x2=4y的焦点为f(0,1),且直线af的斜率一定存在,故设af的方程为y=kx+1.设a(x1,y1),c(x2,y2)(不妨设x20),由得x2-4kx-4=0x1+x2=4k,x1x2=-4,fad=fda,|af|=|df|,y1+=yd-1,yd=y1+2.直线l1的斜率k1=,x1x2=-4,k1=x2,又y=x,过c(x2,y2)的切线斜率k2=x2.即k1=k2,l1l2.(2)由(1)得直线l1的斜率为x2,故直线l1的方程为y=x2x+2,联立得x2-2x2x-8=0,x1+xb=2x2,x1xb=-(+8).|ab|=2,点c到直线l1的距离d=,三角形abc的面积s=|ab|d=(x2-x1)3.由(1)可得x2-x1=4,当k=0时,(x2-x1)min=4,当k=0时,三角形abc的面积s=(x2-x1)3取到最小值,smin=43=16.c组20162018年模拟方法题组方法1求抛物线的标准方程的方法1.(2018广西钦州模拟,6)已知抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,点m(x0,2)是抛物线c上一点,圆m与y轴相切且与线段mf相交于点a,若=2,则p等于() a.1b.2c.2d.4答案b2.(2017江西赣州二模,4)抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,a是抛物线上一点,若a到f的距离是a到y轴距离的两倍,且三角形oaf的面积为1,o为坐标原点,则p的值为() a.1b.2c.3d.4答案b3.(2017福建福州模拟,14)函数y=ax-1(a0且a1)的图象恒过点p,则焦点在x轴上且过点p的抛物线的标准方程是.答案y2=x方法2抛物线定义的应用策略4.(2018湖南长沙模拟,7)已知点a(3,0),过抛物线y2=4x上一点p的直线与直线x=-1垂直相交于点b,若|pb|=|pa|,则点p的横坐标为()a.1b.c.2d.答案c5.(2018浙江温州模拟,7)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上