高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第2讲 函数的应用专题突破讲义 文.doc

第2讲函数的应用1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现2函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题热点一函数的零点1零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，f(4)20，f(2)10，函数f(x)|x|3的零点所在区间为(1,2)，故选b.(2)(2017届甘肃高台县一中检测)已知函数f(x)满足：定义域为r；xr，都有f(x2)f(x)；当x1,1时，f(x)|x|1，则方程f(x)log2|x|在区间3,5内解的个数是()a5 b6 c7 d8答案a解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解热点二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解例2(1)(2017届临沂期中)已知函数f(x) 若对函数yf(x)b，当b(0,1)时总有三个零点，则a的取值范围为_答案(，2解析由分段函数可知，当x0)有两个交点，只需满足当x时，y10且0，解得a2.(2)(2017届河南中原名校质检)已知定义在(0，)上的函数f(x)|4x(1x)|，若关于x的方程f2(x)(t3)f(x)t20有且只有3个不同的实数根，则实数t的取值集合是_答案2,52解析设g(y)y2(t3)yt2，当t2时，y0，y1显然符合题意当t2时，一正根一负根，g(0)0，g(1)2时，两根同号，只能有一个正根在区间(0,1)上，而g(0)t2，g(1)2t40，对称轴y(0,1)，1t3，0t52，所以t52.所以取值集合为2,52思维升华(1)方程f(x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数(2)关于x的方程f(x)m0有解，m的范围就是函数yf(x)的值域跟踪演练2(1)已知函数f(x) 若关于x的方程f(x)k0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是_答案0,1)(2，)解析画出函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出当0k2时符合题设(2)(2017全国)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a等于()a b. c. d1答案c解析方法一f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.故选c.方法二f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，当且仅当x1时取“”x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”若a0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一故选c.热点三函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答例3(2017届湖北孝感市统考)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/小时)(50x120)的关系可近似表示为：y(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知a，b两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从a地驶向b地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解(1)当x50,80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675当x65时，y有最小值6759.当x80,120时，函数单调递减，故当x120时，y有最小值10.因为910，故当x65时每小时耗油量最低(2)设总耗油量为l，由题意可知ly.当x50,80)时，ly16，当且仅当x，即x70时，l取得最小值16.当x80,120时，ly2为减函数当x120时，l取得最小值10.因为100，xr)若f(x)在区间(，2)内没有零点，则的取值范围是_答案解析f(x)sin x(sin xcos x)sin.因为函数f(x)在区间(，2)内没有零点，所以2，所以，所以01.当x(，2)时，x，若函数f(x)在区间(，2)内有零点，则k2 (kz)，即k(kz)当k0时，；当k1时，.所以函数f(x)在区间(，2)内没有零点时，0或.2(2017山东改编)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是_答案(0,13，)解析在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m22与g(x)m的大致图象分两种情形：(1)当0m1时，1，如图，当x0,1时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意(2)当m1时，01，如图，要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)综上所述，m(0,13，)3(2017江苏)设f(x)是定义在r上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f(x)其中集合d，则方程f(x)lg x0的解的个数是_答案8解析由于f(x)0,1)，则只需考虑1xg，g(4)32，g(1)2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)2sin xx1的零点个数为5.2已知函数f(x)若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()a1,1) b0,2c(2,2 d1,2)押题依据利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想答案d解析g(x)f(x)2x要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)0恰有三个不同的实数根，所以或所以g(x)0的三个不同的实数根为x2(xa)，x1(xa)，x2(xa)再借助数轴，可得1a2.所以实数a的取值范围是1,2)，故选d.3在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.押题依据函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点答案20解析如图，过a作ahbc交bc于点h，交de于点f，易知afxfh40x，则sx(40x)2，当且仅当40xx，即x20时取等号，所以满足题意的边长x为20 m.a组专题通关1(2017届枣庄期末)函数的零点个数为()a0 b1c2 d3答案b解析在同一直角坐标系下作出函数与yx的图象，如图所示，由图知，两个函数只有一个交点，所以函数f(x)的零点只有1个，故选b.2(2017届遵义期中)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n(nn*)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于()a6 b7c8 d7或8答案b解析盈利总额为21n9n2n9，由于对称轴为n，所以当n7时，取最大值，故选b.3(2017届陕西西安铁一中三模)如图是函数f(x)x2axb的部分图象，则函数g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是()a. b.c(1,2) d(2,3)答案b解析由函数图象可知即函数g(x)ln x2xaln x2x1b，gln 11bln 2b0，所以零点所在的一个区间为，故选b.4已知函数yf(x)的周期为2，当x0,2时，f(x)(x1)2，如果g(x)f(x)log5|x1|，则方程g(x)0的所有根之和为()a2 b4 c6 d8答案d解析在平面直角坐标系中画出函数yf(x)及ylog5|x1|的图象，结合函数的图象可以看出函数共有8个零点，且关于x1对称，故所有零点的和为248，故选d.5(2017届湖南长沙一中月考)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有升，则m的值为()a5 b6 c8 d10答案a解析根据题知，因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数yaent，满足f(5)ae5na，可得nln ，因此当k min后甲桶中的水只有升，即f(k)，即ln kln ，所以ln k2ln ，解得k10，k55，即m5，故选a.6(2017届陕西黄陵中学月考)函数f(x)的定义域为1,1，图象如图1所示，函数g(x)的定义域为2,2，图象如图2所示，方程f(g(x)0有m个实数根，方程g(f(x)0有n个实数根，则mn等于()a6 b8c10 d12答案c解析注意到f(1)f(0)f(1)0，g(x)1有2个根，g(x)0有3个根，g(x)1有2个根，故m7.注意到gg(0)g0，1f(x)1，f(x)0有3个根，故n3，所以mn10.7(2017届江苏无锡市普通高中期中)若函数y在区间(2,2)上有两个零点，则实数a的取值范围为_答案0,2ln 2)解析由题设可知函数yx2a与函数yxaln x在给定的区间(2,0和区间(0,2)内分别有一个根，结合图象可得即所以0a2ln 2.8(2017届江苏泰州中学期中)定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(x5)16，当x(1,4时，f(x)x22x，则函数f(x)在区间0,2 016上的零点个数是_答案605解析因为f(x)f(x5)16，则f(x5)f(x10)16，所以f(x)f(x10)，所以该函数的周期是t10.由于函数yf(x)在(1,4上有三个零点，因此在区间(1,9)上只有三个零点，而2 01654031，故在区间0,2 016上共有(40331)2(1 2091)2605(个)交点9(2017届河南省郑州市第一中学质量检测)对于函数f(x)与g(x)，若存在xr|f(x)0，xr|g(x)0，使得|1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)ex2x3与g(x)x2axx4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是_答案3，4解析由题意知，函数f(x)的零点为x2，设g(x)满足|2|1的零点为，因为|2|1，解得13.因为函数g(x)的图象开口向上，所以要使g(x)的一个零点落在区间1,3上，则需满足g(1)g(3)0或解得a4或3a2时，f(x)lg(x2)，由f2(x)bf(x)c0，得lg(x2)2blg(x2)c0，解得lg(x2)1x212或lg(x2)cx3210c；当x2时，f(x)lg(2x)，由f2(x)bf(x)c0，得lg(2x)2blg(2x)c0，解得lg(2x)1x48或lg(2x)cx5210c，所以f(x1x2x3x4x5)f(10)lg|102|3lg 2，故选b.12(2017届杭州地区四校联考)已知函数f(x)则方程fa的实根个数不可能为()a8 b7c6 d5答案d解析如图所示，画出函数f(x)以及g(x)x2的图象，从而可知，当a0时，方程f(x)a有一正根，方程fa有两个根；当a0时，方程f(x)a有一个正根，一个根0，fa有三个根；当0a1时，方程f(x)a有两个正根，一个大于4的负根，fa有四个根；当a1时，方程f(x)a有一个负根4，三个正根，fa有七个根；当1a2时，方程f(x)a有一个正根，一个小于4的负根，fa有四个根，fa根的个数可能为2,3,4,6,7,8，故选d. 13(2017届重庆市第八中学二调)已知函数f(x)|x|(2x)，关于x的方程f(x)m(mr)有三个不同的实数解x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围为_答案(1，0)解析f(x)|x|(2x)如图所示，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数yf(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，则0m0时，由对称性知，x2x32,0x2x321；当x0时，由x22x1，得x1，所以