高考数学一轮复习 第7章 立体几何 7.7 立体几何中的向量方法学案 理.doc

77立体几何中的向量方法知识梳理1用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvuvu0.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2u1u2.2用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面 的法向量为u，则lvuvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.3两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角范围(0，)求法coscos4直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin|cos|，的取值范围是.5求二面角的大小(1)如图，ab，cd是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos|cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)诊断自测1概念思辨(1)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()(2)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，()(3)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(4)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(选修a21p111a组t1)在正三棱柱abca1b1c1中，若abbb1，则ab1与c1b所成角的大小为()a60 b75 c90 d105答案c解析取ac的中点d，建立如图所示的空间直角坐标系设aba，则b，c1，a，b1，从而，.所以cos，0，所以ab1与c1b所成的角为90.故选c.(2)(选修a21p104t2)在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，写出平面a1ed的一个法向量：_.答案(1,2,2)(答案不唯一)解析如图，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，所以(0,1，1)，设平面a1ed的一个法向量为n(1，y，z)，则即解得所以n(1,2,2)3小题热身(1)(2018河南百校联盟联考)已知斜四棱柱abcda1b1c1d1的各棱长均为2，a1ad60，bad90，平面a1add1平面abcd，则直线bd1与平面abcd所成的角的正切值为()a. b. c. d.答案c解析取ad中点o，连接oa1，易证a1o平面abcd.建立如图所示的空间直角坐标系，得b(2，1,0)，d1(0,2，)，1(2,3，)，平面abcd的一个法向量为n(0,0,1)，设bd1与平面abcd所成的角为，sin，则cos，tan.故选c.(2)(2017郑州预测)过正方形abcd的顶点a作线段pa平面abcd，若abpa，则平面abp与平面cdp所成的二面角为_答案45解析如图，建立空间直角坐标系，设abpa1，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，p(0,0,1)，由题意，ad平面pab，设e为pd的中点，连接ae，则aepd.又cd平面pad，cdae，从而ae平面pcd.所以(0,1,0)，分别是平面pab，平面pcd的法向量，且，45.故平面pab与平面pcd所成的二面角为45.题型1利用空间向量研究空间中的位置关系角度1利用空间向量证明平行与垂直问题(2018青岛模拟)如图，在多面体abca1b1c1中，四边形a1abb1是正方形，abac，bcab，b1c1綊bc，aa1平面bac.求证：(1)a1b1平面aa1c；(2)ab1平面a1c1c.证明aa1平面bac.aa1ab，aa1ac.又abac，bcab，cab90，即caab，ab，ac，aa1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设ab2，则a(0,0,0)，b1(0,2,2)，a1(0,0,2)，c(2,0,0)，c1(1,1,2)(1)(0,2,0)，(0,0，2)，(2,0,0)，设平面aa1c的一个法向量n(x，y，z)，则即即取y1，则n(0,1,0)2n，即n.a1b1平面aa1c.(2)易知(0,2,2)，(1,1,0)，(2,0，2)，设平面a1c1c的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即令x11，则y11，z11，即m(1，1,1)m012(1)210，m.又ab1平面a1c1c，ab1平面a1c1c.角度2利用空间向量解决平行与垂直关系中的探索性问题(2018宜春期末)如图，三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，bcac，bcacaa12，d为ac的中点(1)求证：ab1平面bdc1；(2)设ab1的中点为g，问：在矩形bcc1b1内是否存在点h，使得gh平面bdc1.若存在，求出点h的位置，若不存在，说明理由解(1)证明：连接b1c，设b1cbc1m，连接md，在ab1c中，m为b1c中点，d为ac中点，dmab1，又ab1不在平面bdc1内，dm在平面bdc1内，ab1平面bdc1.(2)以c1为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系依题意，得c1(0,0,0)，d(1,2,0)，b(0,2,2)，g(1,1,1)，假设存在h(0，m，n)，(1，m1，n1)，(1,2,0)，(1,0,2)，由gh平面bc1d，得(1，m1，n1)(1,2,0)0m.同理，由得n，即在矩形bcc1b1内存在点h，使得gh平面bdc1.此时点h到b1c1的距离为，到c1c的距离为.方法技巧解决立体几何中探索性问题的基本方法1通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理2探索性问题的关键是设点：空间中的点可设为(x，y，z)；坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xoy面上的点为(x，y,0)；坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0,0，z)；直线(线段)ab上的点p，可设为，表示出点p的坐标，或直接利用向量运算提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示冲关针对训练(2018太原模拟)如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧面pad底面abcd，e，f分别为pa，bd中点，papdad2.(1)求证：ef平面pbc；(2)在棱pc上是否存在一点g，使gf平面edf？若存在，指出点g的位置；若不存在，说明理由解(1)证明：如图所示，连接ac.因为底面abcd是正方形，ac与bd互相平分f是bd中点，所以f是ac中点在pac中，e是pa中点，f是ac中点，所以efpc.又因为ef平面pbc，pc平面pbc，所以ef平面pbc.(2)取ad中点o，连接po.在pad中，papd，所以poad.因为平面pad底面abcd，且平面pad平面abcdad，所以po平面abcd.因为of平面abcd，所以poof.又因为f是ac中点，所以ofad.以o为原点，oa，of，op分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系因为papdad2，所以op，则c(1,2,0)，d(1,0,0)，p(0,0，)，e，f(0,1,0)于是，(1,1,0)设平面efd的法向量n(x0，y0，z0)因为所以即令x01，则n(1，1，)假设在棱pc上存在一点g，使gf平面edf.设g(x1，y1，z1)，则(x1，y11，z1)因为edf的一个法向量n(1，1，)因为gf平面edf，所以n.于是即又因为点g在棱pc上，所以与共线因为(1,2，)，(x11，y12，z1)，所以，即，无解故在棱pc上不存在一点g，使gf平面edf.题型2利用空间向量求解空间角角度1利用空间向量求解异面直线所成的角(2015全国卷)如图，四边形abcd为菱形，abc120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be2df，aeec.(1)证明：平面aec平面afc；(2)求直线ae与直线cf所成角的余弦值解(1)证明：连接bd.设bdacg，连接eg，fg，ef.在菱形abcd中，不妨设gb1.由abc120，可得aggc.由be平面abcd，abbc，可知aeec.又aeec，所以eg，且egac.在rtebg中，可得be，故df.在rtfdg中，可得fg.在直角梯形bdfe中，由bd2，be，df，可得ef.从而eg2fg2ef2，所以egfg.又acfgg，可得eg平面afc.因为eg平面aec，所以平面aec平面afc.(2)如图，以g为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系gxyz.由(1)可得a(0，0)，e(1,0，)，f，c(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线ae与直线cf所成角的余弦值为.角度2利用空间向量求解直线与平面所成的角(2013全国卷)如图，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值解(1)证明：取ab的中点o，连接oc，oa1，a1b.因为cacb，所以ocab.由于abaa1，baa160，故aa1b为等边三角形，所以oa1ab.因为ocoa1o，所以ab平面oa1c.又a1c平面oa1c，故aba1c.(2)由(1)知ocab，oa1ab.又平面abc平面aa1b1b，交线为ab，所以oc平面aa1b1b，故oa，oa1，oc两两相互垂直以o为坐标原点，o的方向为x轴的正方向，|o|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.由题设知a(1,0,0)，a1(0，0)，c(0,0，)，b(1,0,0)则b(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面bb1c1c的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，.所以a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值为.角度3利用空间向量求解二面角 (2016全国卷)如图，在以a，b，c，d，e，f为顶点的五面体中，面abef为正方形，af2fd，afd90，且二面角dafe与二面角cbef都是60.(1)证明：平面abef平面efdc；(2)求二面角ebca的余弦值解(1)证明：由已知可得afdf，affe，所以af平面efdc.又af平面abef，故平面abef平面efdc.(2)过d作dgef，垂足为g，由(1)知dg平面abef.以g为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系gxyz.由(1)知dfe为二面角dafe的平面角，故 dfe60，则|df|2，|dg|，可得a(1,4,0)，b(3,4,0)，e(3,0,0)，d(0,0，)由已知得，abef，所以ab平面efdc.又平面abcd平面efdccd，故abcd，cdef.由beaf，可得be平面efdc，所以cef为二面角cbef的平面角，cef60.从而可得c(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面bce的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面abcd的法向量，则同理可取m(0，4)则cosn，m.又易知二面角ebca为钝二面角，故二面角ebca的余弦值为.方法技巧1利用向量求异面直线所成角的方法(1)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：选好基底或建立空间直角坐标系；求出两直线的方向向量v1，v2；代入公式|cosv1，v2|求解(2)两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角2利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角3利用向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小冲关针对训练(2016四川高考)如图，在四棱锥pabcd中，adbc，adcpab90，bccdad，e为棱ad的中点，异面直线pa与cd所成的角为90.(1)在平面pab内找一点m，使得直线cm平面pbe，并说明理由；(2)若二面角pcda的大小为45，求直线pa与平面pce所成角的正弦值解(1)在梯形abcd中，ab与cd不平行延长ab，dc，相交于点m(m平面pab)，点m即为所求的一个点理由如下：由已知，bced，且bced，所以四边形bcde是平行四边形，从而cmeb.又eb平面pbe，cm平面pbe，所以cm平面pbe.(说明：延长ap至点n，使得appn，则所找的点可以是直线mn上任意一点)(2)由已知，cdpa，cdad，paada，所以cd平面pad，于是cdpd.从而pda是二面角pcda的平面角，所以pda45.由paab，可得pa平面abcd.设bc1，则在rtpad中，paad2.作ayad，以a为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，p(0,0,2)，c(2,1,0)，e(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)设平面pce的法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2,1)设直线pa与平面pce所成角为，则sin，所以直线pa与平面pce所成角的正弦值为.1.(2017湖南五市十校联考)有公共边的等边三角形abc和bcd所在平面互相垂直，则异面直线ab和cd所成角的余弦值为_答案解析设等边三角形的边长为2.取bc的中点o，连接oa，od，等边三角形abc和bcd所在平面互相垂直，oa，oc，od两两垂直，以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则a(0,0，)，b(0，1,0)，c(0,1,0)，d(，0,0)，(0，1，)，(，1,0)，cos，异面直线ab和cd所成角的余弦值为.2(2017全国卷)如图，四棱锥pabcd中，侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd，abbcad，badabc90，e是pd的中点(1)证明：直线ce平面pab；(2)点m在棱pc上，且直线bm与底面abcd所成角为45，求二面角mabd的余弦值解(1)证明：取pa的中点f，连接ef，bf.因为e是pd的中点，所以efad，efad.由badabc90得bcad，又bcad，所以ef綊bc，四边形bcef是平行四边形，cebf，又bf平面pab，ce平面pab，故ce平面pab.(2)由已知得baad，以a为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，p(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设m(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为bm与底面abcd所成的角为45，而n(0,0,1)是底面abcd的法向量，所以|cos，n|sin45，即(x1)2y2z20.又m在棱pc上，设，则x，y1，z.由解得(舍去)或所以m，从而.设m(x0，y0，z0)是平面abm的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.易知所求二面角为锐角因此二面角mabd的余弦值为.3(2017北京高考)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，平面pad平面abcd，点m在线段pb上，pd平面mac，papd，ab4.(1)求证：m为pb的中点；(2)求二面角bpda的大小；(3)求直线mc与平面bdp所成角的正弦值解(1)证明：设ac，bd交于点e，连接me，因为pd平面mac，平面mac平面pdbme，所以pdme.因为四边形abcd是正方形，所以e为bd的中点，所以m为pb的中点(2)取ad的中点o，连接op，oe.因为papd，所以opad.又因为平面pad平面abcd，且op平面pad，所以op平面abcd.因为oe平面abcd，所以opoe.因为四边形abcd是正方形，所以oead.如图，建立空间直角坐标系oxyz，则p(0,0，)，d(2,0,0)，b(2,4,0)，(4，4,0)，(2,0，)设平面bdp的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则y1，z.于是n(1,1，)平面pad的法向量为p(0,1,0)，所以cosn，p.由题意知二面角bpda为锐角，所以它的大小为.(3)由题意知m，c(2,4,0)，.设直线mc与平面bdp所成角为，则sin|cosn，|，所以直线mc与平面bdp所成角的正弦值为. 重点保分 两级优选练a级一、选择题1已知点a(2，5,1)，b(2，2,4)，c(1，4,1)，则向量与的夹角为()a30 b45 c60 d90答案c解析由已知得(0,3,3)，(1,1,0)，cos，.向量与的夹角为60.故选c.2(2018伊宁期末)三棱锥abcd中，平面abd与平面bcd的法向量分别为n1，n2，若n1，n2，则二面角abdc的大小为()a. b. c.或 d.或答案c解析二面角的范围是0，且n1，n2，二面角abdc的大小为或.故选c.3(2017太原期中)已知直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd为正方形，aa12ab，e为aa1的中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为()a. b. c. d.答案c解析如图，以d为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设aa12ab2，则b(1,1,0)，e(1,0,1)，c(0,1,0)，d1(0,0,2)(0，1,1)，(0，1,2)cos，.故选c.4如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别在a1d，ac上，且a1ea1d，afac，则()aef至多与a1d，ac之一垂直befa1d，efaccef与bd1相交def与bd1异面答案b解析以d点为坐标原点，以da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体棱长为1，则a1(1,0,1)，d(0,0,0)，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e，f，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，(1，0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，从而efbd1，efa1d，efac.故选b.5(2018河南模拟)如图所示，直三棱柱abca1b1c1的侧棱长为3，底面边长a1c1b1c11，且a1c1b190，d点在棱aa1上且ad2da1，p点在棱c1c上，则的最小值为()a. b c. d答案b解析建立如图所示的直角坐标系，则d(1,0,2)，b1(0,1,3)，设p(0,0，z)(0z3)，则(1,0,2z)，(0,1,3z)，00(2z)(3z)2，故当z时，取得最小值为.故选b.6(2018沧州模拟)如图所示，在正方体abcdabcd中，棱长为1，e，f分别是bc，cd上的点，且becfa(0a0)，(1,0，a)设平面ebd的法向量为n(x，y，z)，则有即令z1，则n(2,0,1)，由题意得sin45|cos，n|，解得a3或.由a0，得a3，(1,0,3)，(1，2)，cos，故异面直线of与be所成的角的余弦值为.16(2014全国卷)如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点(1)证明：pb平面aec；(2)设二面角daec为60，ap1，ad，求三棱锥eacd的体积解(1)证明：连接bd交ac于点o，连接eo.因为abcd为矩形，所以o为bd的中点又e为pd的中点，所以eopb.又eo平面aec，pb平面aec，所以pb平面aec.(2)因为pa平面abcd，abcd为矩形，所以ab，ad，ap两两垂直如图，以a为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系axyz，则d(0，0)，e，.设b(m,0,0)(m0)，则c(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ace的法向量，则即可取n1.又n2(1,0,0)为平面dae的法向量，由题设得|cosn1，n2|，即 ，解得m.因为e为pd的中点，所以三棱锥eacd的高为.三棱锥eacd的体积v.17(2017河北衡水中学调研)如图1所示，在直角梯形abcd中，adbc，bad，abbc1，ad2，e是线段ad的中点，o是ac与be的交点将abe沿be折起到a1be的位置，如图2所示(1)证明：cd平面a1oc；(2)若平面a1be平面bcde，