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第二十二章 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质知识点1:二次函数y=ax2图象的画法二次函数y=ax2的图象的画法:(1)列表:先取原点(0,0),然后在原点的两边,对称地选取几个x值,求出函数值列表.(2)描点:在平面直角坐标系中描出表中数据对应的各点,一般先描y轴一侧的几个点,然后由对称性描出另一侧的几个点.(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到了二次函数y=ax2的图象.知识点2:二次函数y=ax2的性质1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线.2.抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.a0时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点;a0向上(0,0)y轴x0时,y随x增大而增大;x0时,y随x增大而减小当x=0时,y最小值=0a0时,y随x增大而减小;x0时,y随x增大而增大,求k的值.解:已知y=(k+1)是关于x的二次函数,则解得:又当x0时,y随x增大而增大,k+10,即k-1,k=1.点拨：本题是关于二次函数的概念与性质的综合题.先根据二次函数的概念,自变量x的最高次数为2,且二次项系数不为0,得到k2+k=2,且k+10;再根据二次函数y=ax2的性质,当且仅当其图象开口向上时,才有x0时,y随x增大而增大,得到此题中的二次项系数k+10,这样就确定了k的值.知识点2：二次函数y=ax2在几何问题中的应用【例2】如图,正方形abcd的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别为正方形abcd的顶点,且它们的各边与正方形abcd各边平行或垂直.若小正方形的边长为x,且0x10,阴影部分的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的大致图象是图中的()abc d答案:d点拨：由题意知,阴影部分的面积y=4=x2,即y=x2,因为0x10,所以它的大致图象是d.考点3：二次函数y=ax2在实际问题中的应用【例3】有一座桥梁,桥洞的形状是一条开口向下的抛物线,其对应的函数解析式为y=-x2(x,y的单位均为m).(1)在平面直角坐标系中画出这条抛物线;(2)利用图象求水面离桥洞的最高点2 m时,水面的宽度是多少米;(3)当水面宽为6 m时,水面离桥洞的最高点有多少米?解:(1)列表:x-3-2-10123y=-x2-4-2-0-2-4描点、连线得二次函数y=-x2的图象,如图所示.(2)如图所示,过点m(0,-2)作直线ab平行于x轴,交抛物线于a,b两点.y=-x2的图象关于y轴对称,am=bm.又直线ab平行于x轴,点a,b的纵坐标均为-2.当y=-2时,-x2=-2,x=2.a(-2,-2),b(2,-2),即ab=4,此时水面的宽度为4 m.(3)如图所示,取点n(3,0),过点n作y轴的平行线,交抛物线于点f,过点f作x轴的平行线,交抛物线于另一点e,则ef=6,e,f的横坐标分别为-3和3.当x=3或x=-3时,y=-4.f点的纵坐标为-4,即nf=4.此时
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