中考数学 专题突破导学练 第13讲 二次函数的图象与性质试题.doc

第13讲 二次函数的图象与性质【知识梳理】1二次函数如果yax2bxc(a，b，c为常数，a0)，那么y叫做x的二次函数几种特殊的二次函数：yax2(a0)；yax2c(ac0)；yax2bx(ab0)；ya(xh)2(a0)2二次函数的图象二次函数yax2bxc的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线由yax2(a0)的图象，通过平移可得到ya(xh)2k(a0)的图象3二次函数的性质二次函数yax2bxc的性质对应在它的图象上，有如下性质：(1)抛物线yax2bxc的顶点是，对称轴是直线，顶点必在对称轴上；(2)若a0，抛物线yax2bxc的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x，y有最小值；若a0，抛物线yax2bxc的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值；(3)抛物线yax2bxc与y轴的交点为(0，c)；(4)在二次函数yax2bxc中，令y0可得到抛物线yax2bxc与x轴交点的情况：当db24ac0，抛物线yax2bxc与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是和，这两点的距离为；当d0时，抛物线yax2bxc与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点；当d0时，抛物线yax2bxc与x轴没有公共点4抛物线的平移抛物线ya(xh)2k与yax2形状相同，位置不同把抛物线yax2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线ya(xh)2k平移的方向、距离要根据h、k的值来决定5.二次函数关系式的确定设一般式：yax2bxc(a0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值设交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式设顶点式：ya(xh)2k(a0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：ya(xh)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式【考点解析】题型一 二次函数的定义例1（2016河南）已知a（0，3），b（2，3）是抛物线y=x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是（1，4）【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征【分析】把a、b的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可【解答】解：a（0，3），b（2，3）是抛物线y=x2+bx+c上两点，代入得：，解得：b=2，c=3，y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键题型二 二次函数的图象及性质例2. （2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a0）与二次函数y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）a b c d【考点】二次函数的图象；一次函数的图象【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致【解答】解：a、由抛物线可知，a0，由直线可知，故本选项错误；b、由抛物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0，故本选项错误；c、由抛物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0，故本选项正确；d、由抛物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0故本选项错误故选c题型三 二次函数图象与系数a，b，c的关系例3如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：4ab=0；c0；3a+c0；4a2bat2+bt（t为实数）；点（，y1），（，y2），（，y3）是该抛物线上的点，则y1y2y3，正确的个数有（）a4个b3个c2个d1个【考点】h4：二次函数图象与系数的关系；h3：二次函数的性质；h5：二次函数图象上点的坐标特征；ha：抛物线与x轴的交点【分析】根据抛物线的对称轴可判断，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断，由x=1时y0可判断，由x=2时函数取得最大值可判断，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=2，4ab=0，所以正确；与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，由抛物线的对称性知，另一个交点在（1，0）和（0，0）之间，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c0，故正确；由知，x=1时y0，且b=4a，即ab+c=a4a+c=3a+c0，所以正确；由函数图象知当x=2时，函数取得最大值，4a2b+cat2+bt+c，即4a2bat2+bt（t为实数），故错误；抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=2，抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，y1y3y2，故错误；故选：b题型四 确定二次函数的解析式例4如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点a（1，0）和点b（3，0），与y轴交于点c，连接bc交抛物线的对称轴于点e，d是抛物线的顶点（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点c和点d的坐标；（3）若点p在第一象限内的抛物线上，且sabp=4scoe，求p点坐标注：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，）【考点】h4：二次函数图象与系数的关系；h3：二次函数的性质；h5：二次函数图象上点的坐标特征；h8：待定系数法求二次函数解析式；ha：抛物线与x轴的交点【分析】（1）将a、b的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得c点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点c的坐标；（3）设p（x，y）（x0，y0），根据题意列出方程即可求得y，即得d点坐标【解答】解：（1）由点a（1，0）和点b（3，0）得，解得：，抛物线的解析式为y=x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，c（0，3），y=x2+2x+3=（x1）2+4，d（1，4）；（3）设p（x，y）（x0，y0），scoe=13=，sabp=4y=2y，sabp=4scoe，2y=4，y=3，x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，p（2，3）题型五 二次函数图象的平移例5将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）ay=（x1）2+1by=（x+1）2+1cy=2（x1）2+1dy=2（x+1）2+1【考点】h6：二次函数图象与几何变换【分析】根据平移规律，可得答案【解答】解：由图象，得y=2x22，由平移规律，得y=2（x1）2+1，故选：c题型六 二次函数与不等式的关系例6【中考热点】（2017山东滨州）如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点a（4，0）、b（0，3），抛物线y=x2+2x+1与y轴交于点c（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点p（x，y）是抛物线y=x2+2x+1上的任意一点，设点p到直线ab的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点p的坐标；（3）若点e在抛物线y=x2+2x+1的对称轴上移动，点f在直线ab上移动，求ce+ef的最小值【考点】hf：二次函数综合题【分析】（1）由a、b两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；（2）过p作phab于点h，过h作hqx轴，过p作pqy轴，两垂线交于点q，则可证明phqbao，设h（m， m+3），利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的p点的坐标；（3）设c点关于抛物线对称轴的对称点为c，由对称的性质可得ce=ce，则可知当f、e、c三点一线且cf与ab垂直时ce+ef最小，由c点坐标可确定出c点的坐标，利用（2）中所求函数关系式可求得d的值，即可求得ce+ef的最小值【解答】解：（1）由题意可得，解得，直线解析式为y=x+3；（2）如图1，过p作phab于点h，过h作hqx轴，过p作pqy轴，两垂线交于点q，则ahq=abo，且ahp=90，phq+ahq=bao+abo=90，phq=bao，且aob=pqh=90，pqhboa，=，设h（m， m+3），则pq=xm，hq=m+3（x2+2x+1），a（4，0），b（0，3），oa=4，ob=3，ab=5，且ph=d，=，整理消去m可得d=x2x+=（x）2+，d与x的函数关系式为d=（x）2+，0，当x=时，d有最小值，此时y=（）2+2+1=，当d取得最小值时p点坐标为（，）；（3）如图2，设c点关于抛物线对称轴的对称点为c，由对称的性质可得ce=ce，ce+ef=ce+ef，当f、e、c三点一线且cf与ab垂直时ce+ef最小，c（0，1），c（2，1），由（2）可知当x=2时，d=（2）2+=，即ce+ef的最小值为【达标检测】一选择题：1. （2017玉林）对于函数y=2（xm）2的图象，下列说法不正确的是（）a开口向下b对称轴是x=mc最大值为0d与y轴不相交【考点】h3：二次函数的性质；h7：二次函数的最值.【分析】根据二次函数的性质即可一一判断【解答】解：对于函数y=2（xm）2的图象，a=20，开口向下，对称轴x=m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，故a、b、c正确，故选d【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题，中考常考题型2. （2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a0）与二次函数y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）a b c d【考点】二次函数的图象；一次函数的图象【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致【解答】解：a、由抛物线可知，a0，由直线可知，故本选项错误；b、由抛物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0，故本选项错误；c、由抛物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0，故本选项正确；d、由抛物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0故本选项错误故选c3. 将二次函数的图象沿轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ）a b c d【考点】二次函数平移【分析】利用二次函数平移规律：将抛物线解析式转化为顶点式，确定其顶点坐标；值正右移，负左移；值正上移，负下移，概括成八字诀“左加右减，上加下减”，求出即可。【解答】解：变为顶点式沿轴向右平移2个单位长度故选d4. （2017乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结论：abc0；10a+3b+c0；抛物线经过点（4，y1）与点（3，y2），则y1y2；无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（，0）；am2+bm+a0，其中所有正确的结论是【考点】h4：二次函数图象与系数的关系【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断；由x=3时的函数值及a0可判断；由抛物线的增减性可判断；由当x=时，y=a（）2+b（）+c=且ab+c=0可判断；由x=1时函数y取得最小值及b=2a可判断【解答】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a0，顶点在y轴右侧，则b0，抛物线与y轴交于负半轴，则c0，abc0，故错误；抛物线y=ax2+bx+c过点（1，0），且对称轴为直线x=1，抛物线y=ax2+bx+c过点（3，0），当x=3时，y=9a+3b+c=0，a0，10a+3b+c0，故正确；对称轴为x=1，且开口向上，离对称轴水平距离越大，函数值越大，y1y2，故错误；当x=时，y=a（）2+b（）+c=，当x=1时，y=ab+c=0，当x=时，y=a（）2+b（）+c=0，即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（，0），故正确；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1对应的函数值为y=a+b+c，又x=1时函数取得最小值，am2+bm+ca+b+c，即am2+bma+b，b=2a，am2+bm+a0，故正确；故答案为：二填空题：5. （2016湖北荆州3分）若函数y=（a1）x24x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为1或2或1【分析】直接利用抛物线与x轴相交，b24ac=0，进而解方程得出答案【解答】解：函数y=（a1）x24x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b24ac=164（a1）2a=0，解得：a1=1，a2=2，当函数为一次函数时，a1=0，解得：a=1故答案为：1或2或1【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出关于a的方程是解题关键6. （2016四川内江）二次函数yax2bxc的图象如图11所示，且p|2ab|3b2c|，q|2ab|3b2c|，则p，q的大小关系是_答案pq考点二次函数的图象及性质。解析抛物线的开口向下，a01，b0且a|2ab|0，|2ab|b2a抛物线与y轴的正半轴相交，c0|3b2c|3b2c由图象可知当x1时，y0，即abc0bc0，即3b2c0|3b2c|3b2cp03b2c3b2c0，qb2a(3b2c)(b2c)0pq故答案为：pq7. （2017乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结论：abc0；10a+3b+c0；抛物线经过点（4，y1）与点（3，y2），则y1y2；无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（，0）；am2+bm+a0，其中所有正确的结论是【考点】h4：二次函数图象与系数的关系【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断；由x=3时的函数值及a0可判断；由抛物线的增减性可判断；由当x=时，y=a（）2+b（）+c=且ab+c=0可判断；由x=1时函数y取得最小值及b=2a可判断【解答】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a0，顶点在y轴右侧，则b0，抛物线与y轴交于负半轴，则c0，abc0，故错误；抛物线y=ax2+bx+c过点（1，0），且对称轴为直线x=1，抛物线y=ax2+bx+c过点（3，0），当x=3时，y=9a+3b+c=0，a0，10a+3b+c0，故正确；对称轴为x=1，且开口向上，离对称轴水平距离越大，函数值越大，y1y2，故错误；当x=时，y=a（）2+b（）+c=，当x=1时，y=ab+c=0，当x=时，y=a（）2+b（）+c=0，即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（，0），故正确；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1对应的函数值为y=a+b+c，又x=1时函数取得最小值，am2+bm+ca+b+c，即am2+bma+b，b=2a，am2+bm+a0，故正确；故答案为：8. （2017湖南株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点a（1，0）与点c（x2，0），且与y轴交于点b（0，2），小强得到以下结论：0a2；1b0；c=1；当|a|=|b|时x21；以上结论中正确结论的序号为【考点】ha：抛物线与x轴的交点；h4：二次函数图象与系数的关系【分析】根据抛物线与y轴交于点b（0，2），可得c=2，依此判断；由抛物线图象与x轴交于点a（1，0），可得ab2=0，依此判断；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，可得x2=2，比较大小即可判断；从而求解【解答】解：由a（1，0），b（0，2），得b=a2，开口向上，a0；对称轴在y轴右侧，0，0，a20，a2；0a2；正确；抛物线与y轴交于点b（0，2），c=2，故错误；抛物线图象与x轴交于点a（1，0），ab2=0，无法得到0a2；1b0，故错误；|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，x2=21，故正确故答案为：三解答题：9. （2017乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与直线y=x+1相交于a（1，0），b（4，m）两点，且抛物线经过点c（5，0）（1）求抛物线的解析式；（2）点p是抛物线上的一个动点（不与点a、点b重合），过点p作直线pdx轴于点d，交直线ab于点e当pe=2ed时，求p点坐标；是否存在点p使bec为等腰三角形？若存在请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由【考点】hf：二次函数综合题【分析】（1）由直线解析式可求得b点坐标，由a、b、c三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设出p点坐标，则可表示出e、d的坐标，从而可表示出pe和ed的长，由条件可知到关于p点坐标的方程，则可求得p点坐标；由e、b、c三点坐标可表示出be、ce和bc的长，由等腰三角形的性质可得到关于e点坐标的方程，可求得e点坐标，则可求得p点坐标【解答】解：（1）点b（4，m）在直线y=x+1上，m=4+1=5，b（4，5），把a、b、c三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2+4x+5；（2）设p（x，x2+4x+5），则e（x，x+1），d（x，0），则pe=|x2+4x+5（x+1）|=|x2+3x+4|，de=|x+1|，pe=2ed，|x2+3x+4|=2|x+1|，当x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=1或x=2，但当x=1时，p与a重合不合题意，舍去，p（2，9）；当x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=1或x=6，但当x=1时，p与a重合不合题意，舍去，p（6，7）；综上可知p点坐标为（2，9）或（6，7）；设p（x，x2+4x+5），则e（x，x+1），且b（4，5），c（5，0），be=|x4|，ce=，bc=，当bec为等腰三角形时，则有be=ce、be=bc或ce=bc三种情况，当be=ce时，则|x4|=，解得x=，此时p点坐标为（，）；当be=bc时，则|x4|=，解得x=4+或x=4，此时p点坐标为（4+，48）或（4，48）；当ce=bc时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时e点与b点重合，不合题意，舍去，此时p点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点p，其坐标为（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）10. （2017张家界）已知抛物线c1的顶点为a（1，4），与y轴的交点为d（0，3）（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作