利用matlab实现黄金分割法求极值问题北京理工大学机械优化设计.doc

机械优化设计报告（3）利用MATLAB实现黄金分割法求极值问题姓名：xxx学号：xxx（北京理工大学机械与车辆学院车辆工程，北京 100081）1. 黄金分割法的基本思想黄金分割法（golden section method）是优化方法中的经典算法，以算法简单、效果显著而著称，是许多优化算法的基础。但它只适用于一维区间上的凸函数。其基本思想是：依照“去坏留好”原则、对称原则以及等比收缩原则，利用序列消去原理，通过不断缩小单峰区间长度，即每次迭代都消去一部分无用区间，使搜索区间不断缩小，来逐步缩小搜索范围，从而不断逼近目标函数极小点的一种优化方法。该方法对函数没有特殊要求，函数甚至可以是不连续的。在搜索区间内必须按下述规则对称地取和两点：,和将区间分成三段，其中称为区间收缩率，黄金分割法中0.618，然后计算插入点的函数值。应用函数的单峰性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。黄金分割法程序结构简单，容易理解，但计算效率偏低，较适用于设计变量少的优化问题中的一维搜索。2.迭代过程和算法流程图2.1迭代过程（1） 给定区间，并输入；（2） 计算；（3） 判断，若成立，则迭代终止，到最后一步（7）；否则，继续；（4） 若，转（5），否则转（6）；（5） 令，转（3）；（6） 令，转（3）；（7） 得出最优解：，。2.2算法流程图黄金分割法的算法流程图如图3-1.图 3-1 黄金分割法的算法框图3.利用MATLAB求解实例3.1实例本文以本章课后习题（3.1）为例来练习黄金分割法算法在MATLAB里的实现。用黄金分割法求解的近似极小点及，。程序如下：（1） 首先建立函数。建立.m文件，命名为fun_gs.m，文件内容如下：function y=fun_gs(x)y=x2+2*x;（2） 编写迭代程序主体。建立gs.m文件，内容如下：a=-3;b=5;eps=0.01;n=0;i=100;a1=b-0.618*(b-a);a2=a+0.618*(b-a);y1=fun_gs(a1);y2=fun_gs(a2); for k=1:i if (abs(b-a)=eps) y=fun_gs(b+a)/2); break; else if (y1=y2) y2=fun_gs(a1); b=a2; a2=a1; a1=b-0.618*(b-a); y1=fun_gs(a1); else y1=fun_gs(a2); a=a1; a1=a2; a2=a+0.618*(b-a); y2=fun_gs(a2); end n=n+1; endendn;x=(a+b)/2;y;运行程序，结果为： 迭代次数 极小值点 极小值点的函数值计算结果如图：图3-2 计算结果（）3.2实例结果分析的最小值为时取得，此时有。从上述计算结果可以看出，利用MATLAB实现的黄金分割法，通过14次迭代可以满足收敛精度要求，并且计算结果和理论结果基本一致，误差为，即求得了函数的全局最优解。当时，即收敛精度缩小为原来，此时再进行一次迭代求解，计算结果如图3-3：图3-3 计算结果（）迭代次数增加到19次，最优点，。可见计算精度进一步提高，更加接近理论值。所以，在计算机性能允许的前提下，解决复杂优化问题时可以将收敛精度设为一个很小的值，以此来满足精度要求苛刻的工程问题。由