高考数学一轮复习 第9章 解析几何 专题研究3 圆锥曲线中定点、定值问题练习 理.doc

专题研究3 圆锥曲线中定点、定值问题1已知a，b满足2a3b1，则直线4xay2b0必过的定点为()a(，)b(，)c(，) d(，)答案d解析2a3b1，又由4xay2b0，得ab1，选d.2过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，则_答案3已知曲线c：y22px(p0)o为原点，a，b是c上两个不同点，且oaob，则直线ab过定点_答案(2p，0)4已知椭圆c：1(ab0)的离心率为e，其左、右焦点分别为f1，f2，|f1f2|2，设点m(x1，y1)，n(x2，y2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为.(1)求椭圆c的方程；(2)求证：x12x22为定值，并求该定值答案(1)y21(2)4解析(1)依题意，c，而e，a2，b2a2c21，则椭圆c的方程为y21.(2)由于，则x1x24y1y2，x12x2216y12y22.而y121，y221，则1y12，1y22，(1)(1)y12y22，则(4x12)(4x22)16y12y22，(4x12)(4x22)x12x22，展开，得x12x224为一定值5(2017课标全国，理)已知椭圆c：1(ab0)，四点p1(1，1)，p2(0，1)，p3(1，)，p4(1，)中恰有三点在椭圆c上(1)求c的方程；(2)设直线l不经过p2点且与c相交于a，b两点若直线p2a与直线p2b的斜率的和为1，证明：l过定点答案(1)y21(2)定点(2，1)解析(1)由于p3，p4两点关于y轴对称，故由题设知c经过p3，p4两点又由知，c不经过点p1，所以点p2在c上，因此解得故c的方程为y21.(2)证明：设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设知k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0，即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)6(2018湖南师大附中月考)如图，抛物线c1：y28x与双曲线c2：1(a0，b0)有公共焦点f2，点a是曲线c1，c2在第一象限的交点，且|af2|5.(1)求双曲线c2的方程；(2)以f1为圆心的圆m与双曲线的一条渐近线相切，圆n：(x2)2y21，已知点p(1，)，过点p作互相垂直且分别与圆m，圆n相交的直线l1，l2，设l1被圆m截得的弦长为s，l2被圆n截得的弦长为t，试探索是否为定值？请说明理由答案(1)x21(2)定值解析(1)抛物线c1：y28x的焦点为f2(2，0)，双曲线c2的焦点为f1(2，0)，f2(2，0)设a(x0，y0)(x00，y00)为抛物线c1和双曲线c2在第一象限的交点，且|af2|5，由抛物线的定义得x025，x03，|af1|7.又点a在双曲线上，由双曲线的定义得2a|af1|af2|752，a1.b.双曲线c2的方程为x21.(2)为定值理由如下：设圆m的方程为(x2)2y2r2，双曲线的渐近线方程为yx.圆m与渐近线yx相切，圆的半径为r，故圆m：(x2)2y23.依题意l1，l2的斜率存在且均不为零，设l1的方程为yk(x1)，即kxyk0，l2的方程为y(x1)，即xkyk10，点m到直线l1的距离d1，点n到直线l2的距离d2.直线l1被圆m截得的弦长s22，直线l2被圆n截得的弦长t22.，故为定值.7(2018甘肃高台县一中检测)如图，设直线l：yk(x)与抛物线c：y22px(p0，p为常数)交于不同的两点m，n，且当k时，弦mn的长为4.(1)求抛物线c的标准方程；(2)过点m的直线交抛物线于另一点q，且直线mq过点b(1，1)，求证：直线nq过定点答案(1)y24x(2)定点(1，4)解析(1)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，当k时，直线l：y(x)，即x2y，联立得即y24pyp20.所以y1y24p，y1y2p2，于是得|mn|y1y2|2|p|4，又p0，所以p2，即抛物线c的标准方程为y24x.(2)设点m(4t2，4t)，n(4t12，4t1)，q(4t22，4t2)，易得直线mn，mq，nq的斜率均存在，则直线mn的斜率是kmn，从而直线mn的方程是y(x4t2)4t，即x(tt1)y4tt10.同理可知mq的方程是x(tt2)y4tt20，nq的方程是x(t1t2)y4t1t20.又易知点(1，0)在直线mn上，从而有4tt11，即t，点b(1，1)在直线mq上，从而有1(tt2)(1)4tt20，即1(t2)(1)4t20，化简得4t1t24(t1t2)1.代入nq的方程得x(t1t2)y4(t1t2)10.所以直线nq过定点(1，4)8(2018辽宁盘锦一中月考)如图，已知点a(1，)是离心率为的椭圆c：1(ab0)上的一点，斜率为的直线交椭圆c于b，d两点，且a，b，d三点互不重合(1)求椭圆c的方程；(2)求证：直线ab，ad的斜率之和为定值答案(1)1(2)定值为0解析(1)由题意，可得e，将a(1，)代入椭圆c的方程，得1，又a2b2c2，解得a2，bc，所以椭圆c的方程为1.(2)设直线bd的方程为yxm，a，b，d三点不重合，m0，设d(x1，y1)，b(x2，y2)由得4x22mxm240，由8m2640，得2m0)过焦点的弦两个端点，分别过a，b作c的切线l1，l2，则l1与l2的交点在定直线l上，那么l的方程为_答案x3已知椭圆c：1，圆e：x2y22，l是圆e的切线，l与c交于a，b两点，以ab为直径的圆过定点_答案(0，0)解析圆e的方程为x2y22，设o为坐标原点，当直线l的斜率不存在时，不妨设直线ab的方程为x，则a(，)，b(，)，所以aob，所以以ab为直径的圆过坐标原点当直线l的斜率存在时，其方程设为ykxm，设a(x1，y1)，b(x2，y2)因为直线与圆相切，所以d，所以m222k2.联立方程组得x22(kxm)26，即(12k2)x24kmx2m260，16k2m24(12k2)(2m26)8(6k2m23)8(4k21)0，由根与系数的关系得所以x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2m20，所以，所以以ab为直径的圆恒过坐标原点o.4已知p是椭圆c：y21上一点，a是c的右顶点，b是c的上顶点，直线pa与y轴交于点m，直线pb与x轴交于点n，则|an|bm|_答案4解析由题意知a(2，0)，b(0，1)点p在曲线()2()21上，不妨设p(2cos，sin)，当且k(kz)时，直线ap的方程为y0(x2)，令x0，得ym；直线bp的方程为y1(x0)，令y0，得xn.|an|bm|2|1|1|2|224(定值)当k或k(kz)时，m，n是定点，易得|an|bm|4，综上，|an|bm|4.5(2018浙江温州中学月考)已知双曲线c的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e，虚轴长为2.(1)求双曲线c的标准方程；(2)若直线l：ykxm与双曲线c相交于a，b两点(a，b均异于左、右顶点)，且以ab为直径的圆过双曲线c的左顶点d，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标答案(1)y21(2)定点为(，0)解析(1)由题设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由已知得，2b2.又a2b2c2，解得a2，b1，双曲线的标准方程为y21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立得(14k2)x28mkx4(m21)0.故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，以ab为直径的圆过双曲线c的左顶点d(2，0)，kadkbd1，即1.y1y2x1x22(x1x2)40.40.3m216mk20k20.解得m12k，m2.当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当m2时，l的方程为yk(x)，直线过定点(，0)，经检验符合已知条件所以直线l过定点，定点坐标为(，0)6.如图所示，已知点m(a，3)是抛物线y24x上一定点，直线am，bm的斜率互为相反数，且与抛物线另交于a，b两个不同的点(1)求点m到其准线的距离；(2)求证：直线ab的斜率为定值答案(1)(2)略解析(1)m(a，3)是抛物线y24x上一定点，324a，a.抛物线y24x的准线方程为x1，点m到其准线的距离为(1).(2)证明：由题知直线ma，mb的斜率存在且不为0，设直线ma的方程为y3k(x)，由得y2y90.ya3，ya3.直线am，bm的斜率互为相反数，直线mb的方程为y3k(x)同理可得yb3，kab.直线ab的斜率为定值.7(2017湖北宜昌一中月考)中心在坐标原点o，焦点在坐标轴上的椭圆e经过两点r(，)，q(，)分别过椭圆e的焦点f1，f2的动直线l1，l2相交于p点，与椭圆e分别交于a，b与c，d不同四点，直线oa，ob，oc，od的斜率k1，k2，k3，k4满足k1k2k3k4.(1)求椭圆e的方程；(2)是否存在定点m，n，使得|pm|pn|为定值？若存在，求出m，n的坐标并求出此定值；若不存在，说明理由答案(1)1(2)存在点m，n其坐标分别为(0，1)，(0，1)，使得|pm|pn|2为定值解析(1)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)将r(，)，q(，)代入椭圆方程有解得椭圆e的方程为1.(2)焦点f1，f2的坐标分别为(1，0), (1，0)当直线l1或l2斜率不存在时，p点坐标为(1，0)或(1，0)当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2.l1的方程为ym1(x1)，l2的方程为ym2(x1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x4，y4)，联立l1与椭圆方程，得到(23m12)x26m12x3m1260，x1x2，x1x2.同理x3x4，x3x4.(*)k1m1，k2m1，k3m2，k4m2.又满足k1k2k3k4，2m1m12m2m2，把(*)代入上式化为m1m22.设点p(x，y)，则2(x1)，化为x21(x1)又当直线l1或l2斜率不存在时，p点坐标为(1，0)或(1，0)也满足，点p在椭圆x21(x1)上故存在点m，n其坐标分别为(0，1)，(0，1)，使得|pm|pn|2为定值8(2017湖南岳阳两校联考)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切，过点p(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆c相交于a，b两点(1)求椭圆c的方程；(2)求的取值范围；(3)若点b关于x轴的对称点是e，证明：直线ae与x轴相交于定点答案(1)1(2)4，)(3)定点(1，0)解析(1)由题意知e，e2，即a2b2.又b，a24，b23.故椭圆的方程为1.(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)联立得(4k23)x232k2x64k2120.由(32k2)24(4k23)(64k212)0，得k2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2.y1y2k(x14)k(x24)k2x1x24k2(x1x2)16k2.x1x2y1y2(1k2)x1x24k2(x1x2)16k2(1k2)4k216k225.0k2，29b0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆e有且只有一个公共点t.(1)求椭圆e的方程及点t的坐标；(2)设o是坐标原点，直线l平行于ot，与椭圆e交于不同的两点a，b，且与直线l交于点p.证明：存在常数，使得|pt|2|pa|pb|，并求的值答案(1)1，t(2，1)(2)解析(1)由已知，ab，则椭圆e的方程为1.由方程组得3x212x182b20.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时