中考数学复习 专题18 与二次函数有关代数方面应用试题（B卷含解析）.doc

专题18 与二次函数有关代数方面应用一、选择题1. （江苏省宿迁市，8，3分）若二次函数的图像经过点（1，0），则方程的解为（ ）a， b， c， d， 【答案】c【逐步提示】先求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的轴对称性可以求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，两个交点的横坐标就是方程ax22ax+c=0的解，【详细解答】解：抛物线的对称轴是：直线，又图象经过（1，0），设另一个交点为(x2，0)，则，解得x2=3，因此图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（3，0），方程ax22ax+c=0的解为1，和3，故选择c【解后反思】二次函数的轴对称性是二次函数的重要特征；要熟练各种情况下对称轴的计算：一般式：y=ax2+bx+c(a0) 对称轴：直线顶点式：y=a(xh)2+k(a0) 对称轴：直线x=h交点式：y=a(xx1)(xx2)(a0) 对称轴： 直线 在二次函数中，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标 【关键词】 二次函数的性质；二次函数与一元二次方程；数形结合思想；三、解答题1. （ 福建福州，27，13分）已知，抛物线yax2bxc ( a0）经过原点，顶点为a ( h，k ) （h0） （1）当h1，k2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线ytx2（t0）也经过a点，求a与t之间的关系式；（3）当点a在抛物线yx2x上，且2h1时，求a的取值范围【逐步提示】本题综合考查了二次函数、反比例函数和不等式等知识，解题的关键是会用待定系数法解决问题（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x1）2+2，原点代入即可（2）由抛物线yax2bxc ( a0）经过原点，抛物线ytx2（t0）经过a点，把点的坐标代入函数表达式，列出方程组，消去k和h即可解决（3）由点a在抛物线yx2x上，得到，再由抛物线经过原点，得到利用反比例函数的性质，分类讨论可得答案.【详细解答】解：根据题意，设抛物线的解析式为（1） 抛物线经过原点，解得即（2）抛物线经过点，抛物线经过原点，（3）点在抛物线上，.抛物线经过原点，分两类讨论：当-2h0时，由反比例函数性质可知；当0h1时，由反比例函数性质可知1,0.综上所述，的取值范围是或0. 【解后反思】中考中在求函数解析式时，运用待定系数法 使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决本题第（3）问也可以直接解不等式来解决.，h=，2h1，21，当1+a0时，即a1时，解得a0，当1+a0时，即a1时，解得a，综上所述，a的取值范围a0或a【关键词】二次函数的表达式；分类讨论思想；数形结合思想；反比函数的性质；2. （ 甘肃省天水市，24，10分）天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成 ，约定这批粽子的出厂价为每只4元为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系（1）（3分）李红第几天生产的粽子数量为260只？（2）（7分）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图像来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润出厂价成本）ox（天）p（元/只）32919【逐步提示】本题是分段函数应用题，考查了一次函数和二次函数在实际生活中的应用，需要利用一次函数和二次函数的增减性求最值，解题的关键是读懂题目信息，列出函数关系式具体地，（1）把y260代入，解方程即可求得（2）根据图像，运用待定系数法求得p与x之间的函数表达式，然后根据“利润出厂价成本”得“w(4p)y”，分情况代入数或式整理即得w与x之间的函数表达式，再根据一次函数和二次函数的增减性求解最大利润【详细解答】解：（1）将y260代入y32x，得26032x，解得x此时，x值不满足0x5，故这种情况不存在5x19时，则有20x60260，解得x10李红第10天生产的粽子数量为260只（2）由图可知p12(0x9)设p2kxb(9x19)，将(9，2)，(19，3)代入，得，解得p20.1x1.1(9x19)当0x5时，w(42)32x64x，由一次函数的性质，知当x5时，w最大320当5x9时，w(42)(20x60)40x120，由一次函数的性质，知当x9时，w最大480当9x19时，w4(0.1x1.1)(20x60)2x252x1742(x13)2512，由二次函数的性质，知当x13时，w最大512w与x之间的函数表达式为，由320480512，知第13天时利润最大，最大利润是512元【解后反思】此题第（1）问不难，难在解答第（2）问，需要分情况讨论根据已知条件中的0x5，5x19，及由函数图像分析得出的0x9，9x19这四个自变量的取值范围，再结合利润求解公式就可得出0x5，5x9，9x19这三种利润计算情况【关键词】解一元一次方程；一次函数的图像与性质；实际问题；二次函数的表达式；二次函数的性质；分类讨论思想；数形结合思想；方程与函数思想；待定系数法；配方法3. （广东省广州市，24，14分）已知抛物线y=mx2+(12m)x+13m与x轴相交于不同的两点a，b(1)求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点p，并求出点p的坐标；（3）当m8时，由（2）求出的点p和点a，b构成的abp的面积是否有最值？若有，求出最值及相对应的m值；若没有，请说明理由【逐步提示】（1）根据二次函数的定义及二次函数与一元二次方程的关系，可直接求得m的取值范围；（2）抛物线过定点，也就是说把该定点坐标代入解析式时不受m取值的影响，所以只要含m的项其和为0即可，这样先求得所过定点的横坐标x的值，然后再代入解析式计算纵坐标y的值，不在坐标轴上的点即为所求的点p；（3）abp的ab边上的高即为点p的纵坐标4，故在m8的范围内，求得线段ab的值，再利用三角形面积公式易于得到其最值，线段ab的值可通过解一元二次方程直接得到【详细解答】解：（1）y=mx2+(12m)x+13m是二次函数，m0抛物线与x轴相交于不同的两点，=(12m)24m(13m)=16m28m+1=(4m1)20，4m10，解得m综上可知，m的取值范围是m0，且m（2）y=mx2+(12m)x+13m=mx2+x2mx+13m=m(x22x3)+x+1，故只要x22x3=0，那么y的值便与m的取值无关，也就是说抛物线必过定点解x22x3=0，得x1=3，x2=1当x=3时，y=9m+36m+13m=4，即p(3，4)；当x=1时，y=m1+2m+13m=0，点(1，0)是x轴上的一点，不合题意，舍去该抛物线一定经过非坐标轴上的一点p，点p的坐标为(3，4)（3）一元二次方程mx2+(12m)x+13m=0中，由求根公式，得x=，即x=，x1=3，x2=1当m8时，31，ab=3(1)=4；sabp=(4)4=2(4)m8，4， 当取最小值时，2(4)有最大值，即abp的面积有最大值，此时m=8【解后反思】（1）二次函数的y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根（2）以形定数，抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的两实根；以数定形，求出方程ax2+bx+c=0的两实根，便得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标特别地，一元二次方程ax2+bx+c=m的解，即为二次函数y=ax2+bx+c当y=h时的两点的横坐标（3）函数图象过定点问题，一般解决方法是函数解析式中所含参数的项的和为0时，则函数值不受字母参数的影响，据此可求定点的坐标（3）抛物线中三角形的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式确定最值本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点p的坐标是解决问题的关键【关键词】二次函数的解析式；二次函数的图象和性质；二次函数与一元二次方程的关系；解一元二次方程；一元二次方程根的判别式；点的坐标；完全平方式；三角形的面积4. （ 湖南省郴州市，26，12分）如图1，矩形abcd中，ab7cm，ad4cm，点e为ad上一定点，点f为ad延长线上一点，且dfacm，点p从a点出发，沿ab边向点b以2cms的速度运动连结pe，设点p运动的时间为ts，pae的面积为y当0t1时，pae的面积y（）关于时间t（s）的函数图象如图2所示连结pf，交cd于点h （1）t的取值范围为 ae cm； （2）如图3，将hdf沿线段df进行翻折，与cd的延长线交于点m，连结am当a为何值时，四边形pamh为菱形？并求出此时点p的运动时间t； （3）如图4，当点p出发1s后，ad边上另一动点q从e点出发，沿ed边向点d以1cms的速度运动如果p、q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动连结pq、qh，若cm，请问pqh能否构成直角三角形？若能，请求出点p的运动时间t；若不能，请说明理由 【逐步提示】本题考查的是矩形为背景下的动点问题，翻折问题解题的关键是巧妙的运用相似三角形，寻找线段间的数量关系和比例关系（1）由于点p在ab边上运动，且速度为2cms，即02t7，可以确定t的取值范围；结合0t1时，图2的函数图象，能得到y与t的函数关系式，因为，即y，可以求出ae的长（2）将hdf沿线段df进行翻折，可得到hddm，若四边形pamh为菱形，则有apammh2dm，因为ad4，adm90，由勾股定理可以求出dm，即可求出ap，又因为ap2t，即可列式求出t值（3）因为pqh若构成直角三角形，则可能有pqh90，或phq90，每种情况下都可构造“一线三等角”证明相似由于q比p晚走1s，所以eqt1，所以qd表示为4t，因为知道cm，所以dh也可以用“a”字型相似表示出来，写出正确的比例式就可计算出每种情况下的t值了【详细解答】解：（1）p在边ab上运动，速度为2cms，02t7，0t； 由图2可得当0t1时，yt，y，即t，ae1（2）将hdf沿线段df进行翻折得到mdf，hddm，又四边形pamh为菱形，apammh2dm，ad4，adm90，在rtadm中，dm，ap2t，t （3）p先出发1s后q再从e出发，ap2t，eqt1，qd41（t1）4t四边形abcd是矩形，abcd，fdhfap，由题意可知，若pqh为直角三角形，则有两种情况：pqh90，或phq90当pqh90时，aqdh90，apqaqp90，aqpdqh90，apqdqh，apqdqh，t2；当phq90时，过p作pmcd于点m，同理可证pmhhdq，pmad4，解得当t2或时pqh为直角三角形 【解后反思】动点问题本身就是初中数学的一个难点，