高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 理.doc

第九章 解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 理1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系dr相离(2)代数法：2圆与圆的位置关系设圆o1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆o2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解【知识拓展】1圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点m(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(4)过圆o：x2y2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(5)过圆o：x2y2r2外一点p(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为a，b，则o，p，a，b四点共圆且直线ab的方程是x0xy0yr2.()1(教材改编)圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是()a相切 b相交但直线不过圆心c相交过圆心 d相离答案b解析由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d1，而圆心o到直线axby1的距离d1.所以直线与圆相交(2)直线2txy22t0恒过点(1，2)，12(2)2214(2)50)，圆心坐标为m(0，a)，半径r1为a，圆心m到直线xy0的距离d，由几何知识得2()2a2，解得a2.m(0,2)，r12.又圆n的圆心坐标n(1,1)，半径r21，|mn|，r1r23，r1r21.r1r2|mn|r1r2，两圆相交，故选b.(2)圆c的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得022，0|a|2.a(2，0)(0,2)思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|；(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0.(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切；(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为m(1,3)，n(5,6)，半径分别为和.(1)当两圆外切时，解得m2510.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有5，解得m2510.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230，所以公共弦长为22.题型三直线与圆的综合问题命题点1求弦长问题例3(2016全国丙卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于a，b两点，过a，b分别做l的垂线与x轴交于c，d两点，若|ab|2，则|cd|_.答案4解析设ab的中点为m，由题意知，圆的半径r2，|ab|2，所以|om|3，解得m，由解得a(3，)，b(0，2)，则ac的直线方程为y(x3)，bd的直线方程为y2x，令y0，解得c(2,0)，d(2,0)，所以|cd|4.命题点2直线与圆相交求参数范围例4(2015课标全国)已知过点a(0,1)且斜率为k的直线l与圆c：(x2)2(y3)21交于m，n两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中o为坐标原点，求|mn|.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与c交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设m(x1，y1)，n(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心c在l上，所以|mn|2.命题点3直线与圆相切的问题例5已知圆c：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程(1)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2y40垂直；(3)过切点a(4，1)解(1)设切线方程为xyb0，则，b12，切线方程为xy120.(2)设切线方程为2xym0，则，m5，切线方程为2xy50.(3)kac，过切点a(4，1)的切线斜率为3，过切点a(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题(1)(2015课标全国)过三点a(1,3)，b(4,2)，c(1，7)的圆交y轴于m、n两点，则|mn|等于()a2 b8 c4 d10(2)若直线xcos ysin 10与圆(x1)2(ysin )2相切，且为锐角，则该直线的斜率是()a b c. d.答案(1)c(2)a解析(1)由已知，得(3，1)，(3，9)，则3(3)(1)(9)0，所以，即abbc，故过三点a、b、c的圆以ac为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令x0，得(y2)224，解得y122，y222，所以|mn|y1y2|4，选c.(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即|cos sin21|，|cos cos2|，所以cos cos2或cos cos2(不符合题意，舍去)由cos cos2，得cos ，又为锐角，所以sin ，故该直线的斜率是，故选a.7高考中与圆交汇问题的求解考点分析与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质一、与圆有关的最值问题典例1(1)(2015湖南)已知点a，b，c在圆x2y21上运动，且abbc.若点p的坐标为(2,0)，则|的最大值为()a6 b7 c8 d9(2)过点(，0)引直线l与曲线y相交于a、b两点，o为坐标原点，当aob的面积取最大值时，直线l的斜率等于()a. b c d解析(1)a，b，c在圆x2y21上，且abbc，ac为圆的直径，故2(4,0)，设b(x，y)，则x2y21且x1,1，(x2，y)，(x6，y)故|，当x1时有最大值7，故选b.(2)saob|oa|ob|sinaobsinaob.当aob时，aob面积最大此时o到ab的距离d.设ab方程为yk(x)(k0)，即kxyk0.由d得k.(也可ktanoph)答案(1)b(2)b二、直线与圆的综合问题典例2(1)(2015重庆)已知直线l：xay10(ar)是圆c：x2y24x2y10的对称轴，过点a(4，a)作圆c的一条切线，切点为b，则|ab|等于()a2 b4 c6 d2(2)在平面直角坐标系中，a，b分别是x轴和y轴上的动点，若以ab为直径的圆c与直线2xy40相切，则圆c面积的最小值为()a. b.c(62) d.解析(1)由于直线xay10是圆c：x2y24x2y10的对称轴，圆心c(2,1)在直线xay10上，2a10，a1，a(4，1)|ac|236440.又r2，|ab|240436.|ab|6.(2)aob90，点o在圆c上设直线2xy40与圆c相切于点d，则点c与点o间的距离等于它到直线2xy40的距离，点c在以o为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，当且仅当o，c，d共线时，圆的直径最小为|od|.又|od|，圆c的最小半径为，圆c面积的最小值为()2.答案(1)c(2)a1(2017广州调研)若点a(1,0)和点b(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有()a1条 b2条 c3条 d4条答案c解析如图，分别以a，b为圆心，1,2为半径作圆依题意得，直线l是圆a的切线，a到l的距离为1，直线l也是圆b的切线，b到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)2若圆c1：x2y21与圆c2：x2y26x8ym0外切，则m等于()a21 b19 c9 d11答案c解析圆c2的标准方程为(x3)2(y4)225m.又圆c1：x2y21，|c1c2|5.又两圆外切，51，解得m9.3(2016南昌二模)若圆c1：x2y22axa290(ar)与圆c2：x2y22byb210(br)内切，则ab的最大值为()a. b2 c4 d2答案b解析圆c1：x2y22axa290(ar)化为(xa)2y29，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆c2：x2y22byb210(br)，化为x2(yb)21，圆心坐标为(0，b)，半径为1，圆c1：x2y22axa290(ar)与圆c2：x2y22byb210(br)内切，31，即a2b24，ab(a2b2)2.ab的最大值为2.4(2016泰安模拟)过点p(3,1)作圆c：(x1)2y21的两条切线，切点分别为a，b，则直线ab的方程为()a2xy30 b2xy30c4xy30 d4xy30答案a解析如图所示：由题意知：abpc，kpc，kab2，直线ab的方程为y12(x1)，即2xy30.5若直线l：ykx1(k0)与圆c：x24xy22y30相切，则直线l与圆d：(x2)2y23的位置关系是()a相交 b相切c相离 d不确定答案a解析因为圆c的标准方程为(x2)2(y1)22，所以其圆心坐标为(2,1)，半径为，因为直线l与圆c相切所以，解得k1，因为k0，所以k1，所以直线l的方程为xy10.圆心d(2,0)到直线l的距离d，所以直线l与圆d相交6已知a(2,0)，b(0,2)，实数k是常数，m，n是圆x2y2kx0上两个不同点，p是圆x2y2kx0上的动点，如果m，n关于直线xy10对称，那么pab面积的最大值是()a3 b4c3 d6答案c解析依题意得圆x2y2kx0的圆心(，0)位于直线xy10上，于是有10，即k2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|ab|2，直线ab的方程是1，即xy20，圆心(1,0)到直线ab的距离等于，点p到直线ab的距离的最大值是1，pab面积的最大值为23，故选c.7(2016全国乙卷)设直线yx2a与圆c：x2y22ay20相交于a，b两点，若|ab|2，则圆c的面积为_答案4解析圆c：x2y22ay20，即c：x2(ya)2a22，圆心为c(0，a)，c到直线yx2a的距离d.又由|ab|2，得22a22，解得a22，所以圆的面积为(a22)4.8(2016天津四校联考)过点(1，)的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k_.答案解析(12)2()230，n(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，且mn，求a的最大值和最小值解m(x，y)|y，a0，即(x，y)|x2y22a2，y0，表示以原点o为圆心，半径等于a的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)n(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，表示以o(1，)为圆心，半径等于a的一个圆再由mn，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切当半圆和圆相外切时，由|oo|2aa，求得a22；当半圆和圆相内切时，由|oo|2aa，求得a22，故a的取值范围是22,22，a的最大值为22，最小值为22.*13.(2016湖南六校联考)已知直线l：4x3y100，半径为2的圆c与l相切，圆心c在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆c的方程；(2)过点m(1,0)的直线与圆c交于a