高考数学 第七章 不等式、推理与证明 专题26 推理与证明考场高招大全.doc

专题二十六 推理与证明考点58 合情推理与演绎推理 考场高招1常见的归纳推理类型及相应方法 1.解读高招类型解读典例指引数的归纳数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联想相关的知识典例导引1(1)形的归纳形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.通过观察个别情况发现某些相同本质;从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.即实验、观察概括、推广猜测一般性结论典例导引1(2)温馨提醒解决数的归纳问题关键是明确等式两边对应项的各自特点及各行、各列相邻数或相邻项之间的关系.由归纳推理所得的有限项所表示的规律不一定适合于一般项,若要验证其正确性,需进行具体计算或严格证明2.典例指引1(1)(2016广东广州一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为() a.2 01722 013b.2 01722 014 c.2 01722 015d.2 01622 016(2)某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有一层,就一个球;第2,3,4,堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,则f(3)=;f(n)=(答案用含n的代数式表示). 【解析】 (1)如图, (2)观察图形可知:f(1)=1,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20,故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数,即f(2)=f(1)+3;f(3)=f(2)+6;f(4)=f(3)+10;f(n)=f(n-1)+.将以上(n-1)个式子相加可得f(n)=f(1)+3+6+10+=(12+22+n2)+(1+2+3+n)=.【答案】 (1)b(2)103.亲临考场1.(2015山东,理11)观察下列各式:=40;=41;=42;=43;照此规律,当nn*时,+=【答案】 4n-1 2.(2013陕西,理14)观察下列等式 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 照此规律,第n个等式可为. 【答案】 12-22+32-42+(-1)n+1n2=(-1)n+1【解析】第n个等式的左边第n项应是(-1)n+1n2,右边数的绝对值为1+2+3+n=,故有12-22+32-42+(-1)n+1n2=(-1)n+1. 3.(2013湖北,理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为n2+n.记第n个k边形数为n(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数n(n,3)=n2+n,正方形数n(n,4)=n2,五边形数n(n,5)=n2-n,六边形数n(n,6)=2n2-n,可以推测n(n,k)的表达式,由此计算n(10,24)=【答案】 1 000 考场高招2 类比推理的应用规律探求1.解读高招规律解读适合题型典例指引类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键平面几何与立体几何、等差数列与等比数列或平面向量与空间向量等典例导引2(1)类比方法有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法典例导引2(2)温馨提醒(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)2.典例指引2(1)已知数列an为等差数列,若am=a,an=b(n-m1,m,nn*),则am+n=.类比等差数列an的上述结论,对于等比数列bn(bn0,nn*),若bm=c,bn=d(n-m2,m,nn),则可以得到bm+n=.(2)若p0(x0,y0)在椭圆=1(ab0)外,过p0作椭圆的两条切线的切点为p1,p2,则切点弦p1p2所在的直线方程是=1,那么对于双曲线则有如下命题:若p0(x0,y0)在双曲线=1(a0,b0)外,过p0作双曲线的两条切线,切点为p1,p2,则切点弦p1p2所在直线的方程是.【解析】 (1)设数列an的公差为d1,数列bn的公比为q,则在等差数列中an=a1+(n-1)d1,在等比数列中bn=b1qn-1.am+n=,bm+n=.【答案】 (1)(2)=1考场高招3 演绎推理的应用规律1.解读高招类别解读基本思路在应用三段论推理来证明问题时,应该明确什么是问题中的大前提和小前提.在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的解题步骤用三段论证明的基本模式是:大前提已知的一般原理;小前提所研究的特殊情况;结论根据一般原理对特殊情况做出的判断温馨提醒演绎推理是高考重点考查的内容之一,推理的基本模式和思维过程贯穿于数学解题过程的始终.在证明的过程中,往往大前提不写出来2.典例指引 3(2017辽宁葫芦岛测评)在一次国际学术会议上,来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌上,为了使他们能够自由交谈,事先了解到的情况如下: 甲是中国人,还会说英语;乙是法国人,还会说日语; 丙是英国人,还会说法语;丁是日本人,还会说汉语; 戊是法国人,还会说德语.则这五位代表的座位顺序应为 () a.甲、丙、丁、戊、乙b.甲、丁、丙、乙、戊 c.甲、乙、丙、丁、戊d.甲、丙、戊、乙、丁【答案】 d 3.亲临考场 1.(2017课标,理7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则() a.乙可以知道四人的成绩 b.丁可以知道四人的成绩 c.乙、丁可以知道对方的成绩 d.乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】 d因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选d. 2.(2016课标,理15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是. 【答案】 1和3 【解析】 由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此此时与甲说的话矛盾. 综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”. 考点59直接证明与间接证明考场高招4灵活应用直接证明的两大方法(综合法、分析法)解题 1.解读高招方法解读典例指引综合法(1)分析条件,选择方向:分析题目的已知条件以及已知与结论之间的联系,选择相关的定理、公理等,确定恰当的解题方法;(2)转化条件,组织过程:把已知条件转化为解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化;(3)适当调整,回顾反思:回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰,反思总结解题方法的选取典例导引4(1)分析法(1)逆向思考是分析法的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件,正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键;(2)对于较复杂的等式、不等式的证明,通常先用分析法探索证明途径,再用综合法加以证明典例导引4(2)2.典例指引4(1)求证:当x0,1时,xsin xx.(2)已知abc的三个内角a,b,c成等差数列,a,b,c的对边分别为a,b,c.求证:.所以h(x)在0,1上是减函数,则h(x)h(0)=0,即sinxx.综上,xsinxx,x0,1.(2)要证,即证=3,即证=1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 即证c2+a2