求函数极限方法简谈.doc

求函数极限方法简谈关键词：极限定义 所用定理 求极限方法归类江苏广播电视大学基础部、环保系 岳雪芳函数的极限概念在高等数学中是一个很重要的概念。极限概念是微分概念的基础，因此加深理解函数极限的概念是十分必要的。在学习证明函数极限及计算函数的极限中,有不少学生感到用极限定义证明函数的极限时，常常感到逻辑不清；或者在总复习过程中，对有些类型题感到归纳有困难。为了帮助学生更好地理解函数极限的概念,提高复习质量，本文对求函数极限的方法及理解极限的概念做了一些汇总和阐述。希望对大家理解函数的极限和计算函数的极限有所帮助。一、 函数的极限的定义函数的极限可以通过观察方法、图象逼近方法、以及数学定义的方法去理解函数的极限1、用观察方法去理解函数极限做函数f(x)= 的图象 (图 1 ) 取时，函数y=f(x)当x从1的左(右)边的近旁无限趋近1时，观察这个函数的图象，很容易看到函数值无限地趋近3。 则称x趋于1时，f(x)的极限值是3，记做 f(x)=3 (图1)注意时函数的极限与x是否等于1无关。一般地，当x(或x)函数f(x)趋近一个确定的常数A，则称这个常数A为当x(或当x)时函数f(x)的极限。2、用图形逼近法理解函数极限 设S为圆O内接正n多边形,已知圆O的半径为r,当n时,圆O内接正n多边形面积s趋于什么？先在圆O内作一正三角形，再依次作正四边形,正五边形可以观察到随着正n边形的边数的增多,其S的面积越 来越接近圆的面积。(图2) 则称当n时，S。 (图2)换句话说则称当n时，圆内接正n多边形面积S的极限值为，记为S=。一般地，当n,函数s=f(n)趋近一个确定的常数A，则称这个常数A为n时函数s=f(n)的极限。3、用数学定义理解函数极限xx时，f(x)的极限的定义设函数f(x)在点x0的某一个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在着正数，使得对于适合不等式0的一切x，对应的函数值都满足不等式,那末常数A就叫做xx时，函数f(x)的极限，记作f(x)=A。这个定义精确地刻化了当自变量x在x的邻域内趋于x时，函数f（x）无限接近常数A的状态。以上述函数y= f(x)= 为例,用函数极限定义研究当x时，函数y=f(x)值趋于3的情况。给x取一些趋近1的几个具体数值，当x=0.9时,=0.02; 当x=0.99时,=0.002;可以观查到，当x值越趋近1，就越小。用函数f(x)的极限定义证明：取任意小的正数设 ； 经整理得令那么，可以看出，当0X的一切x,对应的函数值f（x）总满足不等式.，那么常数A就叫做函数f(x)当x时f(x)的极限，记为f(x)=A举例：f(x)=当x时,f(x) 即 f(x)= 0用定义证明：取 令 经整理得 即令 则 不等式 成立 所以= 0注意带有框的式子是关键的步骤例如当.01时，X=100 即当100时 存在二极限运算基本公式及法则下面凡记号“lim”的下面没有标明自变量的变化过程的均指定理对x及x都成立1f（x）=A g（x）= B则 limf（x）g（x）= f（x） g（x）=AB lim f（x）g（x）= f（x）g（x）= ABlim Cf（x）= Cf（x）=CA lim= （lim g（x）0）复合函数求极限的法则设函数=当x(或当x)时的极限存在且等于，但在x0的某一去心邻域内且=A，则复合函数f当x(或当x)时的极限存在，且f=flim=f（）=A2两个重要极限 =1 （1+）x = e （1+z）= e3利用无穷小性质计算有限无穷小的和也是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小4.无穷小与无穷大的关系：若在同一自变量变化的过程中，则lim5.利用等价代换求极限6.利用初等函数的连续性质求极限。初等函数在定义域内都是连续的，连续函数在某一点的极限值等于在这点的函数值。x(D是f(x)的定义域)则7.罗毕塔法则(1)设当x时函数f(x)及F(x)都趋于零；在点x0的某去心邻域内，及都存在，且 存在(或无穷大)；那么(2)设当x时函数f(x)及F(x)都趋于零；当时，及都存在且 存在(或无穷大)；那么三、求函数极限举例1设f(x)=ax+a1xn-1+a2xn-2+a3xn-3+an=ax+a1xn-1+a2xn-2+a3xn-3+an =ax0+a1x0n-1+a2x0n-2+a3x0n-3+an例1、(x3+2x+1)解(x3+2x+1)=x3+2x+1=23+22+1=13当x时多项式例2、解 =当x时，如，则lim例3 解 因为=9-9=0 所以不能直接用商的极限，应对分子分母同约分，然后再求极限= 例4、解 因为 而 所以 =0故=用无穷大与无穷小关系求极限例5、解=例6、解=0例7、解= 0所以=例5、例6、例7是当x时商的极限即：例8、求解 因为 是有界函数所以=0 利用无穷小量与有界函数的乘积求极限例9、求解 =log(22+3)=log7例10、求e解 e= e(例9例10是复合函数求极限)例11、求解 =2=2log(1+2x)=2log=2loge例11是利用初等函数的连续性质求极限。例12、求解=31例12是利用等价代换x时， tanxx求极限常用的等价代换有x，1-cosx；sinxx；ln(1+x) x例13、求解=2例14、求解= e例15、求解=e例13、例14、例15、是属于重要极限类形例16、求解=例17、求 (n为正